funciones elípticas lemniscatas

En matemáticas , las funciones elípticas lemniscatas son funciones elípticas relacionadas con la longitud de arco de la lemniscata de Bernoulli . Fueron estudiadas por primera vez por Giulio Fagnano en 1718 y posteriormente por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss , entre otros. ^{[ 1 ]}

Las funciones seno lemniscata y coseno lemniscata , generalmente escritas con los símbolos $sl$ y $cl$ (a veces se usan los símbolos $sinlem$ y $coslem$ o $sin lemn$ y $cos lemn en su lugar),$ ^{[ 2 ]} son análogas a las funciones trigonométricas seno y coseno . Mientras que el seno trigonométrico relaciona la longitud del arco con la longitud de la cuerda en un círculo de diámetro unitario. $x^{2}+y^{2}=x,$ ^{[ 3 ]} El seno de la lemniscata relaciona la longitud del arco con la longitud de la cuerda de una lemniscata. ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

Las funciones lemniscatas tienen períodos relacionados con un número $\varpi =$ llamada constante de lemniscata , la razón entre el perímetro de una lemniscata y su diámetro. Este número es un análogo cuártico de la ( cuadrática ) $\pi =$ , relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo .

Como funciones complejas , $sl$ y $cl$ tienen una red de período cuadrado (un múltiplo de los enteros gaussianos ) con períodos fundamentales. $\{(1+i)\varpi ,(1-i)\varpi \},$ ^{[ 4 ]} y son un caso especial de dosfunciones elípticas de Jacobien esa red, $\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;-1),$ $\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;-1)$ .

De manera similar, la lemniscata hiperbólica seno $slh$ y la lemniscata hiperbólica coseno $clh$ tienen una red de período cuadrado con períodos fundamentales. ${\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.$

Las funciones lemniscata y las funciones lemniscata hiperbólica están relacionadas con la función elíptica de Weierstrass. $\wp (z;a,0)$ .

Funciones seno y coseno de lemniscata

Definiciones

Las funciones lemniscata $sl$ y $cl$ pueden definirse como la solución al problema de valor inicial : ^{[ 5 ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z,\ \operatorname {sl} 0=0,\ \operatorname {cl} 0=1,

o equivalentemente como las inversas de una integral elíptica , el mapa de Schwarz-Christoffel del disco unitario complejo a un cuadrado con vértices ${\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi i,-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi i{\big \}}\colon$ ^{[ 6 ]}

z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.

Más allá de ese cuadrado, las funciones pueden extenderse al plano complejo mediante continuación analítica por reflexiones sucesivas .

En comparación, el seno y el coseno circulares pueden definirse como la solución al problema de valor inicial:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\sin z=\cos z,\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\ \cos 0=1,

o como inversas de una aplicación del semiplano superior a una franja semiinfinita con parte real entre $-{\tfrac {1}{2}}\pi ,{\tfrac {1}{2}}\pi$ y parte imaginaria positiva:

z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.

Relación con la constante de la lemniscata

Las funciones lemniscatas tienen un período real mínimo . $2\varpi$ , período imaginario mínimo $2\varpi i$ y períodos complejos fundamentales $(1+i)\varpi$ y $(1-i)\varpi$ para una constante $\varpi$ llamada constante de,^{[ 7 ]}

\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {{\sqrt {2}}\pi ^{\frac {3}{2}}}{2\left(\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\right)^{2}}}=2.62205\ldots

Las funciones lemniscatas satisfacen la relación básica $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )},$ análogo a la relación $\cos z={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -z{\bigr )}.$

La constante de la lemniscata $\varpi$ es un análogo cercano de la constante circular $\pi$ ⁠ y muchas identidades que involucran ⁠ $\pi$ ⁠ tienen análogos que involucran ⁠ $\varpi$ ⁠ , ya que las identidades que involucran las funciones trigonométricas tienen análogos que involucran las funciones lemniscatas. Por ejemplo, la fórmula de Viète para ⁠ $\pi$ ⁠ se puede escribir:^{[ 8 ]}

${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Una fórmula análoga para ⁠ $\varpi$ es :^{[ 9 ]}

${\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

La fórmula de Machin para $\pi$ es ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}$ y varias fórmulas similares para $\pi$ Se puede desarrollar utilizando identidades de suma de ángulos trigonométricos, por ejemplo, la fórmula de Euler . ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}$ Se pueden desarrollar fórmulas análogas para $\varpi$ , incluyendo los siguientes hallazgos de Gauss: ${\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.$ ^{[ 10 ]}

Gauss descubrió que las constantes de la lemniscata y del círculo estaban relacionadas entre sí por la media aritmético-geométrica . $M$ : ^[¹¹^]

${\frac {\pi }{\varpi }}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\!~\right)}$

Identidades de argumentos

Ceros, polos y simetrías

{\displaystyle \operatorname {sl} } — $\operatorname {sl}$ en el plano complejo. ^{[ 12 ]} En la imagen, se puede ver que los períodos fundamentales $(1+i)\varpi$ y $(1-i)\varpi$ son "mínimos" en el sentido de que tienen el valor absoluto más pequeño de todos los períodos cuya parte real es no negativa.

Las funciones lemniscata $cl$ y $sl$ son funciones pares e impares , respectivamente.

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (-z)&=\operatorname {cl} z\\[6mu]\operatorname {sl} (-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}

En las traducciones de ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ $cl$ y $sl$ se intercambian, y en las traducciones de ${\tfrac {1}{2}}i\varpi$ Además, se rotan y se reciprocan : ^{[ 13 ]}

{\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}}\\[6mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl} }{\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}

Duplicar estas a traslaciones por una unidad -múltiplo entero gaussiano de $\varpi$ (eso es, $\pm \varpi$ o $\pm i\varpi$ ), niega cada función, una involución :

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )&=\operatorname {cl} (z+i\varpi )=-\operatorname {cl} z\\[4mu]\operatorname {sl} (z+\varpi )&=\operatorname {sl} (z+i\varpi )=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}

Como resultado, ambas funciones son invariantes bajo traslación por un múltiplo entero par de Gauss . $\varpi$ . ^{[ 14 ]} Es decir, un desplazamiento $(a+bi)\varpi ,$ con $a+b=2k$ para números enteros $a$ , $b$ y $k$ ⁠ .

{\begin{aligned}{\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z\\[4mu]{\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl} }{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z\end{aligned}}

Esto las convierte en funciones elípticas ( funciones meromorfas doblemente periódicas en el plano complejo) con una red diagonal cuadrada de períodos fundamentales. $(1+i)\varpi$ y $(1-i)\varpi$ . ^{[ 15 ]} Las funciones elípticas con una red de período cuadrado son más simétricas que las funciones elípticas arbitrarias, siguiendo las simetrías del cuadrado.

Las reflexiones y las rotaciones de un cuarto de vuelta de los argumentos de la función lemniscata tienen expresiones sencillas:

{\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {sl} z}}\\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}}\\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}

La función $sl$ tiene ceros simples en múltiplos enteros gaussianos de ⁠ $\varpi$ ⁠ , números complejos de la forma $a\varpi +b\varpi i$ para números enteros $a$ y $b$ ⁠ . Tiene polos simples en múltiplos semi-enteros gaussianos de ⁠ $\varpi$ ⁠ , números complejos de la forma ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i$ , con residuos $(-1)^{a-b+1}i$ La función $cl$ se refleja y se desplaza con respecto a la función $sl .$ $\operatorname {cl} z={\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}$ Tiene ceros como argumentos. ${\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi i$ y polos para argumentar $a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi i,$ con residuos $(-1)^{a-b}i.$

También

\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\leftrightarrow z=(-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi

para algunos $m,n\in \mathbb {Z}$ y

\operatorname {sl} ((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}.

