2 categorías

Por definición, una C estricta de 2 categorías consta de los datos: ^{[ 3 ]} 

• una clase de células 0- ,
• para cada par de células 0${\displaystyle a,b}$, un conjunto${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$llamado el conjunto de células 1-${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$,
• para cada par de células 1${\displaystyle f,g}$en el mismo conjunto de inicio, un conjunto${\displaystyle \operatorname {2Mor} (f,g)}$llamado el conjunto de 2- celdas de${\displaystyle f}$a${\displaystyle g}$,
• composiciones ordinarias : mapas${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Hom} (b,c)\times \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)} ,
• composiciones verticales : mapas${\displaystyle \circ$ :\operatorname {2Mor} (g,h)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (f,h)} , donde${\displaystyle f,g,h}$están en el mismo conjunto de inicio,
• composiciones horizontales : mapas${\displaystyle *:\operatorname {2Mor} (u,v)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (u\circ f,v\circ g)}$para${\displaystyle f,g:a\to b}$y${\displaystyle u,v:b\to c}$

que están sujetas a las siguientes condiciones

• Las celdas 0 con celdas 1 entre ellas forman una categoría bajo composición ordinaria,
• para cada celda 0${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, las células 1 de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$con 2 celdas entre ellas forman una categoría bajo composición vertical,
• las celdas 0 con celdas 2 entre celdas 1 entre ellas forman una categoría bajo composición horizontal; es decir, un objeto es una celda 0 y el conjunto hom de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$es el conjunto de todas las 2-celdas de la forma${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g}$para algunos${\displaystyle f,g:a\to b}$,
• la ley de intercambio :${\displaystyle (\delta *\beta )\circ (\gamma *\alpha )}$, cuando se define, es lo mismo que${\displaystyle (\delta \circ \gamma )*(\beta \circ \alpha )}$.

La terminología 0-celdas , 1-celdas y 2-celdas se reemplaza por 0-morfismos , 1-morfismos y 2-morfismos en algunas fuentes ^{[ 4 ]} (véase también Teoría de categorías superiores ). Las composiciones verticales y horizontales también se escriben como${\displaystyle \circ _{1},\circ _{0}}$.

La ley de intercambio se puede representar mediante un diagrama de pegado como sigue:

Aquí, el diagrama de la izquierda representa la composición vertical de compuestos horizontales, el diagrama de la derecha representa la composición horizontal de compuestos verticales, y el diagrama del centro es la representación habitual de ambos. Las celdas 2 se dibujan con flechas dobles ⇒, las celdas 1 con flechas simples →, y las celdas 0 con puntos.

Dado que la definición, como puede verse, no es breve, en la práctica es más común utilizar alguna generalización de la teoría de categorías, como la teoría de categorías superiores (véase más adelante) o la teoría de categorías enriquecidas, para definir una 2-categoría estricta. La noción de 2-categoría estricta difiere de la noción más general de 2-categoría débil definida más adelante en que la composición de 1-celdas (composición horizontal) debe ser estrictamente asociativa, mientras que en la versión débil, solo necesita ser asociativa hasta un 2-isomorfismo coherente .

Dada una categoría monoidal V , una categoría C enriquecida sobre V es una versión abstracta de una categoría; es decir, consiste en los datos

• una clase de objetos ,
• para cada par de objetos${\displaystyle a,b}$, un objeto hom${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$en${\displaystyle V}$,
• composiciones : morfismos${\displaystyle \operatorname {Hom} (b,c)\otimes \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)}$en${\displaystyle V}$,
• identidades : morfismos${\displaystyle 1\to \operatorname {Hom} (a,a)}$en${\displaystyle V}$

que están sujetos a los axiomas de asociatividad y unidad. En particular, si${\displaystyle V={\textbf {Establecer}}}$es la categoría de conjuntos con${\displaystyle \otimes }$producto cartesiano, entonces una categoría enriquecida sobre él es una categoría ordinaria.

