Polinomios de Legendre

En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal con respecto a la función de peso.${\displaystyle w(x)=1}$durante el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$. Eso es,${\displaystyle P_{n}(x)}$es un polinomio de grado${\displaystyle n}$, de tal manera que $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

Con la condición de estandarización adicional${\displaystyle P_{n}(1)=1}$Todos los polinomios pueden determinarse de forma única. A continuación, comenzamos el proceso de construcción:${\displaystyle P_{0}(x)=1}$es el único polinomio de grado 0 correctamente estandarizado.${\displaystyle P_{1}(x)}$debe ser ortogonal a${\displaystyle P_{0}}$, lo que lleva a${\displaystyle P_{1}(x)=x}$, y${\displaystyle P_{2}(x)}$se determina exigiendo ortogonalidad a${\displaystyle P_{0}}$y${\displaystyle P_{1}}$, etcétera.${\displaystyle P_{n}}$se fija exigiendo ortogonalidad a todos${\displaystyle P_{m}}$con${\displaystyle m<n}$Esto da${\displaystyle n}$condiciones que, junto con la estandarización${\displaystyle P_{n}(1)=1}$arregla todo${\displaystyle n+1}$coeficientes en${\displaystyle P_{n}(x)}$. Con trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio pueden determinarse sistemáticamente, lo que lleva a la representación explícita en potencias de${\displaystyle x}$se indica a continuación.

Esta definición de la${\displaystyle P_{n}}$'s es el más simple. No recurre a la teoría de ecuaciones diferenciales. Segundo, la completitud de los polinomios se deduce inmediatamente de la completitud de las potencias 1,${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$. Finalmente, definiéndolos mediante ortogonalidad con respecto a la medida de Lebesgue en${\displaystyle [-1,1]}$, establece los polinomios de Legendre como uno de los tres sistemas polinómicos ortogonales clásicos . Los otros dos son los polinomios de Laguerre , que son ortogonales sobre la semirrecta.${\displaystyle [0,\infty )}$con el peso${\displaystyle e^{-x}}$y los polinomios de Hermite , ortogonales sobre toda la línea${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$con peso${\displaystyle e^{-x^{2}}}$.

Los polinomios de Legendre también pueden definirse como los coeficientes en una expansión formal en potencias de${\displaystyle t}$de la función generadora ^{[ 1 ]}

El coeficiente de${\displaystyle t^{n}}$es un polinomio en${\displaystyle x}$de grado${\displaystyle n}$con${\displaystyle |x|\leq 1}$. Ampliando hasta${\displaystyle t^{1}}$da $${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$ La expansión a órdenes superiores se vuelve cada vez más engorrosa, pero es posible realizarla sistemáticamente y, de nuevo, conduce a una de las formas explícitas que se presentan a continuación.

Es posible obtener el más alto${\displaystyle P_{n}}$Sin embargo , sin recurrir a la expansión directa de la serie de Taylor . La ecuación 1 se diferencia con respecto a t en ambos lados y se reordena para obtener  $${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ Sustituyendo el cociente de la raíz cuadrada por su definición en la ecuación 1 , e igualando los coeficientes de las potencias de t en la expansión resultante, se obtiene la fórmula de recurrencia de Bonnet. $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$ Esta relación, junto con los dos primeros polinomios P _​​0 y P ₁ , permite que todos los demás se generen recursivamente.

El método de la función generadora está directamente relacionado con la expansión multipolar en electrostática, como se explica a continuación, y es la forma en que Legendre definió por primera vez los polinomios en 1782.

Una tercera definición se basa en las soluciones de la ecuación diferencial de Legendre :

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en x = ±1, por lo que si se busca una solución utilizando el método estándar de Frobenius o de series de potencias , una serie alrededor del origen solo convergerá para | x | < 1 en general. Cuando n es un entero, la solución P _n ( x ) que es regular en x = 1 también es regular en x = −1 , y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad y completitud de estas soluciones se aprecian mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville . Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valores propios, $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P(x)\right)=-\lambda P(x)\,,}$$ con el valor propio${\displaystyle \lambda }$en lugar de${\displaystyle n(n+1)}$. Esta es una ecuación de Sturm-Liouville con${\displaystyle p=1-x^{2},q=0,w=1}$.

Si exigimos que la solución sea regular en ${\displaystyle x=\pm 1}$, el operador diferencial de la izquierda es hermitiano . Se encuentra que los autovalores son de la forma n ( n + 1) , con${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$y las funciones propias son las${\displaystyle P_{n}(x)}$La ortogonalidad y la completitud de este conjunto de soluciones se derivan inmediatamente del marco más amplio de la teoría de Sturm-Liouville.