La última fórmula es un caso especial de multiplicación compleja . Se pueden dar fórmulas análogas para $\operatorname {sl} ((n+mi)z)$ dónde $n+mi$ es cualquier entero gaussiano: la función $\operatorname {sl}$ tiene multiplicación compleja por $\mathbb {Z} [i]$ . ^{[ 16 ]}

También existen series infinitas que reflejan la distribución de los ceros y polos de $sl$ : ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}

\operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}.

Identidad de tipo pitagórico

Las funciones lemniscatas satisfacen una identidad de tipo pitagórico :

\operatorname {cl^{2}} z+\operatorname {sl^{2}} z+\operatorname {cl^{2}} z\,\operatorname {sl^{2}} z=1

Como resultado, la ecuación paramétrica $(x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)$ parametriza la curva cuártica $x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1.$

Esta identidad puede reescribirse alternativamente: ^{[ 19 ]}

{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2

\operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z}},\quad \operatorname {sl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2}} z}}

Definir un operador de suma tangente como $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)={\frac {a+b}{1-ab}},$ da:

\operatorname {cl^{2}} z\oplus \operatorname {sl^{2}} z=1.

Derivadas e integrales

Los derivados son los siguientes:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {cl'^{2}} z&=1-\operatorname {cl^{4}} z\\[5mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4}} z\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z&=-2\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z&=2\,{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}\end{aligned}}

Las segundas derivadas del seno lemniscata y del coseno lemniscata son sus cubos duplicados negativos:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl^{3}} z

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl^{3}} z

Las funciones lemniscatas se pueden integrar utilizando la función tangente inversa:

{\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\\int \operatorname {sl} z\mathop {\mathrm {d} z} &=-\arctan \operatorname {cl} z+C\\\int {\tilde {\operatorname {cl} }}\,z\,\mathrm {d} z&={\frac {{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\\\int {\tilde {\operatorname {sl} }}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z}{\operatorname {cl} z}}+C\end{aligned}}

Suma de argumentos e identidades múltiples

Al igual que las funciones trigonométricas, las funciones lemniscatas satisfacen identidades de suma y diferencia de argumentos. La identidad original utilizada por Fagnano para la bisección de la lemniscata fue: ^{[ 20 ]}

\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2}} u\,\operatorname {sl^{2}} v}}

Las identidades derivadas y de tipo pitagórico pueden usarse para reelaborar la identidad utilizada por Fagano en términos de $sl$ y $cl$ . Definición de un operador de suma tangente $a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)$ y operador de diferencia tangente $a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b),$ Las identidades de suma y diferencia de argumentos se pueden expresar como: ^{[ 21 ]}

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {cl} (u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v\\[2mu]\operatorname {sl} (u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\,\operatorname {cl} v}}\\[2mu]\operatorname {sl} (u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}

Estos se asemejan a sus análogos trigonométricos :

{\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\\[6mu]\sin(u\pm v)&=\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}

En particular, para calcular las funciones de valor complejo en componentes reales,

{\begin{aligned}\operatorname {cl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\\[12mu]\operatorname {sl} (x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y}{\operatorname {cl} y-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}}\\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {sl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}\end{aligned}}

Gauss descubrió que

{\frac {\operatorname {sl} (u-v)}{\operatorname {sl} (u+v)}}={\frac {\operatorname {sl} ((1+i)u)-\operatorname {sl} ((1+i)v)}{\operatorname {sl} ((1+i)u)+\operatorname {sl} ((1+i)v)}}

dónde $u,v\in \mathbb {C}$ de manera que ambas partes estén bien definidas.

También

\operatorname {sl} (u+v)\operatorname {sl} (u-v)={\frac {\operatorname {sl} ^{2}u-\operatorname {sl} ^{2}v}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}

dónde $u,v\in \mathbb {C}$ de tal manera que ambos lados estén bien definidos; esto se asemeja al análogo trigonométrico.

\sin(u+v)\sin(u-v)=\sin ^{2}u-\sin ^{2}v.

Fórmulas de bisección:

\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{1+{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}}

\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{1+{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}}

Fórmulas de duplicación: ^{[ 22 ]}

\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}}

\operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}

Fórmulas de triplicación: ^{[ 22 ]}

\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\,\operatorname {cl} ^{4}x-3\,\operatorname {cl} ^{8}x}}

\operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{9}x}}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\,\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{4}x-\,}\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} ^{8}x}}}

Nótese la "simetría inversa" de los coeficientes del numerador y del denominador de $\operatorname {sl} 3x$ Este fenómeno se puede observar en las fórmulas de multiplicación para $\operatorname {sl} \beta x$ dónde $\beta =m+ni$ cuando sea $m,n\in \mathbb {Z}$ y $m+n$ es extraño. ^{[ 16 ]}

Polinomios lemnatómicos

Dejar $L$ sea la red

L=\mathbb {Z} (1+i)\varpi +\mathbb {Z} (1-i)\varpi .

Además, dejemos $K=\mathbb {Q} (i)$ , ${\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [i]$ , $z\in \mathbb {C}$ , $\beta =m+in$ , $\gamma =m'+in'$ (dónde $m,n,m',n'\in \mathbb {Z}$ ), $m+n$ ser extraño, $m'+n'$ ser extraño, $\gamma \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)$ y $\operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)$ . Entonces

M_{\beta }(x)=i^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}

para algunos polinomios coprimos $P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ y algunos $\varepsilon \in \{0,1,2,3\}$ ^{[ 23 ]} donde

xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x)

y

\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta })

dónde $\delta _{\beta }$ es alguno $\beta$ - generador de torsión (es decir $\delta _{\beta }\in (1/\beta )L$ y $[\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L$ genera $(1/\beta )L/L$ como un ${\mathcal {O}}$ - módulo ). Ejemplos de $\beta$ -Los generadores de torsión incluyen $2\varpi /\beta$ y $(1+i)\varpi /\beta$ . El polinomio $\Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]$ se llama el $\beta$ Polinomio lemnatómico -ésimo . Es mónico e irreducible sobre $K$ . Los polinomios lemnatómicos son los "análogos lemniscata" de los polinomios ciclotómicos , ^{[ 24 ]}

\Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times }}(x-\zeta _{k}^{a}).

