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Programa Langlands

En matemáticas , el programa de Langlands es un conjunto de conjeturas sobre las conexiones entre la teoría de números , la teoría de formas automórficas y la geometría . Fue pr...

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En matemáticas , el programa de Langlands es un conjunto de conjeturas sobre las conexiones entre la teoría de números , la teoría de formas automórficas y la geometría . Fue propuesto por el matemático canadiense Robert Langlands ( 1967 , 1970 ) . Más precisamente, busca relacionar la estructura de los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con las formas automórficas y, de manera más general, con la teoría de la representación de grupos algebraicos sobre cuerpos locales y adeles . 

Fondo

El programa de Langlands se basa en ideas existentes: la filosofía de las formas de cúspide formulada unos años antes por Harish-Chandra y Gelfand , [ 1 ] el trabajo y el enfoque de Harish-Chandra sobre grupos de Lie semisimples y, en términos técnicos, la fórmula de traza de Selberg y otros.

Lo novedoso del trabajo de Langlands, además de la profundidad técnica, fue la conexión propuesta con la teoría de números, junto con su rica estructura organizativa hipotetizada (la llamada funtorialidad ).

El trabajo de Harish-Chandra explotó el principio de que lo que se puede hacer para un grupo de Lie semisimple (o reductivo) se puede hacer para todos. Por lo tanto, una vez que se reconoció el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión, como GL(2), en la teoría de formas modulares, y, en retrospectiva, GL(1) en la teoría de cuerpos de clases , se abrió el camino para especular sobre GL( n ) para n > 2 en general.

La idea de la "forma de cúspide" surgió de las cúspides en las curvas modulares , pero también tuvo un significado visible en la teoría espectral como " espectro discreto ", en contraste con el " espectro continuo " de la serie de Eisenstein . Se vuelve mucho más técnica para grupos de Lie más grandes, porque los subgrupos parabólicos son más numerosos.

En todos estos enfoques se disponía de métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados ​​en descomposiciones de Levi , entre otras cosas, pero el campo seguía siendo exigente. [ 2 ]

Desde la perspectiva de las formas modulares, se han desarrollado ejemplos como las formas modulares de Hilbert , las formas modulares de Siegel y las series theta .

objetos

Las conjeturas han evolucionado desde que Langlands las enunció por primera vez. Se aplican a muchos grupos diferentes en muchos campos distintos para los que pueden enunciarse, y cada campo ofrece varias versiones de las conjeturas. [ 3 ] Algunas versiones son vagas o dependen de objetos como los grupos de Langlands , cuya existencia no está probada, o del grupo L , que tiene varias definiciones no equivalentes.

Objetos para los que se pueden formular conjeturas de Langlands:

  • Representaciones de grupos reductivos sobre campos locales (con diferentes subcasos que corresponden a campos locales arquimedianos, campos locales p -ádicos y completaciones de campos de funciones).
  • Formas automorfas en grupos reductivos sobre cuerpos globales (con subcasos que corresponden a cuerpos numéricos o cuerpos de funciones).
  • Análogos para campos finitos.
  • Campos más generales, como los campos de funciones sobre los números complejos.

Conjeturas

Las conjeturas pueden formularse de diversas maneras que están estrechamente relacionadas, pero que no son obviamente equivalentes.

Reciprocidad

El punto de partida del programa fue la ley de reciprocidad de Emil Artin , que generaliza la reciprocidad cuadrática . La ley de reciprocidad de Artin se aplica a una extensión de Galois de un cuerpo numérico algebraico cuyo grupo de Galois es abeliano ; asigna funciones L a las representaciones unidimensionales de este grupo de Galois y establece que estas funciones L son idénticas a ciertas series L de Dirichlet o a series más generales (es decir, ciertos análogos de la función zeta de Riemann ) construidas a partir de caracteres de Hecke . La correspondencia precisa entre estos diferentes tipos de funciones L constituye la ley de reciprocidad de Artin.

Para grupos de Galois no abelianos y representaciones de dimensiones superiores de los mismos, las funciones L se pueden definir de forma natural: funciones L de Artin .

