El problema de la cobertura universal de Lebesgue

El problema de recubrimiento universal de Lebesgue es un problema sin resolver en geometría que plantea la pregunta por la figura convexa de área mínima que puede cubrir cualquier conjunto plano de diámetro uno. El diámetro de un conjunto, por definición, es la menor cota superior de las distancias entre todos los pares de puntos del conjunto. Una figura cubre un conjunto si contiene un subconjunto congruente. En otras palabras, el conjunto puede rotarse, trasladarse o reflejarse para ajustarse al interior de la figura.

El problema fue planteado por Henri Lebesgue en una carta a Gyula Pál en 1914. Fue publicado en un artículo de Pál en 1920 junto con su análisis. ^{[ 1 ]} Demostró que una cubierta para todas las curvas de ancho constante uno es también una cubierta para todos los conjuntos de diámetro uno y que se puede construir una cubierta tomando un hexágono regular con un círculo inscrito de diámetro uno y quitando dos vértices del hexágono para obtener una cubierta de área$${\displaystyle 2-{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 0.84529946.}$$

En 1936, Roland Sprague demostró que una parte de la cubierta de Pál podía retirarse cerca de una de las otras esquinas sin perder su propiedad de cubierta. ^{[ 2 ]} Esto redujo el límite superior del área a${\displaystyle a\leq 0.844137708436}$.

Después de una serie de mejoras a la solución de Sprague, cada una eliminando pequeñas esquinas de la solución, ^{[ 3 ] [ 4 ]} una preimpresión de 2018 de Philip Gibbs afirmó el mejor límite superior conocido, una reducción adicional al área 0,8440935944. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

El límite inferior más conocido para el área fue proporcionado por Peter Brass y Mehrbod Sharifi utilizando una combinación de tres formas en alineación óptima, demostrando que el área de una cobertura óptima es al menos 0,832. ^{[ 7 ]}

• Problema del gusano de Moser : ¿cuál es el área mínima de una figura que puede cubrir todas las curvas de longitud unitaria?
• Problema del sofá móvil : el problema de encontrar una figura de área máxima que pueda rotarse y trasladarse a través de un pasillo en forma de L.
• Conjunto de Kakeya , un conjunto de área mínima que puede albergar cada segmento de línea de longitud unitaria (se permiten traslaciones, pero no rotaciones).
• El teorema de selección de Blaschke , que puede utilizarse para demostrar que el problema de recubrimiento universal de Lebesgue tiene solución.