El $\beta$ polinomio lemnatómico -ésimo $\Lambda _{\beta }(x)$ es el polinomio mínimo de $\operatorname {sl} \delta _{\beta }$ en $K[x]$ Para mayor comodidad, deje que $\omega _{\beta }=\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ y ${\tilde {\omega }}_{\beta }=\operatorname {sl} ((1+i)\varpi /\beta )$ . Por ejemplo, el polinomio mínimo de $\omega _{5}$ (y también de ${\tilde {\omega }}_{5}$ ) en $K[x]$ es

\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,

y ^{[ 25 ]}

\omega _{5}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}

{\tilde {\omega }}_{5}={\sqrt[{4}]{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}}

^{[ 26 ]}

(en la tabla siguiente se proporciona una expresión equivalente). Otro ejemplo es ^{[ 24 ].}

\Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i

que es el polinomio mínimo de $\omega _{-1+2i}$ (y también de ${\tilde {\omega }}_{-1+2i}$ ) en $K[x].$

Si $p$ es primordial y $\beta$ es positivo e impar, ^{[ 27 ]} entonces ^{[ 28 ]}

\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod _{p|\beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}}\right)

que puede compararse con el análogo ciclotómico

\operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).

Valores específicos

Al igual que con las funciones trigonométricas, los valores de las funciones lemniscata se pueden calcular para divisiones de la lemniscata en ⁠ $n$ partes de igual longitud, utilizando únicamente aritmética básica y raíces cuadradas, si y solo si $n$ es de la forma $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ donde $k$ es un número entero no negativoy cada $p_{i}$ ⁠ (si lo hay) es un primo de Fermat distinto .^{[ 29 ]}

Relación con las formas geométricas

Longitud de arco de la lemniscata de Bernoulli

${\mathcal {L}}$ La lemniscata de Bernoulli , con distancia unitaria desde su centro hasta su punto más alejado (es decir, con "semianchura" unitaria), es esencial en la teoría de las funciones elípticas lemniscatas. Se puede caracterizar de al menos tres maneras:

Caracterización angular: Dados dos puntos $A$ y $B$ que están a una distancia unitaria, sea $B'$ ser el reflejo de $B$ acerca de $A$ . Entonces ${\mathcal {L}}$ es el cierre del lugar geométrico de los puntos $P$ de tal manera que $|APB-APB'|$ es un ángulo recto . ^{[ 30 ]}

Caracterización focal: ${\mathcal {L}}$ es el lugar geométrico de puntos en el plano tales que el producto de sus distancias a los dos puntos focales $F_{1}={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}},0{\bigr )}$ y $F_{2}={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\bigr )}$ es la constante ${\tfrac {1}{2}}$ .

Caracterización explícita de coordenadas: ${\mathcal {L}}$ es una curva cuártica que satisface la ecuación polar $r^{2}=\cos 2\theta$ o la ecuación cartesiana ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}.$

El perímetro de ${\mathcal {L}}$ es $2\varpi$ . ^{[ 31 ]}

Los puntos en ${\mathcal {L}}$ a distancia $r$ Desde el origen están las intersecciones del círculo $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ y la hipérbola $x^{2}-y^{2}=r^{4}$ La intersección en el cuadrante positivo tiene coordenadas cartesianas:

{\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1+r^{2}{\bigr )}}},\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.

Utilizando esta parametrización con $r\in [0,1]$ por un cuarto de ${\mathcal {L}}$ , la longitud del arco desde el origen hasta un punto ${\big (}x(r),y(r){\big )}$ es: ^{[ 32 ]}

{\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\[6mu]&\quad {}=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}

Asimismo, la longitud del arco desde $(1,0)$ a ${\big (}x(r),y(r){\big )}$ es:

{\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t} \\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}

O en la dirección inversa, las funciones seno y coseno de la lemniscata dan la distancia desde el origen como funciones de la longitud de arco desde el origen y el punto $(1,0)$ , respectivamente.

De forma análoga, las funciones seno y coseno circulares relacionan la longitud de la cuerda con la longitud del arco para el círculo de diámetro unitario con ecuación polar. $r=\cos \theta$ o ecuación cartesiana $x^{2}+y^{2}=x,$ Utilizando el mismo argumento anterior pero con la parametrización:

{\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}\,{\biggr )}.

Alternativamente, al igual que el círculo unitario $x^{2}+y^{2}=1$ se parametriza en términos de la longitud del arco $s$ desde el punto $(1,0)$ por

(x(s),y(s))=(\cos s,\sin s),

${\mathcal {L}}$ se parametriza en términos de la longitud del arco $s$ desde el punto $(1,0)$ por ^{[ 33 ]}

(x(s),y(s))=\left({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}}\right)=\left({\tilde {\operatorname {cl} }}\,s,{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s\right).

La notación ${\tilde {\operatorname {cl} }},\,{\tilde {\operatorname {sl} }}$ Se utiliza únicamente para los fines de este artículo; en las referencias, se utiliza en su lugar la notación para funciones elípticas de Jacobi generales.

La integral de lemniscata y las funciones de lemniscata satisfacen una identidad de duplicación de argumentos descubierta por Fagnano en 1718: ^{[ 34 ]}

\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad {\text{if }}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}{\text{ and }}0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.

Matemáticos posteriores generalizaron este resultado. De forma análoga a los polígonos construibles en el círculo, la lemniscata se puede dividir en $n$ ⁠ secciones de igual longitud de arco usando solo regla y compás si y solo si ⁠ $n$ es de la forma $n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$ donde $k$ es un número entero no negativoy cada $p_{i}$ ⁠ (si existe) es un primo de Fermat distinto .^{[ 35 ]} La parte "si" del teorema fue demostrada por Niels Abel en 1827–1828, y la parte "solo si" fue demostrada por Michael Rosen en 1981.^{[ 36 ]} De manera equivalente, la lemniscata se puede dividir en ⁠ $n$ ⁠ secciones de igual longitud de arco usando solo regla y compás si y solo si $\varphi (n)$ es una potencia de dos (donde $\varphi$ es la función totiente de Euler ). No se asume que la lemniscata ya esté dibujada, ya que eso iría en contra de las reglas de las construcciones con regla y compás; en cambio, se asume que solo se nos dan dos puntos por los cuales se define la lemniscata, como su centro y punto radial (uno de los dos puntos en la lemniscata tal que su distancia al centro sea máxima) o sus dos focos.

Dejar $r_{j}=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi }{n}}$ . Entonces el ⁠ $n$ -puntos de división para ${\mathcal {L}}$ son los puntos

\left(r_{j}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+r_{j}^{2}{\bigr )}}},\ (-1)^{\left\lfloor 4j/n\right\rfloor }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r_{j}^{2}{\bigl (}1-r_{j}^{2}{\bigr )}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\}

dónde $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función piso . Vea a continuación algunos valores específicos de $\operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi }{n}}$ .

Longitud de arco de una elástica rectangular

El seno de la lemniscata inversa también describe la longitud del arco . $s$ relativo al $x$ ⁠ coordenada de la elástica rectangular .^{[ 37 ]} Esta curva tiene ⁠ $y$ ⁠ Coordenada y longitud del arco:

y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\mathop {\mathrm {d} t} }{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}

La elástica rectangular resuelve un problema planteado por Jacob Bernoulli en 1691 para describir la forma de una varilla flexible idealizada, fijada verticalmente en su extremo inferior y estirada por un peso desde el otro extremo hasta que se dobla horizontalmente. La solución propuesta por Bernoulli sentó las bases de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli , desarrollada posteriormente por Euler en el siglo XVIII.