Si${\displaystyle V={\textbf {Gato}}}$, la categoría de categorías pequeñas con${\displaystyle \otimes }$producto de categorías , entonces una categoría enriquecida sobre ella es exactamente una 2-categoría estricta. De hecho,${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$Tiene una estructura de categoría; por lo tanto, genera las 2-celdas y las composiciones verticales. Además, cada composición es un functor; en particular, envía 2-celdas a 2-celdas, lo que da lugar a las composiciones horizontales. La ley de intercambio es consecuencia de la funtorialidad de las composiciones.

Un proceso similar para las 3-categorías conduce a las tricategorías y, más generalmente, a las n- categorías débiles para las n- categorías , aunque este enfoque inductivo no es necesariamente común hoy en día.

Una 2-categoría débil o una bicategoría se pueden definir exactamente igual que una 2-categoría estricta, salvo que se requiere que la composición horizontal sea asociativa salvo un isomorfismo coherente . La condición de coherencia aquí es similar a las necesarias para las categorías monoidales ; así, por ejemplo, una categoría monoidal es lo mismo que una 2-categoría débil con una 0-celda. ^{[ 5 ]}

En la teoría de categorías superiores, si C es una ∞-categoría (un complejo de Kan débil ) cuya estructura está determinada únicamente por 0-símplexes, 1-símplexes y 2-símplexes, entonces es una (2, 1)-categoría débil; es decir, una 2-categoría débil en la que todo 2-morfismo es invertible. Por lo tanto, una 2-categoría débil es una (∞, 2)-categoría cuya estructura está determinada únicamente por 0, 1 y 2-símplexes.

La 2-categoría arquetípica es la categoría de categorías pequeñas , con transformaciones naturales que sirven como 2-morfismos. ^{[ 6 ]} Los objetos ( 0-celdas ) son todas categorías pequeñas, y para los objetos a y b el conjunto hom${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$adquiere una estructura de categoría como categoría de functores . Una composición vertical es ^{[ 7 ]} la composición de transformaciones naturales.

De manera similar, dada una categoría monoidal V , la categoría de categorías (pequeñas) enriquecidas sobre V es una 2-categoría. Además, si${\displaystyle A}$es una categoría, entonces la categoría coma${\displaystyle \mathbf {Gato} \downarrow A}$es una 2-categoría con transformaciones naturales que se corresponden con la identidad. ^{[ 6 ]}

Al igual que Cat , los grupoides (categorías cuyos morfismos son invertibles) forman una 2-categoría, donde un 2-morfismo es una transformación natural. A menudo, también se considera Grpd, donde todos los 2-morfismos son transformaciones invertibles. En este último caso, se trata de una (2, 1)-categoría.

La categoría Ord de conjuntos preordenados es una 2-categoría ya que cada conjunto hom tiene una estructura preordenada natural; por lo tanto, una estructura de categoría por${\displaystyle f\leq g\Leftrightarrow f(x)\leq g(x)}$para cada elemento x .

En términos más generales, la categoría de objetos ordenados en alguna categoría es una 2-categoría. ^{[ 6 ]}

Consideremos una categoría monoidal simple , como el preorden monoidal Bool ^{[ 8 ]} basado en el monoide M = ({T, F}, ∧ , T). Como categoría, se presenta con dos objetos {T, F} y un único morfismo g : F → T.

Podemos reinterpretar este monoide como una bicategoría con un único objeto x (una 0-celda); esta construcción es análoga a la construcción de una pequeña categoría a partir de un monoide. Los objetos {T, F} se convierten en morfismos, y el morfismo g se convierte en una transformación natural (formando una categoría functor para la única hom-categoría B ( x , x )).

• Toda bicategoría es "biequivalente" ^{[ 9 ]} a una 2-categoría. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Este es un ejemplo de estricción (un proceso de sustitución de isomorfismos coherentes por igualdades).