La intuición de Langlands consistió en encontrar la generalización adecuada de las funciones L de Dirichlet , lo que permitiría formular la afirmación de Artin en el contexto más general de Langlands. Hecke había relacionado previamente las funciones L de Dirichlet con formas automorfas ( funciones holomorfas en el semiplano superior del plano de los números complejos).do{\displaystyle \mathbb {C} } que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales ). Langlands luego generalizó estas a representaciones cuspidales automorfas , que son ciertas representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo lineal general GL( n ) sobre el anillo de adele deQ{\displaystyle \mathbb {Q} }(los números racionales ). (Este anillo rastrea todas las completaciones deQ,{\displaystyle \mathbb {Q} ,}(Ver números p -ádicos .)

Langlands asoció funciones L automórficas a estas representaciones automórficas y conjeturó que toda función L de Artin que surge de una representación de dimensión finita del grupo de Galois de un cuerpo numérico es igual a una que surge de una representación cuspidal automórfica. Esto se conoce como su conjetura de reciprocidad .

En términos generales, esta conjetura establece una correspondencia entre las representaciones automórficas de un grupo reductivo y los homomorfismos de un grupo de Langlands a un grupo L. Esto ofrece numerosas variaciones, en parte porque las definiciones de grupo de Langlands y grupo L no son fijas.

Sobre cuerpos locales, se espera que esto proporcione una parametrización de los L -paquetes de representaciones irreducibles admisibles de un grupo reductivo sobre el cuerpo local. Por ejemplo, sobre los números reales, esta correspondencia es la clasificación de Langlands de las representaciones de grupos reductivos reales. Sobre cuerpos globales , debería proporcionar una parametrización de las formas automórficas.

Funtorialidad

La conjetura de funtorialidad afirma que se espera que un homomorfismo adecuado de grupos L dé lugar a una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local). En términos generales, la conjetura de reciprocidad de Langlands es el caso particular de la conjetura de funtorialidad cuando uno de los grupos reductivos es trivial.

Funtorialidad generalizada

Langlands generalizó la idea de funtorialidad: en lugar de usar el grupo lineal general GL( n ), se pueden usar otros grupos reductivos conexos. Además, dado un grupo G de este tipo , Langlands construye el grupo dual de Langlands L G y, a continuación, para cada representación cuspidal automorfa de G y cada representación de dimensión finita de L G , define una L -función. Una de sus conjeturas afirma que estas L -funciones satisfacen una cierta ecuación funcional que generaliza las de otras L -funciones conocidas.

A continuación, formula un «Principio de Functorialidad» muy general. Dados dos grupos reductivos y un morfismo (bien comportado) entre sus correspondientes L -grupos, esta conjetura relaciona sus representaciones automórficas de forma compatible con sus L -funciones. Esta conjetura de functorialidad implica todas las demás conjeturas presentadas hasta ahora. Es de la naturaleza de una construcción de representación inducida —lo que en la teoría más tradicional de las formas automórficas se denominaba « elevación »—, conocida en casos especiales, y por lo tanto es covariante (mientras que una representación restringida es contravariante). Los intentos de especificar una construcción directa solo han producido algunos resultados condicionales.

Todas estas conjeturas pueden formularse para campos más generales en lugar deQ{\displaystyle \mathbb {Q} }: campos de números algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos de funciones .

Conjeturas geométricas

El programa geométrico de Langlands, propuesto por Gérard Laumon siguiendo las ideas de Vladimir Drinfeld , surge de una reformulación geométrica del programa de Langlands habitual que intenta relacionar algo más que representaciones irreducibles. En casos sencillos, relaciona las representaciones l -ádicas del grupo fundamental étale de una curva algebraica con objetos de la categoría derivada de haces l -ádicos sobre la pila de módulos de fibrados vectoriales sobre la curva.

En 2024, un proyecto colaborativo de 9 personas liderado por Dennis Gaitsgory anunció una demostración de la conjetura geométrica de Langlands (categórica, no ramificada) utilizando haces propios de Hecke como parte de la demostración. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

Estado

La correspondencia de Langlands para GL(1, K ) se deriva de (y es esencialmente equivalente a) la teoría de cuerpos de clases .