Caracterización elíptica

Dejar $C$ ser un punto en la elipse $x^{2}+2y^{2}=1$ en el primer cuadrante y dejar $D$ ser la proyección de $C$ en el círculo unitario $x^{2}+y^{2}=1$ La distancia $r$ entre el origen $A$ y el punto $C$ es una función de $\varphi$ (el ángulo $BAC$ dónde $B=(1,0)$ ; equivalentemente, la longitud del arco circular $BD$ ). El parámetro $u$ es dado por

u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}.

Si $E$ es la proyección de $D$ en el eje x y si $F$ es la proyección de $C$ en el eje x, entonces las funciones elípticas lemniscatas vienen dadas por

\operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}},

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {AC}},\quad {\tilde {\operatorname {sl} }}\,u={\overline {AF}}{\overline {FC}}.

Identidades de la serie

Serie Power

La expansión en serie de potencias del seno de la lemniscata en el origen es ^{[ 38 ]}

\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}}

donde los coeficientes $a_{n}$ se determinan de la siguiente manera:

n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,

a_{1}=1,\,\forall n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}

dónde $i+j+k=n$ representa todas las composiciones de tres términos de $n$ . Por ejemplo, para evaluar $a_{13}$ , se puede ver que solo hay seis composiciones de $13-2=11$ que aportan una contribución distinta de cero a la suma: $11=9+1+1=1+9+1=1+1+9$ y $11=5+5+1=5+1+5=1+5+5$ , entonces

a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.

La expansión se puede escribir de forma equivalente como ^{[ 39 ]}

\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}

dónde

p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}p_{k}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0.

La expansión en serie de potencias de ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ en el origen es

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac {z^{5}}{5!}}-4977{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}

dónde $\alpha _{n}=0$ si $n$ es par y ^{[ 40 ]}

\alpha _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}{\cosh k\pi }},\quad \left|\alpha _{n}\right|\sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}

si $n$ es extraño.

La expansión se puede escribir de forma equivalente como ^{[ 41 ]}

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}

dónde

s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{k}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,

t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{k}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3.

Para el coseno de la lemniscata, ^{[ 42 ]}

\operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}+12{\frac {z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}},

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}+33{\frac {z^{4}}{4!}}-819{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{2}}

dónde

r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}r_{k}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,

q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}q_{k}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}.

La identidad cos/cosh de Ramanujan

La famosa identidad cos/cosh de Ramanujan establece que si

R(s)={\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\cos(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},

entonces ^{[ 40 ]}

R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left|\operatorname {Re} s\right|<{\frac {\varpi }{2}},\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.

Existe una estrecha relación entre las funciones lemniscata y $R(s)$ . En efecto, ^{[ 40 ]}^{[ 43 ]}

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}R(s)\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left|\operatorname {Re} s-{\frac {\varpi }{2}}\right|<{\frac {\varpi }{2}},\,\left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

y

R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}s}}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}.

fracciones continuas

Para $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ : ^{[ 44 ]}

\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/{\sqrt {2}}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}},\quad a_{n}={\frac {n^{2}}{4}}((-1)^{n+1}+3)

\int _{0}^{\infty }e^{-tz{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\ddots }}}}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}

Métodos de cálculo

Un algoritmo rápido que devuelve aproximaciones a $\operatorname {sl} x$ (que se acercan a $\operatorname {sl} x$ con aumento $N$ ), es lo siguiente: ^{[ 45 ]}
Esto implica el uso efectivo de la media aritmético-geométrica y se basa en las transformaciones de Landen . ^{[ 46 ]}

Varios métodos de cálculo $\operatorname {sl} x$ implica primero realizar el cambio de variables $\pi x=\varpi {\tilde {x}}$ y luego computación $\operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi ).$

Un método de series hiperbólicas : ^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}

\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C}

{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi i)}},\quad x\in \mathbb {C}

Método de series de Fourier : ^{[ 49 ]}

\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos((2n+1)x)}{\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi

Las funciones de lemniscata se pueden calcular más rápidamente mediante

{\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}&={\frac {{\theta _{2}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi }\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}

dónde

{\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\\theta _{4}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}

son las funciones theta de Jacobi . ^{[ 50 ]}

Serie de Fourier para el logaritmo del seno de la lemniscata:

\ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n})}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

Ramanujan descubrió las siguientes identidades de series : ^{[ 51 ]}

{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi

\arctan \operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}

Las funciones ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ y ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ análogo a $\sin$ y $\cos$ En el círculo unitario tienen las siguientes expansiones en serie de Fourier e hiperbólica: ^{[ 40 ]}^{[ 43 ]}^{[ 52 ]}

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} s\right|<{\frac {\varpi }{2}}

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi ))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}{\sqrt {2}}}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi ))}},\quad s\in \mathbb {C}

Las siguientes identidades provienen de representaciones de producto de las funciones theta: ^{[ 53 ]}

\mathrm {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}

\mathrm {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }}{1-2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi }}},\quad x\in \mathbb {C}

Una fórmula similar que involucra la $\operatorname {sn}$ Se puede dar la función. ^{[ 54 ]}

La lemniscata funciona como una razón de funciones enteras.

Dado que el seno de la lemniscata es una función meromorfa en todo el plano complejo, puede escribirse como una razón de funciones enteras . Gauss demostró que $sl$ tiene la siguiente expansión de producto, que refleja la distribución de sus ceros y polos: ^{[ 55 ]}

\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}

dónde

M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).

Aquí, $\alpha$ y $\beta$ denotan, respectivamente, los ceros y polos de $sl$ que están en el cuadrante $\operatorname {Re} z>0,\operatorname {Im} z\geq 0$ Una demostración se puede encontrar en ^{[ 55 ]}^{[ 56 ]} . Es importante destacar que los productos infinitos convergen al mismo valor para todos los órdenes posibles en que se pueden multiplicar sus términos, como consecuencia de la convergencia uniforme . ^{[ 57 ]}

Gauss conjeturó que $\ln N(\varpi )=\pi /2$ (esto resultó ser cierto más tarde) y comentó que esto “es sumamente notable y una prueba de esta propiedad promete el aumento más serio en el análisis”. ^{[ 58 ]} Gauss expandió los productos para $M$ y $N$ como series infinitas (véase más abajo). También descubrió varias identidades que involucran las funciones $M$ y $N$ , como

{\displaystyle M} — El $M$ Función en el plano complejo. El argumento complejo se representa mediante diferentes tonalidades.

{\displaystyle N} — El $N$ Función en el plano complejo. El argumento complejo se representa mediante diferentes tonalidades.

N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\notin \varpi \mathbb {Z} [i]

y

N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}.

Gracias a cierto teorema ^{[ 59 ]} sobre límites de descomposición, podemos multiplicar los productos infinitos y agrupar potencias semejantes de $z$ . Al hacerlo se obtienen las siguientes expansiones en series de potencias que convergen en todas partes en el plano complejo: ^{[ 60 ]}^{[ 61 ]}^{[ 62 ]}^{[ 63 ]}^{[ 64 ]}

M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+552{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}

N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+408{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .

Esto puede contrastarse con la serie de potencias de $\operatorname {sl}$ que tiene un radio de convergencia finito (porque no es entero).

Nosotros definimos $S$ y $T$ por

S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz).

Entonces, el coseno de la lemniscata se puede escribir como

\operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}

donde ^{[ 65 ]}

S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C}

T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac {z^{12}}{12!}}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} .