La ecuación diferencial admite otra solución no polinómica, las funciones de Legendre de segundo tipo.${\displaystyle Q_{n}}$Una generalización de dos parámetros de la ecuación ( 2 ) se denomina ecuación diferencial general de Legendre , que se resuelve mediante los polinomios de Legendre asociados . Las funciones de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (generalizada o no) con parámetros no enteros . 

En el ámbito físico, la ecuación diferencial de Legendre surge naturalmente al resolver la ecuación de Laplace (y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas ) mediante la separación de variables en coordenadas esféricas . Desde este punto de vista, las autofunciones de la parte angular del operador laplaciano son los armónicos esféricos , de los cuales los polinomios de Legendre son (salvo una constante multiplicativa) el subconjunto que permanece invariante ante rotaciones alrededor del eje polar. Los polinomios aparecen como${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo polar. Este enfoque de los polinomios de Legendre proporciona una profunda conexión con la simetría rotacional . Muchas de sus propiedades, que se obtienen laboriosamente mediante los métodos de análisis —por ejemplo, el teorema de adición—, se encuentran más fácilmente utilizando los métodos de simetría y teoría de grupos , y adquieren un profundo significado físico y geométrico.

Una expresión especialmente compacta para los polinomios de Legendre viene dada por la fórmula de Rodrigues : $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

Esta fórmula permite derivar un gran número de propiedades de la${\displaystyle P_{n}}$Entre ellas se encuentran representaciones explícitas como $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=\lceil n/2\rceil }^{n}{\frac {(-1)^{k+n}(2k)!}{(2k-n)!(n-k)!k!}}x^{2k-n},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1,\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1,\\\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1,\\\displaystyle (-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}},\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Expresando el polinomio como una serie de potencias,${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{n,k}x^{k}}$, los coeficientes de potencias de${\displaystyle x}$También se puede calcular utilizando las recurrencias.

$${\displaystyle a_{n,k}=-{\frac {(n-k+2)(n+k-1)}{k(k-1)}}a_{n,k-2}.}$$o

${\displaystyle a_{n,k}=-{\frac {n+k-1}{n-k}}a_{n-2,k}.}$

El polinomio de Legendre se determina mediante los valores utilizados para las dos constantes.${\textstyle a_{n,0}}$y${\textstyle a_{n,1}}$, dónde${\textstyle a_{n,0}=0}$si${\displaystyle n}$es extraño y${\textstyle a_{n,1}=0}$si${\displaystyle n}$es par. ^{[ 2 ]}

En la cuarta representación,${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$representa el mayor entero menor o igual que${\displaystyle n/2}$. La quinta representación, que también es inmediata a partir de la fórmula de recursión, expresa los polinomios de Legendre mediante monomios simples e involucra la forma generalizada del coeficiente binomial .

La inversión de la representación como una serie de potencias es ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle x^{m}=\sum _{s=0}^{\lfloor m/2\rfloor }(2m-4s+1){\frac {(2s+2)(2s+4)\cdots 2\lfloor m/2\rfloor }{(2m-2s+1)(2m-2s-1)(2m-2s-3)\cdots (1+2\lfloor (m+1)/2\rfloor )}}P_{m-2s}(x).}$

para${\displaystyle m=0,1,2,\ldots }$donde un producto vacío en el numerador (último factor menor que el primer factor) se evalúa a 1.

Los primeros polinomios de Legendre son:

Las gráficas de estos polinomios (hasta n = 5 ) se muestran a continuación:

La estandarización${\displaystyle P_{n}(1)=1}$Fija la normalización de los polinomios de Legendre (con respecto a la norma L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 ). Se puede emplear la fórmula de Rodrigues para obtener la integral de normalización ^.$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)^{2}\,dx={\frac {2}{2n+1}}.}$$ Las declaraciones de normalización y ortogonalidad pueden entonces escribirse de forma compacta en una sola ecuación: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$ donde δ _mn denota la delta de Kronecker .

Que los polinomios sean completos significa lo siguiente. Dada cualquier función continua a trozos${\displaystyle f(x)}$con un número finito de discontinuidades en el intervalo [ −1, 1 ] , la secuencia de sumas $${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$ converge en la media a${\displaystyle f(x)}$como${\displaystyle n\to \infty }$, siempre que tomemos $${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

Esta propiedad de completitud subyace a todas las expansiones analizadas en este artículo, y a menudo se expresa de la forma $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$ con −1 ≤ x ≤ 1 y −1 ≤ y ≤ 1 .

