Γ-convergencia

En el campo del análisis matemático para el cálculo de variaciones , la Γ-convergencia ( Γ-convergencia ) es una noción de convergencia para funcionales . Fue introducida por Ennio De Giorgi .

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico y${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$denotamos el conjunto de todos los vecindarios del punto${\displaystyle x\in X}$. Dejemos que continúe${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ser una secuencia de funcionales en${\displaystyle X}$El límite inferior Γ y el límite superior Γ se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),}$

${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)}$.

${\displaystyle F_{n}}$se dice que${\displaystyle \Gamma }$-converger a una función${\displaystyle F}$, si${\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}=F}$.

En espacios numerables de primer orden , la definición anterior puede caracterizarse en términos de secuenciales.${\displaystyle \Gamma }$-convergencia de la siguiente manera. Sea${\displaystyle X}$ser un espacio contable de primer orden y${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$una secuencia de funcionales en${\displaystyle X}$. Entonces${\displaystyle F_{n}}$se dice que${\displaystyle \Gamma }$-converger hacia el${\displaystyle \Gamma }$-límite${\displaystyle F:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$si se cumplen las dos condiciones siguientes:

• Desigualdad de límite inferior: Para cada secuencia${\displaystyle x_{n}\in X}$de tal manera que${\displaystyle x_{n}\to x}$como${\displaystyle n\to +\infty }$,

${\displaystyle F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).}$

• Desigualdad de límite superior: Para cada${\displaystyle x\in X}$, hay una secuencia${\displaystyle x_{n}}$convergiendo a${\displaystyle x}$de tal manera que

${\displaystyle F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})}$

La primera condición significa que${\displaystyle F}$proporciona una cota inferior común asintótica para el${\displaystyle F_{n}}$La segunda condición significa que este límite inferior es óptimo.

${\displaystyle \Gamma }$La convergencia está relacionada con la noción de convergencia de Kuratowski de conjuntos. Sea${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$denota el epígrafe de una función${\displaystyle F}$y dejar${\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ser una secuencia de funcionales en${\displaystyle X}$. Entonces

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

${\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}$

dónde${\displaystyle {\text{K-}}\liminf }$denota el limes Kuratowski inferior y${\displaystyle {\text{K-}}\limsup }$Las limas de Kuratowski superiores en la topología del producto de${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$. En particular,${\displaystyle (F_{n})_{n}}$${\displaystyle \Gamma }$-converge a${\displaystyle F}$en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle ({\text{epi}}(F_{n}))_{n}}$${\displaystyle {\text{K}}}$-converge a${\displaystyle {\text{epi}}(F)}$en${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$Esta es la razón por la que${\displaystyle \Gamma }$-La convergencia a veces se denomina epiconvergencia .

• Los minimizadores convergen a minimizadores: Si${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \Gamma }$-converger a${\displaystyle F}$, y${\displaystyle x_{n}}$es un minimizador para${\displaystyle F_{n}}$, entonces cada punto de clúster de la secuencia${\displaystyle x_{n}}$es un minimizador de${\displaystyle F}$.
• ${\displaystyle \Gamma }$-los límites son siempre semicontinuos inferiores .
• ${\displaystyle \Gamma }$-La convergencia es estable bajo perturbaciones continuas: Si${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \Gamma }$-converge a${\displaystyle F}$y${\displaystyle G:X\to [0,+\infty )}$es continuo, entonces${\displaystyle F_{n}+G}$voluntad${\displaystyle \Gamma }$-converger a${\displaystyle F+G}$.
• Una secuencia constante de funcionales${\displaystyle F_{n}=F}$no necesariamente${\displaystyle \Gamma }$-converger a${\displaystyle F}$, pero a la relajación de${\displaystyle F}$, el funcional semicontinuo inferior más grande a continuación${\displaystyle F}$.

Un uso importante para${\displaystyle \Gamma }$La convergencia se encuentra en la teoría de la homogeneización . También puede utilizarse para justificar rigurosamente el paso de las teorías discretas a las continuas para los materiales, por ejemplo, en la teoría de la elasticidad .

• Convergencia de Moscú
• Convergencia de Kuratowski
• Epiconvergencia

• A. Braides: Convergencia Γ para principiantes . Oxford University Press, 2002.
• G. Dal Maso: Una introducción a la Γ-convergencia . Birkhäuser, Basilea 1993.