Además, las identidades

M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),

S(2z)=S(z)^{4}-2M(z)^{4},

T(2z)=T(z)^{4}-2M(z)^{4}

y las identidades de tipo pitagórico

M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2},

M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}

mantener para todos $z\in \mathbb {C}$ .

Las fórmulas de cuasi-adición

M(z+w)M(z-w)=M(z)^{2}N(w)^{2}-N(z)^{2}M(w)^{2},

N(z+w)N(z-w)=N(z)^{2}N(w)^{2}+M(z)^{2}M(w)^{2}

(dónde $z,w\in \mathbb {C}$ ) implican fórmulas de multiplicación adicionales para $M$ y $N$ por recursión. ^{[ 66 ]}

Gauss' $M$ y $N$ Satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

M(z)M''(z)=M'(z)^{2}-N(z)^{2},

N(z)N''(z)=N'(z)^{2}+M(z)^{2}

dónde $z\in \mathbb {C}$ . Ambos $M$ y $N$ satisfacer la ecuación diferencial ^{[ 67 ]}

X(z)X''''(z)=4X'(z)X'''(z)-3X''(z)^{2}+2X(z)^{2},\quad z\in \mathbb {C} .

Las funciones también pueden expresarse mediante integrales que involucran funciones elípticas:

M(z)=z\exp \left(-\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\left({\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}v}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right),

N(z)=\exp \left(\int _{0}^{z}\int _{0}^{w}\operatorname {sl} ^{2}v\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w\right)

donde los contornos no cruzan los polos; mientras que las integrales más internas son independientes de la trayectoria, las más externas dependen de ella; sin embargo, la dependencia de la trayectoria se cancela con la no inyectividad de la función exponencial compleja .

Una forma alternativa de expresar las funciones lemniscatas como una razón de funciones enteras involucra las funciones theta (ver Funciones elípticas lemniscatas § Métodos de cálculo ); la relación entre $M,N$ y $\theta _{1},\theta _{3}$ es

M(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{1}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right),

N(z)=2^{-1/4}e^{\pi z^{2}/(2\varpi ^{2})}{\sqrt {\frac {\pi }{\varpi }}}\theta _{3}\left({\frac {\pi z}{\varpi }},e^{-\pi }\right)

dónde $z\in \mathbb {C}$ .

Relación con otras funciones

Relación con las funciones elípticas de Weierstrass y Jacobi

Las funciones lemniscatas están estrechamente relacionadas con la función elíptica de Weierstrass. $\wp (z;1,0)$ (el "caso lemniscático"), con invariantes ⁠ $g_{2}=1$ y $g_{3}=0$ ⁠ . Esta red tiene períodos fundamentales $\omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi ,$ y $\omega _{2}=i\omega _{1}$ Las constantes asociadas de la función de Weierstrass son: $e_{1}={\tfrac {1}{2}},\ e_{2}=0,\ e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}.$

El caso relacionado de una función elíptica de Weierstrass con ⁠ $g_{2}=a$ , $g_{3}=0$ ⁠ puede manejarse mediante una transformación de escala. Sin embargo, esto puede involucrar números complejos. Si se desea permanecer dentro de los números reales, hay dos casos a considerar: ⁠ $a>0$ y $a<0$ El paralelogramo periódicoes un cuadrado o un rombo . La función elíptica de Weierstrass . $\wp (z;-1,0)$ Se denomina "caso pseudolemniscático". ^{[ 68 ]}

El cuadrado del seno de la lemniscata se puede representar como

\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {i}{2\wp ((1-i)z;-1,0)}}={-2\wp }{\left({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right)}

donde el segundo y tercer argumento de $\wp$ denotamos los invariantes de la red $g_{2}$ y $g_{3}$ ⁠ . El seno de la lemniscata es una función racional en la función elíptica de Weierstrass y su derivada:^{[ 69 ]}

\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp (z;-1,0)}{\wp '(z;-1,0)}}.

Las funciones lemniscatas también se pueden escribir en términos de funciones elípticas de Jacobi . Las funciones elípticas de Jacobi $\operatorname {sn}$ y $\operatorname {cd}$ con módulo elíptico real positivo tienen una red rectangular "vertical" alineada con los ejes real e imaginario. Alternativamente, las funciones $\operatorname {sn}$ y $\operatorname {cd}$ con módulo $i$ ( y $\operatorname {sd}$ y $\operatorname {cn}$ con módulo $1/{\sqrt {2}}$ ) tienen una red de período cuadrado rotada 1/8 de vuelta. ^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}

\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;i)=\operatorname {sc} (z;{\sqrt {2}})={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

donde el segundo argumento denota el módulo elíptico $k$ .

Las funciones ${\tilde {\operatorname {sl} }}$ y ${\tilde {\operatorname {cl} }}$ También se puede expresar en términos de funciones elípticas de Jacobi:

{\tilde {\operatorname {sl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {sd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {sn} (z;{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {sn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),

{\tilde {\operatorname {cl} }}\,z=\operatorname {cd} (z;i)\operatorname {nd} (z;i)=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}})\operatorname {cn} (z;{\sqrt {2}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\operatorname {dn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).

Relación con la función lambda modular

El seno lemniscata se puede utilizar para el cálculo de valores de la función lambda modular :

\prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl} }{\left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1)i)}{1-\lambda ((2n+1)i)}}}

Por ejemplo:

{\begin{aligned}&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7i)}{1-\lambda (7i)}}}={\tan }{\Bigl (}{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} }{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )}\\[7mu]&\quad {}={\frac {2}{2+{\sqrt {7}}+{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {2{14+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {455+172{\sqrt {7}}}}}}}}}\\[18mu]&{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\\&\quad {}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9i)}{1-\lambda (9i)}}}=\tan \left({\vphantom {\frac {\Big |}{\Big |}}}\right.{\frac {\pi }{4}}-\arctan \left({\vphantom {\frac {\Big |}{\Big |}}}\right.{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}\left.\left.{\vphantom {\frac {\Big |}{\Big |}}}\right)\right)\end{aligned}}

Funciones inversas

La función inversa del seno de la lemniscata es el arcoseno de la lemniscata, definido como ^{[ 72 ].}

\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.

También puede representarse mediante la función hipergeométrica :

\operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}{\bigr )}

lo cual se puede ver fácilmente utilizando la serie binomial .

