interacción cuártica

En la teoría cuántica de campos , una interacción cuártica o teoría φ⁴ es un tipo de autointeracción en un campo escalar . Otros tipos de interacciones cuárticas se pueden encontrar en el tema de las interacciones ^de cuatro fermiones . Un campo escalar libre clásico${\displaystyle \varphi }$satisface la ecuación de Klein-Gordon . Si se denota un campo escalar${\displaystyle \varphi }$Una interacción cuártica se representa añadiendo un término de energía de interacción.${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$a la densidad lagrangiana . La constante de acoplamiento${\displaystyle \lambda }$es adimensional en el espacio-tiempo de 4 dimensiones .

Este artículo utiliza el${\displaystyle (+---)}$Firma métrica para el espacio de Minkowski .

La densidad lagrangiana para un campo escalar real masivo con una interacción cuártica es

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _ {\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

El primer término entre paréntesis es la energía relacionada con el cuadrimomento de la partícula, el segundo término describe su energía de masa en reposo.

Este lagrangiano tiene una simetría global Z _2.${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$.

El lagrangiano para un campo escalar complejo puede motivarse de la siguiente manera. Para dos campos escalares${\displaystyle \varphi _{1}}$y${\displaystyle \varphi _{2}}$El lagrangiano tiene la forma

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

que se puede escribir de forma más concisa introduciendo un campo escalar complejo.${\displaystyle \phi }$definido como

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Expresado en términos de este campo escalar complejo, el lagrangiano anterior se convierte en:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

lo cual es equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$, como puede verse al expandir el campo complejo${\displaystyle \phi }$en partes reales e imaginarias.

Con${\displaystyle N}$campos escalares reales, podemos tener un${\displaystyle \varphi ^{4}}$modelo con una simetría SO(N) global dada por el lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Al expandir el campo complejo en partes real e imaginaria se muestra que es equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales.

En todos los modelos anteriores, la constante de acoplamiento${\displaystyle \lambda }$debe ser positivo, ya que de lo contrario el potencial sería ilimitado por debajo y no habría vacío estable. Además, la integral de trayectoria de Feynman que se analiza a continuación estaría mal definida. En 4 dimensiones,${\displaystyle \phi ^{4}}$Las teorías tienen un polo de Landau . Esto significa que, sin un límite en la escala de alta energía, la renormalización haría que la teoría fuera trivial .

El${\displaystyle \phi ^{4}}$El modelo pertenece a la clase de Griffiths-Simon, ^{[ 1 ]} lo que significa que también puede representarse como el límite débil de un modelo de Ising en un cierto tipo de grafo. La trivialidad de ambos${\displaystyle \phi ^{4}}$modelo y el modelo de Ising en${\displaystyle d\geq 4}$puede mostrarse mediante una representación gráfica conocida como expansión de corriente aleatoria. ^{[ 2 ]}

La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación de la integral de camino de Feynman . ^{[ 3 ]} Los valores esperados en el vacío ordenados en el tiempo de los polinomios en φ, conocidos como las funciones de Green de n partículas, se construyen integrando sobre todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado en el vacío sin campos externos,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _ {\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu}\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo la exponencial en J ( x )φ( x ) en la función generadora.

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _ {\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer imaginario el tiempo. Cambiar la signatura a (++++) da entonces una integral de mecánica estadística φ ^{4 sobre un} espacio euclidiano de 4 dimensiones ,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso, una transformada de Fourier es útil, dando en su lugar

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

dónde${\displaystyle \delta (x)}$es la función delta de Dirac .

El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Los dos últimos factores exponenciales pueden expandirse como series de potencias , y la combinatoria de esta expansión puede representarse gráficamente. La integral con λ = 0 puede tratarse como un producto de infinitas integrales gaussianas elementales, y el resultado puede expresarse como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

• Cada campo${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$En la función de Green euclidiana de n puntos, está representada por una línea externa (media arista) en el gráfico y asociada con el momento p .
• Cada vértice está representado por un factor -λ .
• En un orden dado λ ^k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de tal manera que el momento que fluye hacia cada vértice es cero. Cada línea interna está representada por un factor 1/( q ² + m ² ), donde q es el momento que fluye a través de esa línea.
• Cualquier momento no restringido se integra sobre todos los valores.
• El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de maneras en que se pueden reorganizar las líneas y los vértices del grafo sin cambiar su conectividad.
• No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", es decir, subgráficos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por${\displaystyle -i\lambda }$, mientras que cada línea interna está representada por un factor i /( q ² - m ² + i ε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para que la integral gaussiana del espacio de Minkowski converja. 

Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto se maneja normalmente mediante la renormalización , que es un procedimiento de añadir contra-términos divergentes al lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del lagrangiano original y los contra-términos sean finitos. ^{[ 4 ]} En el proceso debe introducirse una escala de renormalización, y la constante de acoplamiento y la masa dependen de ella. Es esta dependencia la que conduce al polo de Landau mencionado anteriormente y requiere que el límite de corte se mantenga finito.

Una característica interesante puede ocurrir si m₂ se vuelve negativo, pero con λ aún positivo. En este caso, el vacío consta de dos estados de energía más baja, cada uno de los cuales rompe espontáneamente la ^simetría _global Z₂ de la teoría original. Esto conduce a la aparición de estados colectivos interesantes como paredes de dominio . En la teoría O (2), los vacíos se encontrarían en un círculo, y la elección de uno rompería espontáneamente la simetría O (2). Una ruptura continua de simetría conduce a un bosón de Goldstone . Este tipo de ruptura espontánea de simetría es el componente esencial del mecanismo de Higgs . ^{[ 5 ]}

Existe un conjunto de soluciones clásicas exactas para la ecuación de movimiento de la teoría escrita en la forma

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

que se puede escribir para los que no tienen masa,${\displaystyle \mu _{0}=0}$, caso como ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

dónde${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ es la función seno elíptico de Jacobi y${\displaystyle \,\mu ,\theta }$ son dos constantes de integración, siempre que se cumpla la siguiente relación de dispersión.

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Lo interesante es que comenzamos con una ecuación sin masa, pero la solución exacta describe una onda con una relación de dispersión propia de una solución con masa. Cuando el término de masa no es cero, se obtiene

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

siendo ahora la relación de dispersión

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Finalmente, para el caso de una ruptura de simetría se tiene

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

ser${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$y se cumple la siguiente relación de dispersión

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Estas soluciones ondulatorias son interesantes porque, a pesar de haber partido de una ecuación con un signo de masa erróneo, la relación de dispersión tiene el correcto. Además, la función de Jacobi dn no tiene ceros reales, por lo que el campo nunca es cero, sino que se mueve alrededor de un valor constante dado que se elige inicialmente para describir una ruptura espontánea de simetría.

Se puede proporcionar una prueba de unicidad si observamos que la solución se puede buscar en la forma${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ser${\displaystyle \xi =p\cdot x}$. Entonces, la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria que es la que define la función elíptica de Jacobi con${\displaystyle p}$que satisface la relación de dispersión adecuada. ^{[ 8 ]}

• Teoría de campos escalares
• poste de Landau
• Renormalización
• Mecanismo de Higgs
• bosón de Goldstone
• Potencial de Coleman-Weinberg

• 't Hooft, G. , "La base conceptual de la teoría cuántica de campos" ( versión en línea ).