Los polinomios de Legendre fueron introducidos por primera vez en 1782 por Adrien-Marie Legendre ^{[ 5 ]} como los coeficientes en la expansión del potencial newtoniano.$${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$ donde r y r ′ son las longitudes de los vectores x y x ′ respectivamente, y γ es el ángulo entre estos dos vectores. La serie converge cuando r > r ′ . La expresión proporciona el potencial gravitatorio asociado a una masa puntual o el potencial de Coulomb asociado a una carga puntual . El desarrollo mediante polinomios de Legendre puede ser útil, por ejemplo, al integrar esta expresión sobre una distribución continua de masa o carga.

Los polinomios de Legendre aparecen en la solución de la ecuación de Laplace del potencial estático , ∇ ² Φ( x ) = 0 , en una región del espacio libre de carga, utilizando el método de separación de variables , donde las condiciones de contorno tienen simetría axial (sin dependencia de un ángulo azimutal ). Donde ẑ es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje ẑ (el ángulo cenital), la solución para el potencial será $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

A _l y B _l deben determinarse de acuerdo con la condición de contorno de cada problema. ^{[ 6 ]}

También aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para una fuerza central.

Los polinomios de Legendre también son útiles para expandir funciones de la forma (esto es lo mismo que antes, escrito de forma ligeramente diferente): $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$ que surgen naturalmente en expansiones multipolares . El lado izquierdo de la ecuación es la función generadora de los polinomios de Legendre.

Como ejemplo, el potencial eléctrico Φ( r , θ ) (en coordenadas esféricas ) debido a una carga puntual ubicada en el eje z en z = a (ver diagrama a la derecha) varía como $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

Si el radio r del punto de observación P es mayor que a , el potencial puede expandirse en los polinomios de Legendre. $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$ donde hemos definido η = ⁠ a / r ⁠ < 1 y x = cos θ . Esta expansión se utiliza para desarrollar la expansión multipolar normal .

Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es menor que a , el potencial aún puede expandirse en los polinomios de Legendre como se indicó anteriormente, pero intercambiando a y r . Esta expansión es la base de la expansión multipolar interior .

Las funciones trigonométricas cos nθ , también denominadas polinomios de Chebyshev T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , también pueden expandirse multipolarmente mediante los polinomios de Legendre P _n (cos θ ) . Los primeros órdenes son los siguientes: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

Esto se puede resumir en:${\displaystyle n>0}$como

${\displaystyle T_{n}(x)=2^{2n-n'}{\hat {n}}!\sum _{t=0}^{\hat {n}}(n-2t+1/2){\frac {(n-t-1)!}{2^{2t}t!(n-1)!}}\times {\frac {(-1)\cdot 1\cdot 3\cdots (2t-3)}{(1+2n')(3+2n')\cdots (2n-2t+1)}}P_{n-2t}(x).}$

dónde${\displaystyle {\hat {n}}\equiv \lfloor n/2\rfloor }$, ${\displaystyle n'\equiv \lfloor (n+1)/2\rfloor }$y donde los productos con pasos de dos en el numerador y el denominador deben interpretarse como 1 si están vacíos, es decir, si el último factor es menor que el primer factor.

Otra propiedad es la expresión para sin ( n + 1) θ , que es $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

Una red neuronal recurrente que contiene un vector de memoria d -dimensional,${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$, puede optimizarse de tal manera que sus actividades neuronales obedezcan al sistema lineal invariante en el tiempo dado por la siguiente representación en el espacio de estados : $${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

En este caso, la ventana corrediza de${\displaystyle u}$a lo largo del pasado${\displaystyle \theta }$Las unidades de tiempo se aproximan mejor mediante una combinación lineal de las primeras${\displaystyle d}$polinomios de Legendre desplazados, ponderados juntos por los elementos de${\displaystyle \mathbf {m} }$en ese momento${\displaystyle t}$: $${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

Cuando se combinan con métodos de aprendizaje profundo , estas redes pueden entrenarse para superar a las unidades de memoria a corto y largo plazo y arquitecturas relacionadas, utilizando menos recursos computacionales. ^{[ 7 ]}

Como se mencionó anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recurrencia de Bonnet dada por $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$ y $${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$ o, con la expresión alternativa, que también se cumple en los extremos $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