La función inversa del coseno de la lemniscata es el arcocoseno de la lemniscata. Esta función se define mediante la siguiente expresión:

\operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x

Para $x$ en el intervalo $-1\leq x\leq 1$ , $\operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x=x$ y $\operatorname {cl} \operatorname {arccl} x=x$

Para la reducción a la mitad de la longitud del arco de la lemniscata, son válidas las siguientes fórmulas:

{\begin{aligned}{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}&={\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\,{\operatorname {sech} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )}\\{\operatorname {sl} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}&={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}\end{aligned}}

Además, existen las denominadas funciones de área de lemniscata hiperbólica:

\operatorname {aslh} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\arctan x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {aclh} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}F\left(2\operatorname {arccot} x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {aclh} (x)={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}-\operatorname {aslh} (x)

\operatorname {aslh} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}\right)

\operatorname {arcsl} (x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} \left(x{\Big /}{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}\right)

Expresión mediante integrales elípticas

El arcoseno lemniscata y el arcocoseno lemniscata también pueden expresarse mediante la fórmula de Legendre:

Estas funciones se pueden mostrar directamente utilizando la integral elíptica incompleta de primera especie:

\operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

\operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}}-1)F\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)

Las longitudes de arco de la lemniscata también pueden expresarse utilizando únicamente las longitudes de arco de las elipsis (calculadas mediante integrales elípticas de segundo tipo):

{\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}

El arcocoseno de la lemniscata tiene esta expresión:

\operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

Uso en la integración

El arcoseno lemniscata se puede utilizar para integrar muchas funciones. A continuación se presenta una lista de integrales importantes ( se omiten las constantes de integración ):

\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsl} x

\int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}

\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}\,\mathrm {d} x={{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} }{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}

\int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tanh {\tfrac {1}{2}}x

\int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl} }\tan {\tfrac {1}{2}}x

funciones de lemniscata hiperbólicas

Información fundamental

Para mayor comodidad, deje $\sigma ={\sqrt {2}}\varpi$ . $\sigma$ es el análogo "esquircular" de $\pi$ (ver abajo). La expansión decimal de $\sigma$ (es decir $3.7081\ldots$ ^{[ 73 ]} ) aparece en la entrada 34e del capítulo 11 del segundo cuaderno de Ramanujan.^{[ 74 ]}

$El seno ( slh$ ) y el coseno ( $clh$ ) de la lemniscata hiperbólica se pueden definir como inversas de integrales elípticas de la siguiente manera:

z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}

donde en $(*)$ , $z$ está en el cuadrado con esquinas $\{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\}$ . Más allá de ese cuadrado, las funciones pueden continuarse analíticamente a funciones meromorfas en todo el plano complejo.

La integral completa tiene el valor:

\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots

Por lo tanto, las dos funciones definidas tienen la siguiente relación entre sí:

\operatorname {slh} z={\operatorname {clh} }{{\Bigl (}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr )}}

El producto del seno de la lemniscata hiperbólica y el coseno de la lemniscata hiperbólica es igual a uno:

\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1

Las funciones $\operatorname {slh}$ y $\operatorname {clh}$ tienen una red de período cuadrado con períodos fundamentales $\{\sigma ,\sigma i\}$ .

Las funciones lemniscatas hiperbólicas pueden expresarse en términos de seno lemniscata y coseno lemniscata:

\operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {cl} ^{2}z)\operatorname {sl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} z}}

\operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl} ^{2}z)\operatorname {cl} z}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} z}}

Pero también existe una relación con las funciones elípticas de Jacobi con el módulo elíptico uno por la raíz cuadrada de dos:

\operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}}

\operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd} (z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn} (z;1/{\sqrt {2}})}}

El seno de la lemniscata hiperbólica tiene la siguiente relación imaginaria con el seno de la lemniscata:

\operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}

Esto es análogo a la relación entre el seno hiperbólico y el seno trigonométrico:

\sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}

Relación con la curva de Fermat cuártica

Tangente y cotangente de la lemniscata hiperbólica

Esta imagen muestra la curva de Fermat superelíptica estandarizada de cuarto grado:

{\displaystyle x^{4}+y^{4}=1} — Superelipse con la relación $x^{4}+y^{4}=1$

En una curva de Fermat cuártica $x^{4}+y^{4}=1$ (sometimes called a squircle) the hyperbolic lemniscate sine and cosine are analogous to the tangent and cotangent functions in a unit circle $x^{2}+y^{2}=1$ (the quadratic Fermat curve). If the origin and a point on the curve are connected to each other by a line ⁠ $L$ ⁠, the hyperbolic lemniscate sine of twice the enclosed area between this line and the x-axis is the y-coordinate of the intersection of ⁠ $L$ ⁠ with the line $x=1$ .^[75] Just as $\pi$ is the area enclosed by the circle $x^{2}+y^{2}=1$ , the area enclosed by the squircle $x^{4}+y^{4}=1$ is $\sigma$ . Moreover,

M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\sigma }}

where $M$ is the arithmetic–geometric mean.

The hyperbolic lemniscate sine satisfies the argument addition identity:

\operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}

When $u$ is real, the derivative and the original antiderivative of $\operatorname {slh}$ and $\operatorname {clh}$ can be expressed in this way:

There are also the Hyperbolic lemniscate tangent and the Hyperbolic lemniscate cotangent as further functions:

The functions tlh and ctlh fulfill the identities described in the differential equation mentioned:

{\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {cl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}

{\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl} (u){\sqrt {\frac {\operatorname {sl} ^{2}u+1}{\operatorname {sl} ^{2}u+\operatorname {cl} ^{2}u}}}

The functional designation sl stands for the lemniscatic sine and the designation cl stands for the lemniscatic cosine. In addition, those relations to the Jacobi elliptic functions are valid:

{\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}

{\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}

When $u$ is real, the derivative and quarter period integral of $\operatorname {tlh}$ and $\operatorname {ctlh}$ can be expressed in this way:

Derivation of the Hyperbolic Lemniscate functions

The horizontal and vertical coordinates of this superellipse are dependent on twice the enclosed area w = 2A, so the following conditions must be met:

x(w)^{4}+y(w)^{4}=1

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}

x(w=0)=1

y(w=0)=0

The solutions to this system of equations are as follows:

x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}

y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}

The following therefore applies to the quotient:

{\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)

The functions x(w) and y(w) are called cotangent hyperbolic lemniscatus and hyperbolic tangent.

x(w)={\text{ctlh}}(w)

y(w)={\text{tlh}}(w)

The sketch also shows the fact that the derivation of the Areasinus hyperbolic lemniscatus function is equal to the reciprocal of the square root of the successor of the fourth power function.

Specific values

This list shows the values of the Hyperbolic Lemniscate Sine accurately. Recall that,

\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\ldots

whereas ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\tfrac {\pi }{2}},$ so the values below such as ${\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\operatorname {slh} }{\bigl (}{\tfrac {\sigma }{4}}{\bigr )}=1$ are analogous to the trigonometric ${\sin }{\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}=1$ .

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)=1

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{3{\sqrt {2}}}}\right)={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-1)

\operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1)

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {2\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {3\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {4\varpi }{5{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}+1}}}}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos({\tfrac {3}{20}}\pi )}}

\operatorname {slh} \,\left({\frac {\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})

\operatorname {slh} \,\left({\frac {5\varpi }{6{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {2{\sqrt {3}}+3}}+1)(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})

That table shows the most important values of the Hyperbolic Lemniscate Tangent and Cotangent functions:

Number theory

En la teoría algebraica de números , toda extensión abeliana finita de los racionales gaussianos $\mathbb {Q} (i)$ es un subcampo de $\mathbb {Q} (i,\omega _{n})$ para algún entero positivo $n$ . ^{[ 24 ]}^{[ 77 ]} Esto es análogo al teorema de Kronecker-Weber para los números racionales $\mathbb {Q}$ que se basa en la división del círculo – en particular, toda extensión abeliana finita de $\mathbb {Q}$ es un subcampo de $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ para algún entero positivo $n$ Ambos son casos especiales del Jugendtraum de Kronecker, que se convirtió en el duodécimo problema de Hilbert .