Langlands demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre los campos locales arquimedianos.R{\displaystyle \mathbb {R} }(los números reales ) ydo{\displaystyle \mathbb {C} }(los números complejos ) mediante la clasificación de Langlands de sus representaciones irreducibles.

La clasificación de Lusztig de las representaciones irreducibles de grupos de tipo Lie sobre cuerpos finitos puede considerarse un análogo de las conjeturas de Langlands para cuerpos finitos.

La demostración de Andrew Wiles sobre la modularidad de las curvas elípticas semiestables sobre los racionales puede considerarse un ejemplo de la conjetura de reciprocidad de Langlands, ya que la idea principal es relacionar las representaciones de Galois que surgen de las curvas elípticas con las formas modulares. Aunque los resultados de Wiles se han generalizado sustancialmente en muchas direcciones diferentes, la conjetura completa de Langlands paraGL(2,Q){\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {Q} )}sigue sin estar probado.

En 1998, Laurent Lafforgue demostró el teorema de Lafforgue, que verifica la correspondencia global de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para cuerpos de funciones K. Este trabajo dio continuidad a investigaciones previas de Drinfeld, quien ya había abordado el caso de GL(2, K ) en la década de 1980.

En 2018, Vincent Lafforgue estableció la mitad de la correspondencia global de Langlands (la dirección de las formas automórficas a las representaciones de Galois) para grupos reductivos conexos sobre cuerpos de funciones globales. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

Conjeturas locales de Langlands

Philip Kutzko [ 11 ] demostró la correspondencia local de Langlands para el grupo lineal general GL(2, K ) sobre cuerpos locales.

Gérard Laumon , Michael Rapoport y Ulrich Stuhler demostraron la correspondencia local de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para campos locales de característica positiva K. [ 12 ] Su demostración utiliza un argumento global, realizando representaciones suaves admisibles de interés como componentes locales de representaciones automorfas del grupo de unidades de un álgebra de división sobre una curva, y luego utilizando la fórmula de conteo de puntos para estudiar las propiedades de las representaciones de Galois globales asociadas a estas representaciones.

Michael Harris y Richard Taylor demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para cuerpos locales K de característica 0. [ 13 ] Guy Henniart dio otra demostración. [ 14 ] Ambas demostraciones utilizan un argumento global de un tipo similar al mencionado en el párrafo anterior. Peter Scholze dio otra demostración. [ 15 ]

Programa Fargues-Scholze

Laurent Fargues y Peter Scholze reformulan la correspondencia local de Langlands en términos geométricos utilizando la curva de Fargues-Fontaine. En su enfoque, el objeto automórfico clave es la pila.BolloGRAMO{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}}deGRAMO{\displaystyle G}- haces en la curva de Fargues-Fontaine, vistos como un reemplazo geométrico para la teoría de la representación deGRAMO(mi){\displaystyle G(E)}sobre un campo local no arquimedianomi{\displaystyle E}. [ 16 ]

Fargues y Scholze desarrollan una teoría deℓ{\displaystyle \ell }-gavillas ádicas enBolloGRAMO{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}}, demostrar una versión de la equivalencia geométrica de Satake para la curva de Fargues-Fontaine y definir una pila de módulos geométricos de parámetros de Langlands. [ 16 ]

Su trabajo también formula una forma categórica conjetural de Langlands local, en la que se espera que la correspondencia habitual entre representaciones y parámetros surja de una relación más profunda entre categorías de haces enBolloGRAMO{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}}y haces coherentes en la pila de parámetros de Langlands. Por lo tanto, esto no constituye una prueba completa de la correspondencia local de Langlands para todos los grupos reductivos, sino una reformulación geométrica que produce nuevos resultados y un marco conceptual ampliado para el tema. [ 16 ] [ 17 ]