Útil para la integración de polinomios de Legendre es $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

De lo anterior también se puede ver que $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$ o equivalentemente $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ donde ‖ P _n ‖ es la norma sobre el intervalo −1 ≤ x ≤ 1$${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$De manera más general, todos los órdenes de derivadas se pueden expresar como una suma de polinomios de Legendre: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}&{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}P_{q+2j}(x)={\frac {2^{q-1}}{(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+1){\frac {(q+j-i-1)!\Gamma \left(q+j+i+{\frac {1}{2}}\right)}{(j-i)!\Gamma (j+i+3/2)}}P_{2i}(x)\\&\quad ={\frac {1}{2^{q-2}(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+1){\frac {(q+j-i-1)!(2q+2j+2i-1)!}{(j-i)!(2j+2i+2)!}}{\frac {(j+i+1)!}{(q+j+i-1)!}}P_{2i}(x)\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}&{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}P_{q+2j+1}(x)={\frac {2^{q-1}}{(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+3){\frac {(q+j-i-1)!\Gamma (q+j+i+3/2)}{(j-i)!\Gamma (j+i+5/2)}}P_{2i+1}(x)\\&\quad ={\frac {1}{2^{q-2}(q-1)!}}\sum _{i=0}^{j}(4i+3){\frac {(q+j-i-1)!(2q+2j+2i+1)!}{(j-i)!(2j+2i+4)!}}{\frac {(j+i+2)!}{(q+j+i)!}}P_{2i+1}(x)\end{aligned}}\end{aligned}}}$$

Asintóticamente, para${\displaystyle \ell \to \infty }$, los polinomios de Legendre se pueden escribir como la fórmula de Hilb : ^{[ 14 ] : 194, Teorema 8.21.2}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ y para argumentos de magnitud mayor que 1 ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$ donde J ₀ , J ₁ , e I ₀ son funciones de Bessel .

Todo${\displaystyle n}$ceros de${\displaystyle P_{n}(x)}$son reales, distintos entre sí y se encuentran en el intervalo${\displaystyle (-1,1)}$Además, si los consideramos como divisores del intervalo${\displaystyle [-1,1]}$en${\displaystyle n+1}$subintervalos, cada subintervalo contendrá exactamente un cero.${\displaystyle P_{n+1}}$Esto se conoce como la propiedad de entrelazamiento. Debido a la propiedad de paridad, es evidente que si${\displaystyle x_{k}}$es un cero de${\displaystyle P_{n}(x)}$, así es${\displaystyle -x_{k}}$Estos ceros juegan un papel importante en la integración numérica basada en la cuadratura gaussiana . La cuadratura específica basada en la${\displaystyle P_{n}}$Se conoce como cuadratura de Gauss-Legendre .

Los ceros de${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$se distribuyen de manera casi uniforme en todo el rango de${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$, en el sentido de que hay un cero${\displaystyle \theta \in \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n+1/2}},{\frac {\pi (k+1)}{n+1/2}}\right)}$por${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$. ^{[ 21 ]} Esto se puede demostrar observando la primera fórmula de Dirichlet-Mehler. ^{[ 22 ]}

De esta propiedad y de los hechos que${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$De ello se deduce que${\displaystyle P_{n}(x)}$tiene${\displaystyle n-1}$mínimos y máximos locales en${\displaystyle (-1,1)}$. De forma equivalente,${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$tiene${\displaystyle n-1}$ceros en${\displaystyle (-1,1)}$.

La paridad y la normalización implican los valores en los límites.${\displaystyle x=\pm 1}$ser $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$ En el origen${\displaystyle x=0}$Se puede demostrar que los valores están dados por $${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$$${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

Los polinomios de Legendre desplazados se definen como $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$ Aquí, la función de "desplazamiento" x ↦ 2 x − 1 es una transformación afín que mapea biyectivamente el intervalo [ 0, 1 ] al intervalo [ −1, 1 ] , lo que implica que los polinomios P̃ _n ( x ) son ortogonales en [ 0, 1 ] : $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

Una expresión explícita para los polinomios de Legendre desplazados viene dada por $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

El análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre desplazados es $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

Los primeros polinomios de Legendre desplazados son:

Las funciones racionales de Legendre son una secuencia de funciones ortogonales en [0, ∞). Se obtienen componiendo la transformada de Cayley con polinomios de Legendre.

Una función de Legendre racional de grado n se define como: $${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

Son autofunciones del problema singular de Sturm-Liouville : $${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$ con valores propios$${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$