El campo $\mathbb {Q} (i,\operatorname {sl} (\varpi /n))$ (para impares positivos) $n$ ) es la extensión de $\mathbb {Q} (i)$ generado por el $x$ - y $y$ -coordenadas de la $(1+i)n$ - puntos de torsión en la curva elíptica $y^{2}=4x^{3}+x$ . ^{[ 77 ]}

Números de Hurwitz

Los números de Bernoulli $\mathrm {B} _{n}$ puede definirse por

\mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0

y aparecen en

\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta (2n),\quad n\geq 1

dónde $\zeta$ es la función zeta de Riemann .

Los números de Hurwitz $\mathrm {H} _{n},$ Nombrados en honor a Adolf Hurwitz , son los "análogos lemniscata" de los números de Bernoulli. Se pueden definir mediante ^{[ 78 ]}^{[ 79 ].}

\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0

dónde $\zeta (\cdot ;1/4,0)$ es la función zeta de Weierstrass con invariantes de red $1/4$ y $0$ Aparecen en

\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi )^{4n}}{(4n)!}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1

dónde $\mathbb {Z} [i]$ son los enteros gaussianos y $G_{4n}$ son la serie de peso de Eisenstein $4n$ y en

\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pi n}-1}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{24}}-{\dfrac {1}{8\pi }}&{\text{if}}\ k=1\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}&{\text{if}}\ k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 5\\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi }{\pi }}\right)^{k+1}&{\text{if}}\ k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\ {\text{and}}\ k\geq 3.\\\end{cases}}\end{array}}

Los números de Hurwitz también se pueden determinar de la siguiente manera: $\mathrm {H} _{4}=1/10$ ,

\mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2

y $\mathrm {H} _{n}=0$ si $n$ no es un múltiplo de $4$ . ^{[ 80 ]} Esto produce ^{[ 78 ]}

\mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170}},\,\ldots

También ^{[ 81 ]}

\operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=\prod _{(p-1)|4n}p

dónde $p\in \mathbb {P}$ de tal manera que $p\not \equiv 3\,({\text{mod}}\,4),$ precisamente como

\operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1)|2n}p

dónde $p\in \mathbb {P}$ (por el teorema de von Staudt-Clausen ).

De hecho, el teorema de von Staudt-Clausen determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli:

\mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1

(secuencia A000146 en el OEIS ) donde $p$ es cualquier número primo, y un teorema análogo se cumple para los números de Hurwitz: supongamos que $a\in \mathbb {Z}$ es extraño, $b\in \mathbb {Z}$ es par, $p$ es un número primo tal que $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ , $p=a^{2}+b^{2}$ (véase el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados ) y $a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4)$ . Entonces, para cualquier dado $p$ , $2a=\nu (p)$ está determinado de forma única; equivalentemente $\nu (p)=p-{\mathcal {N}}_{p}$ dónde ${\mathcal {N}}_{p}$ es el número de soluciones de la congruencia $X^{3}-X\equiv Y^{2}\,(\operatorname {mod} p)$ en variables $X,Y$ que son enteros no negativos. ^{[ 82 ]} El teorema de Hurwitz determina entonces la parte fraccionaria de los números de Hurwitz: ^{[ 78 ]}

\mathrm {H} _{4n}-{\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1)|4n}{\frac {\nu (p)^{4n/(p-1)}}{p}}\mathrel {\overset {\text{def}}{=}} \mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 1.

La secuencia de los números enteros $\mathrm {G} _{n}$ comienza con $0,-1,5,253,\ldots .$ ^{[ 78 ]}

Dejar $n\geq 2$ . Si $4n+1$ es un número primo, entonces $\mathrm {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ . Si $4n+1$ no es un número primo, entonces $\mathrm {G} _{n}\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$ . ^{[ 83 ]}

Algunos autores definen en cambio los números de Hurwitz como $\mathrm {H} _{n}'=\mathrm {H} _{4n}$ .

Apariciones en la serie Laurent

Los números de Hurwitz aparecen en varias expansiones en serie de Laurent relacionadas con las funciones lemniscata: ^{[ 84 ]}

{\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} {z}}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<{\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}((-1)^{n}2-2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \\{\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{4n}\mathrm {H} _{4n}}{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left|z\right|<\varpi \end{aligned}}

De forma análoga, en términos de los números de Bernoulli:

{\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\mathrm {B} _{2n}}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2)!}},\quad \left|z\right|<\pi .

Un análogo cuártico del símbolo de Legendre

Dejar $p$ sea un número primo tal que $p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)$ . Un residuo cuártico (mod $p$ ) es cualquier número congruente con la cuarta potencia de un entero. Definir $\left({\tfrac {a}{p}}\right)_{4}$ ser $1$ si $a$ es un residuo cuártico (mod $p$ ) y definirlo como $-1$ si $a$ no es un residuo cuártico (mod $p$ ).

Si $a$ y $p$ son coprimos, entonces existen números $p'\in \mathbb {Z} [i]$ (véase ^{[ 85 ]} para estos números) de tal manera que ^{[ 86 ]}

\left({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod _{p'}{\frac {\operatorname {sl} (2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl} (2\varpi p'/p)}}.

Este teorema es análogo a

\left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pi an/p)}{\sin(2\pi n/p)}}

dónde $\left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)$ es el símbolo de Legendre .

Proyecciones de mapas mundiales

La proyección quincuncial de Peirce , diseñada por Charles Sanders Peirce del Servicio Cartográfico de los Estados Unidos en la década de 1870, es una proyección cartográfica mundial basada en el seno de la lemniscata inversa de puntos proyectados estereográficamente (tratados como números complejos). ^{[ 87 ]}

Cuando se proyectan líneas de parte real o imaginaria constante sobre el plano complejo mediante el seno de la lemniscata hiperbólica, y luego se proyectan estereográficamente sobre la esfera (véase esfera de Riemann ), las curvas resultantes son cónicas esféricas , el análogo esférico de las elipses e hipérbolas planas . ^{[ 88 ]} Así, las funciones de lemniscata (y, más generalmente, las funciones elípticas de Jacobi ) proporcionan una parametrización para las cónicas esféricas.

También se puede definir una proyección cartográfica conforme del globo terráqueo sobre las 6 caras cuadradas de un cubo utilizando las funciones de lemniscata. ^{[ 89 ]} Debido a que muchas ecuaciones diferenciales parciales pueden resolverse eficazmente mediante una proyección conforme , esta proyección de la esfera al cubo resulta conveniente para la modelización atmosférica . ^{[ 90 ]}

