1/ Expansión N

En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística , la expansión 1/ N , también conocida como expansión de N grande , es el tratamiento matemático de una interacción fundamental hipotética con un gran número N de posibles cargas. Esta técnica se utiliza en la cromodinámica cuántica (aunque${\displaystyle N}$es solo 3 allí indicando el número de cargas de color ) con el grupo de calibre SU(3). Esta expansión un análisis perturbativo particular de teorías de campos cuánticos con un grupo de simetría interna como el grupo ortogonal especial SO( N ) o el grupo unitario especial SU( N ). Consiste en derivar una expansión para las propiedades de la teoría en potencias de${\displaystyle 1/N}$, que se trata como un parámetro pequeño.

Otra aplicación en física de partículas es el estudio de la correspondencia AdS/CFT . También se utiliza ampliamente en física de la materia condensada, donde puede proporcionar una base rigurosa para la teoría de campo medio .

Esta técnica de expansión fue introducida por primera vez por Gerard 't Hooft en 1974 en un intento de reformular la cromodinámica cuántica como una teoría de cuerdas . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Partiendo de una interacción cuártica φ ⁴ , el campo escalar φ toma valores en la representación vectorial real del grupo ortogonal O( N ). Usando la notación de índices para los N " sabores " con la convención de suma de Einstein y debido a que O( N ) es ortogonal, no se hará distinción entre índices covariantes y contravariantes. La densidad lagrangiana viene dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi _{a}\partial _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a}-{\lambda \over 8N}(\phi _{a}\phi _{a})^{2}}$

dónde${\displaystyle a}$va de 1 a N. Nótese que N se ha absorbido en la fuerza de acoplamiento λ. Esto es crucial aquí.

Introducir un campo auxiliar F ;

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi _ {a}\partial _ {\mu }\phi _ {a}-{m^{2} \over 2}\phi _ {a}\phi _ {a}+{1 \over 2}F^{2}-{{\sqrt {\lambda /N}} \over 2}F\phi _ {a} \ phi _ {a}}$

En los diagramas de Feynman , el gráfico se divide en ciclos disjuntos , cada uno formado por aristas φ del mismo tipo, y los ciclos están conectados por aristas F (que no tienen línea propagadora ya que los campos auxiliares no se propagan).

Cada vértice de 4 puntos contribuye con λ/N y, por lo tanto, con 1/ N . Cada ciclo de sabor contribuye con N porque hay N sabores que sumar. Cabe señalar que no todos los ciclos de flujo de momento son ciclos de sabor.

Al menos desde un punto de vista perturbativo, la contribución dominante a la función de correlación conectada de 2 k puntos es del orden de (1/ N ) ^{k -1} y los demás términos son potencias superiores de 1/ N . Al realizar una expansión de 1/ N, la precisión aumenta progresivamente en el límite de N grande . La densidad de energía del vacío es proporcional a N , pero puede ignorarse debido a que no cumple con las suposiciones de la relatividad general .

Debido a esta estructura, se puede utilizar una notación gráfica diferente para denotar los diagramas de Feynman . Cada ciclo de sabor puede representarse mediante un vértice. Los caminos de sabor que conectan dos vértices externos se representan mediante un único vértice. Los dos vértices externos a lo largo del mismo camino de sabor están emparejados de forma natural y pueden sustituirse por un único vértice y una arista (no una arista F) que lo conecta al camino de sabor. Las aristas F son aristas que conectan dos ciclos/caminos de sabor entre sí (o un ciclo/camino de sabor consigo mismo). Las interacciones a lo largo de un ciclo/camino de sabor tienen un orden cíclico definido y representan un tipo especial de grafo donde el orden de las aristas incidentes a un vértice importa, pero solo hasta una permutación cíclica, y dado que se trata de una teoría de escalares reales, también una inversión de orden (pero si tenemos SU( N ) en lugar de SU(2), las inversiones de orden no son válidas). A cada arista F se le asigna un momento (la transferencia de momento) y existe una integral de momento interna asociada a cada ciclo de sabor.

La cromodinámica cuántica (QCD) es una teoría de gauge SU(3) que involucra gluones y quarks . Los quarks levógiros pertenecen a una representación triplete , los dextrógiros a una representación antitriplete (después de conjugarlos por carga) y los gluones a una representación adjunta real . A cada borde de un quark se le asigna un color y una orientación, y a cada borde de un gluón se le asigna un par de colores.

En el límite de N grande , solo consideramos el término dominante. Véase AdS/CFT .

• G. 't Hooft (1974). "Una teoría de diagramas planares para interacciones fuertes" . Nuclear Physics B. 72 ( 3): 461. Bibcode : 1974NuPhB..72..461T . doi : 10.1016/0550-3213(74)90154-0 . Archivado del original el 11 de octubre de 2006.