Ley de los cosenos

La altura que pasa por el vértice C es un segmento perpendicular al lado c . La distancia desde la base de la altura hasta el vértice A más la distancia desde la base de la altura hasta el vértice B es igual a la longitud del lado c (véase la figura  5). Cada una de estas distancias se puede escribir como uno de los otros lados multiplicado por el coseno del ángulo adyacente, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha .}$$

(Esto sigue siendo cierto si α o β son obtusos, en cuyo caso la perpendicular cae fuera del triángulo). Multiplicando ambos lados por c se obtiene $${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .}$$

Los mismos pasos funcionan igual de bien al tratar cualquiera de los otros lados como la base del triángulo: $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$$

Tomando la ecuación para ⁠${\displaystyle c^{2}}$y restando las ecuaciones para${\displaystyle b^{2}}$y​​${\displaystyle a^{2}}$⁠ , $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$$

Esta demostración es independiente del teorema de Pitágoras , ya que se basa únicamente en la definición de coseno en un triángulo rectángulo y obtiene longitudes de lados al cuadrado algebraicamente. Otras demostraciones suelen invocar explícitamente el teorema de Pitágoras y son más geométricas, tratando a cos γ como una etiqueta para la longitud de un segmento de línea determinado. ^{[ 13 ]}

A diferencia de muchas demostraciones, esta trata los casos de ángulos obtusos y agudos γ de forma unificada.

Consideremos un triángulo con lados de longitud a , b , c , donde θ es la medida del ángulo opuesto al lado de longitud c . Este triángulo se puede colocar en el sistema de coordenadas cartesianas con el lado a alineado con el eje x y el ángulo θ situado en el origen, representando gráficamente las componentes de los 3 puntos del triángulo como se muestra en la Fig. 4: $${\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ y }}C=(0,0).}$$

Por la fórmula de distancia , ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle c={\sqrt {(ab\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.}$$

Cuadrar ambos lados y simplificar $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ab\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Una ventaja de esta demostración es que no requiere considerar casos separados según si el ángulo γ es agudo, recto u obtuso. Sin embargo, los casos tratados por separado en Elementos II.12–13 y posteriormente por al-Ṭūsī, al-Kāshī y otros podrían combinarse utilizando conceptos de longitudes y áreas con signo y el concepto de coseno con signo, sin necesidad de un sistema de coordenadas cartesianas completo.

En el diagrama, se dibuja el triángulo ABC con lados AB = c , BC = a y AC = b dentro de su circunferencia circunscrita, como se muestra. El triángulo ABD se construye congruente con el triángulo ABC con AD = BC y BD = AC . Las perpendiculares desde D y C se encuentran con la base AB en E y F respectivamente. Entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}$$

Ahora bien, la ley de los cosenos se obtiene mediante una aplicación directa del teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico ABCD : $${\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

Claramente, si el ángulo B es recto , entonces ABCD es un rectángulo y la aplicación del teorema de Ptolomeo produce el teorema de Pitágoras : $${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.}$$

También se puede demostrar la ley de los cosenos calculando áreas . El cambio de signo cuando el ángulo γ se vuelve obtuso hace necesaria una distinción de casos.

Recuerda que

• a² ^, b² y ^c² son lasáreas de los cuadrados con lados a , b y ^c , respectivamente;
• si γ es agudo, entonces ab cos γ es el área del paralelogramo con lados a y b que forman un ángulo de γ′ = ⁠ π / 2 ⁠ − γ ;
• Si γ es obtuso, y por lo tanto cos γ es negativo, entonces − ab cos γ es el área del paralelogramo con lados a y b que forman un ángulo de γ′ = γ − ⁠ π / 2 ⁠ .

Caso agudo. La figura 7a muestra un heptágono cortado en piezas más pequeñas (de dos maneras diferentes) para obtener una demostración de la ley de los cosenos. Las distintas piezas son:

• En rosa, las áreas a ² , b ² a la izquierda y las áreas 2 ab cos γ y c ² a la derecha;
• En azul, el triángulo ABC , a la izquierda y a la derecha;
• En gris, triángulos auxiliares, todos congruentes con ABC , un número igual (es decir 2) tanto a la izquierda como a la derecha.

La igualdad de áreas a la izquierda y a la derecha da como resultado $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma .}$$

Caso obtuso. La figura 7b corta un hexágono de dos maneras diferentes en piezas más pequeñas, lo que proporciona una demostración de la ley de los cosenos en el caso de que el ángulo γ sea obtuso. Tenemos

• En rosa, las áreas a ² , b ² , y −2 ab cos γ a la izquierda y c ² a la derecha;
• En azul, el triángulo ABC dos veces, a la izquierda y también a la derecha.

