subespacio de Krylov

En álgebra lineal , el subespacio de Krylov de orden r generado por una matriz A de n x n y un vector b de dimensión n es el subespacio lineal generado por las imágenes de b bajo las primeras r potencias de A (comenzando desde${\displaystyle A^{0}=I}$), es decir, ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}.}$

El concepto recibe su nombre del matemático aplicado e ingeniero naval ruso Alexei Krylov , quien publicó un artículo sobre el concepto en 1931. ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b),A\,{\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r+1}(A,b)}$.
• Dejar${\displaystyle r_{0}=\operatorname {dim} \operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots \}}$. Entonces${\displaystyle \{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}}$son linealmente independientes a menos que${\displaystyle r>r_{0}}$,${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)}$a pesar de${\displaystyle r}$, y${\displaystyle \operatorname {dim} {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)=r_{0}}$. Entonces${\displaystyle r_{0}}$es la dimensión máxima de los subespacios de Krylov${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$.
• La dimensión máxima satisface${\displaystyle r_{0}\leq 1+\operatorname {rank} A}$y${\displaystyle r_{0}\leq n}$.
• Considerar${\displaystyle \dim \operatorname {span} \,\{I,A,A^{2},\ldots \}=\deg \,p(A)}$, dónde${\displaystyle p(A)}$es el polinomio mínimo de${\displaystyle A}$. Tenemos${\displaystyle r_{0}\leq \deg \,p(A)}$. Además, para cualquier${\displaystyle A}$, existe un${\displaystyle b}$para lo cual este límite es estrecho, es decir${\displaystyle r_{0}=\deg \,p(A)}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$es un submódulo cíclico generado por${\displaystyle b}$de la torsión${\displaystyle k[x]}$-módulo${\displaystyle (k^{n})^{A}}$, dónde${\displaystyle k^{n}}$es el espacio lineal en${\displaystyle k}$.
• ${\displaystyle k^{n}}$puede descomponerse como la suma directa de subespacios de Krylov.

Los subespacios de Krylov se utilizan en algoritmos para encontrar soluciones aproximadas a problemas de álgebra lineal de alta dimensión . ^{[ 2 ]} Muchas pruebas de sistemas dinámicos lineales en teoría de control , especialmente las relacionadas con la controlabilidad y la observabilidad , implican verificar el rango del subespacio de Krylov. Estas pruebas son equivalentes a encontrar el espacio generado por los gramianos asociados con los mapas sistema/salida, de modo que los subespacios incontrolables e inobservables son simplemente el complemento ortogonal del subespacio de Krylov. ^{[ 4 ]}

Los métodos iterativos modernos , como la iteración de Arnoldi, se pueden utilizar para encontrar uno (o varios) valores propios de matrices dispersas grandes o para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Intentan evitar las operaciones matriz-matriz, y en su lugar multiplican vectores por la matriz y trabajan con los vectores resultantes. Comenzando con un vector${\displaystyle b}$, uno calcula${\displaystyle Ab}$, luego se multiplica ese vector por${\displaystyle A}$encontrar${\displaystyle A^{2}b}$y así sucesivamente. Todos los algoritmos que funcionan de esta manera se denominan métodos de subespacio de Krylov; se encuentran entre los métodos más exitosos disponibles actualmente en álgebra lineal numérica. Estos métodos se pueden utilizar en situaciones donde existe un algoritmo para calcular la multiplicación matriz-vector sin que exista una representación explícita de${\displaystyle A}$, dando lugar a métodos sin matrices .

Debido a las propiedades de la iteración de potencias , los vectores suelen volverse casi linealmente dependientes en poco tiempo, por lo que los métodos que se basan en el subespacio de Krylov frecuentemente implican algún esquema de ortogonalización , como la iteración de Lanczos para matrices hermíticas o la iteración de Arnoldi para matrices más generales.

Los métodos de subespacio de Krylov más conocidos son el gradiente conjugado , IDR(s) (reducción de dimensión inducida), GMRES (residuo mínimo generalizado), BiCGSTAB (gradiente biconjugado estabilizado), QMR (residuo mínimo cuasi), TFQMR (QMR sin transposición) y MINRES (método de residuo mínimo).

• Método iterativo , que incluye una sección sobre métodos de subespacio de Krylov.

• Nevanlinna, Olavi (1993). Convergencia de iteraciones para ecuaciones lineales . Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Basilea: Birkhäuser Verlag. págs.  viii+177 págs. ISBN 3-7643-2865-7MR 1217705 .​ 
• Saad, Yousef (2003). Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos (2.ª  ed.). SIAM . ISBN 0-89871-534-2OCLC 51266114​​ 
• Charles George Broyden y Maria Teresa Vespucci (2004): Krylov Solvers for Linear Algebraic Systems , Elsevier (Studies in Computational Mathematics 11), ISBN 0-444-51474-0.
• Meurant, Gérard; Duintjer Tebbens, Jurjen (2020). Métodos de Krylov para sistemas lineales no simétricos: de la teoría a los cálculos . Vol.  57. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-030-55251-0 . ISBN 978-3-030-55250-3.
• Iman Farahbakhsh: Métodos de subespacio de Krylov con aplicación en solucionadores de flujo de fluidos incompresibles , Wiley, ISBN 978-1119618683(Septiembre de 2020).