Lema fundamental

En 2008, Ngô Bảo Châu demostró el " lema fundamental ", que fue conjeturado inicialmente por Langlands y Shelstad en 1983 y es necesario en la demostración de algunas conjeturas esenciales en el programa de Langlands. [ 18 ] [ 19 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Gelfand 1963 .
  2. ↑ Frenkel 2013 : "Todo esto, como decía mi padre, es bastante complejo: tenemos espacios de módulos de Hitchin, simetría especular, branas A , branas B , haces automorfos... Uno puede sufrir dolor de cabeza solo con intentar seguirles la pista. Créanme, incluso entre los especialistas, muy pocos conocen los entresijos de todos los elementos de esta construcción."
  3. ↑ Frenkel 2013 , p. 77 : «El programa de Langlands es ahora un tema muy extenso. Existe una gran comunidad de personas que trabajan en él en diferentes campos: teoría de números, análisis armónico, geometría, teoría de la representación, física matemática. Aunque trabajan con objetos muy diferentes, todos observan fenómenos similares». 
  4. ↑ Gaitsgory, Dennis . "Demostración de la conjetura geométrica de Langlands" . Consultado el 21 de mayo de 2026 .
  5. ↑ Gaitsgory y Raskin 2025 .
  6. ↑ Arinkin et al. 2024 .
  7. ↑ "Prueba monumental resuelve la conjetura geométrica de Langlands" . Quanta Magazine. 19 de julio de 2024.
  8. ↑ Lafforgue, V. (2018). "Shtukas para grupos reductivos y correspondencia de Langlands para cuerpos de funciones" . icm2018.org . arXiv : 1803.03791 . Archivado del original el 7 de febrero de 2020. Consultado el 28 de septiembre de 2019 ."Fuente alternativa" (PDF) . math.cnrs.fr .
  9. ^ Lafforgue, V. (2018). "Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 31 : 719–891 . arXiv : 1209.5352 . doi : 10.1090/mermeladas/897 . S2CID 118317537 . 
  10. ^ Stroh, B. (enero de 2016). La paramétrisation de Langlands globale sur les corps des fonctions (d'après Vincent Lafforgue) (PDF) . Séminaire Bourbaki 68ème année, 2015-2016, núm. 1110, enero de 2016.  
  11. ↑ Kutzko 1980 .
  12. ^ Laumon, Rapoport y Stuhler 1993 .
  13. ↑ Harris y Taylor 2001 .
  14. ↑ Henniart 2000 .
  15. ↑ Scholze 2013 .
  16. ^ Fargues y Scholze 2024 .​
  17. ↑ Imai 2024 .
  18. ↑ Châu 2010 .
  19. ↑ Langlands 1983 .

Referencias

  • Arinkin, D.; Beraldo, D.; Campbell, J.; Chen, L.; Faergeman, J.; Gaitsgory, D .; Enlace.; Raskin, S.; Rozenblyum, N. (2024). "Prueba de la conjetura geométrica de Langlands II: localización de Kac-Moody y FLE". arXiv : 2405.03648 [ matemáticas.AG ].
  • Chaudouard, Pierre-Henri; Gan, Wee Teck; Kaletha, Tasho; Sakellaridis, Yiannis, eds. (31 de marzo de 2026). El programa Langlands . Actas de simposios de matemáticas puras. Vol.  112. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-1-4704-6946-7.
  • Frenkel, Edward (2007). «Conferencias sobre el programa de Langlands y la teoría de campos conformes». En Cartier, Pierre ; Julia, Bernard ; Moussa, Pierre; Vanhove, Pierre (eds.). Fronteras en teoría de números, física y geometría II . Springer Berlin, Heidelberg. pp. 387–533 . doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_11 . ISBN  978-3-540-30307-7.
  • Gaitsgory, Dennis ; Raskin, Sam (2025). "Demostración de la conjetura geométrica de Langlands I: construcción del functor". arXiv : 2405.03599 [ math.AG ].
  • Gelfand, IM (1963), "Funciones automórficas y la teoría de las representaciones" , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 74–85 , MR 0175997 , archivado del original el 17 de julio de 2011 , consultado el 29 de junio de 2011.  
  • Imai, Naoki (2024). "Sobre la geometrización de la correspondencia local de Langlands". arXiv : 2408.16571 [ math.NT ].
  • Langlands, RP (1970). «Problemas en la teoría de las formas automorfas». En Taam, CT (ed.). Lecciones de análisis moderno y aplicaciones III . Notas de clase en matemáticas . Vol.  170. Springer Berlin, Heidelberg. pp. 18–61 . doi : 10.1007/BFb0079065 . ISBN  978-3-540-05284-5MR 0302614 .​ 
  • La obra de Robert Langlands