La igualdad de áreas a la izquierda y a la derecha da como resultado $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.}$$

La demostración rigurosa deberá incluir pruebas de que diversas figuras son congruentes y, por lo tanto, tienen la misma área. Para ello se utilizará la teoría de triángulos congruentes .

Utilizando la geometría del círculo , es posible ofrecer una demostración más geométrica que la que se obtendría con el teorema de Pitágoras por sí solo. Se evitan las manipulaciones algebraicas (en particular, el teorema del binomio ).

Caso de ángulo agudo γ , donde a > 2 b cos γ . Trace la perpendicular desde A sobre a = BC , creando un segmento de línea de longitud b cos γ . Duplique el triángulo rectángulo para formar el triángulo isósceles ACP . Construya el círculo con centro A y radio b , y su tangente h = BH que pasa por B. La tangente h forma un ángulo recto con el radio b ( Elementos de Euclides : Libro 3, Proposición 18; o véase aquí ), por lo que el triángulo amarillo de la Figura 8 es rectángulo. Aplique el teorema de Pitágoras para obtener $${\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}.}$$

Luego, utilice el teorema de la tangente secante ( Elementos de Euclides : Libro 3, Proposición 36), que establece que el cuadrado de la tangente que pasa por un punto B fuera del círculo es igual al producto de los dos segmentos de recta (desde ^B ) creados por cualquier secante del círculo que pasa por B. En el presente caso: BH² = BC · BP , o $${\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).}$$

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene la ley de los cosenos: $${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).}$$

Nótese que h² es la potencia del punto B con respecto al círculo. El uso del teorema de Pitágoras y del teorema de la tangente secante puede sustituirse por una única aplicación del teorema de la ^potencia de un punto .

Caso de ángulo agudo γ , donde a < 2 b cos γ . Trace la perpendicular desde A sobre a = BC , creando un segmento de línea de longitud b cos γ . Duplique el triángulo rectángulo para formar el triángulo isósceles ACP . Construya el círculo con centro A y radio b , y una cuerda que pase por B perpendicular a c = AB , cuya mitad es h = BH . Aplique el teorema de Pitágoras para obtener $${\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}$$

Ahora usemos el teorema de la cuerda ( Elementos de Euclides : Libro 3, Proposición 35), que dice que si dos cuerdas se intersecan, el producto de los dos segmentos de recta obtenidos en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos de recta obtenidos en la otra cuerda. En el presente caso: BH ² = BC · BP , o $${\displaystyle h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).}$$

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene la ley de los cosenos: $${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a).}$$

Nótese que la potencia del punto B con respecto al círculo tiene el valor negativo − h ² .

Caso de ángulo obtuso γ . Esta demostración utiliza directamente el teorema de la potencia de un punto, sin los triángulos auxiliares obtenidos al construir una tangente o una cuerda. Construimos un círculo con centro B y radio a (véase la figura 9), que interseca la secante que ^pasa por A y C en C y K. La potencia del punto A con respecto al círculo es igual a AB² ⁻ BC² y AC · AK . Por lo tanto ,$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}}$$

que es la ley de los cosenos.

Utilizando medidas algebraicas para segmentos de línea (permitiendo números negativos como longitudes de segmentos), el caso de ángulo obtuso ( CK > 0 ) y ángulo agudo ( CK < 0 ) se puede tratar simultáneamente.

La ley de los cosenos se puede demostrar algebraicamente a partir de la ley de los senos y algunas identidades trigonométricas estándar. ^{[ 15 ]} Para empezar, la suma de tres ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano (${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$radianes). Por lo tanto, mediante las identidades de suma de ángulos para seno y coseno,

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignedat}}}$$

Elevando al cuadrado la primera de estas identidades, luego sustituyendo${\displaystyle \cos \alpha \,\cos \beta ={}}$${\displaystyle \sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma }$desde el segundo, y finalmente reemplazando${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ={}}$${\displaystyle \cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1,}$La identidad trigonométrica pitagórica , tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{alineado}}}$$

La ley de los senos sostiene que $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha {\vphantom {\beta }}}}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma {\vphantom {\beta }}}}=k,}$$

Entonces, para demostrar la ley de los cosenos, multiplicamos ambos lados de nuestra identidad anterior por ⁠${\displaystyle k^{2}}$:​

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma {\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}&=\sin ^{2}\alpha {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+\sin ^{2}\beta {\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta {\vphantom {\sin ^{2}}}}}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$$

Con esto concluye la demostración.

Denotar

$${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}$$

Tomando el producto escalar de cada lado consigo mismo: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}&=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\end{aligned}}}$$

Utilizando la identidad

$${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})}$$

conduce a

$${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})}$$

El resultado es el siguiente.