Véase también

Notas

↑ Fagnano (1718–1723) ; Euler (1761) ; Gauss (1917)
↑ Gauss (1917) p. 199 usó los símbolos $sl$ y $cl$ para el seno y el coseno de la lemniscata, respectivamente, y esta notación es la más común hoy en día: véase, por ejemplo, Cox (1984) p. 316, Eymard y Lafon (2004) p. 204 y Lemmermeyer (2000) p. 240. Ayoub (1984) usa $sinlem$ y $coslem$ . Whittaker y Watson (1920) usan los símbolos $sin lemn$ y $cos lemn$ . Algunas fuentes usan las letras genéricas $s$ y $c$ . Prasolov y Solovyev (1997) usan la letra $φ$ para el seno de la lemniscata y $φ'$ para su derivada.
↑ El círculo $x^{2}+y^{2}=x$ es el círculo de diámetro unitario centrado en ${\textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}}$ con ecuación polar $r=\cos \theta ,$ El trébol de grado 2 según la definición de Cox y Shurman (2005) . Este no es el círculo de radio unitario. $x^{2}+y^{2}=1$ centrado en el origen. Nótese que la lemniscata ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}$ es el trébol de grado 4.
↑ Los períodos fundamentales $(1+i)\varpi$ y $(1-i)\varpi$ son "mínimos" en el sentido de que tienen el valor absoluto más pequeño de todos los períodos cuya parte real es no negativa.
↑ Robinson (2019a) parte de esta definición y a partir de ahí deriva otras propiedades de las funciones lemniscatas.
↑ Este mapa fue la primera imagen de un mapa de Schwarz-Christoffel, en Schwarz (1869) pág. 113 .
↑ Schappacher (1997) . La secuencia OEIS A062539 enumera los dígitos decimales de la constante de lemniscata.
^ Juan (4 de octubre de 2023). «Funciones de lemniscata» . www.johndcook.com . Consultado el 18 de junio de 2026 .
↑ Levin (2006)
↑ Todd (1975)
↑ Cox (1984)
↑ Las áreas oscuras representan ceros y las áreas brillantes representan polos. Como el argumento de $\operatorname {sl} z$ cambios de $-\pi$ (a excepción de $-\pi$ ) a $\pi$ Los colores pasan por el cian y el azul. $(\operatorname {Arg} \approx -\pi /2)$ , magneta, rojo $(\operatorname {Arg} \approx 0)$ naranja, amarillo $(\operatorname {Arg} \approx \pi /2)$ , verde, y de vuelta a cian $(\operatorname {Arg} \approx \pi )$ .
↑ Combinando la primera y la cuarta identidad se obtiene $\operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl} (z-(1+i)\varpi /2)$ . Esta identidad se da (incorrectamente) en Eymard & Lafon (2004) p. 226, sin el signo menos al principio del lado derecho.
↑ Los enteros gaussianos pares son la clase residual de ⁠ $0$ ⁠ , módulo ⁠ $1+i$ ⁠ , los cuadrados negros en un tablero de ajedrez .
↑ Prasolov y Soloviev (1997) ; Robinson (2019a)
1 2 Cox (2012)
↑ Reinhardt & Walker (2010a) §22.12.6 , §22.12.12
↑ De forma análoga, ${\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi }}.$
↑ Lindqvist y Peetre (2001) generalizan la primera de estas formas.
^ Ayoub (1984) ; Prasolov y Soloviev (1997)
↑ Euler (1761) §44 pág. 79 , §47 págs. 80–81
1 2 Euler (1761) §46 pág. 80
↑ De hecho, $i^{\varepsilon }=\operatorname {sl} {\tfrac {\beta \varpi }{2}}$ .
1 2 3 Cox y Hyde (2014)
↑ Gómez-Molleda & Lario (2019)
↑ Se eligela cuarta raíz con el argumento principal positivo más pequeño.
↑ La restricción a positivo e impar $\beta$ se puede dejar caer en $\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|$ .
↑ Cox (2013) pág. 142, Ejemplo 7.29(c)
↑ Rosen (1981)
^ Eymard y Lafon (2004) pág. 200
↑ Y el área encerrada por ${\mathcal {L}}$ es $1$ , lo cual contrasta marcadamente con el círculo unitario ( cuya área encerrada es un número no construible ).
↑ Euler (1761) ; Siegel (1969) . Prasolov y Solovyev (1997) utilizan la representación en coordenadas polares de la lemniscata para derivar la longitud diferencial del arco, pero el resultado es el mismo.
↑ Reinhardt & Walker (2010a) §22.18.E6
↑ Siegel (1969) ; Schappacher (1997)
↑ Dichos números son la secuencia OEIS A003401 .
↑ Abel (1827–1828) ; Rosen (1981) ; Prasolov y Soloviev (1997)
↑ Euler (1786) ; Sridharan (2004) ; Levin (2008)
↑ "A104203" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros .
↑ Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. págs. 12, 44. ISBN 1-58488-210-7.
1 2 3 4 "A193543 - Oeis" .
↑ Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.pág. 79, ecuación 5.36
↑ Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.pág. 79, ecuación 5.36 y pág. 78, ecuación 5.33
1 2"A289695 - Oeis".
↑Wall, H. S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. Chelsea Publishing Company. pp. 374–375.
↑Reinhardt & Walker (2010a)§22.20(ii)
↑Carlson (2010)§19.8
↑Reinhardt & Walker (2010a)§22.12.12
↑In general, $\sinh(x-n\pi )$ and $\sin(x-n\pi i)=-i\sinh(ix+n\pi )$ are not equivalent, but the resulting infinite sum is the same.
↑Reinhardt & Walker (2010a)§22.11
↑Reinhardt & Walker (2010a)§22.2.E7
↑Berndt (1994) p. 247, 248, 253
↑Reinhardt & Walker (2010a)§22.11.E1
↑Whittaker & Watson (1927)
↑Borwein & Borwein (1987)
1 2Eymard & Lafon (2004) p. 227.
↑Cartan, H. (1961). Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (in French). Hermann. pp. 160–164.
↑More precisely, suppose $\{a_{n}\}$ is a sequence of bounded complex functions on a set $S$ , such that ${\textstyle \sum \left|a_{n}(z)\right|}$ converges uniformly on $S$ . If $\{n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \}$ is any permutation of $\{1,2,3,\ldots \}$ , then ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))=\prod _{k=1}^{\infty }(1+a_{n_{k}}(z))}$ for all $z\in S$ . The theorem in question then follows from the fact that there exists a bijection between the natural numbers and $\alpha$ 's (resp. $\beta$ 's).
↑Bottazzini & Gray (2013) p. 58
↑More precisely, if for each $k$ , ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)}$ exists and there is a convergent series ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}}$ of nonnegative real numbers such that $\left|a_{k}(n)\right|\leq M_{k}$ for all $n\in \mathbb {N}$ and $1\leq k\leq n$ , then
$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\lim _{n\to \infty }a_{k}(n).$
↑Alternatively, it can be inferred that these expansions exist just from the analyticity of $M$ and $N$ . However, establishing the connection to "multiplying out and collecting like powers" reveals identities between sums of reciprocals and the coefficients of the power series, like ${\textstyle \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha ^{4}}}=-\,{\text{the coefficient of}}\,z^{5}}$ in the $M$ series, and infinitely many others.
↑Gauss, C. F. (1866). Werke (Band III) (in Latin and German). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. p. 405; there's an error on the page: the coefficient of $\varphi ^{17}$ should be ${\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}}$ , not ${\tfrac {107}{207\,484\,333\,056\,000}}$ .
↑If ${\textstyle M(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+1}}$ , then the coefficients $a_{n}$ are given by the recurrence ${\textstyle a_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2^{n-k+1}a_{k}{\frac {\mathrm {H} _{n-k+1}}{(n-k+1)!}}}$ with $a_{0}=1$ where $\mathrm {H} _{n}$ are the Hurwitz numbers defined in Lemniscate elliptic functions § Hurwitz numbers.
↑The power series expansions of $M$ and $N$ are useful for finding a $\beta$ -division polynomial for the $\beta$ -division of the lemniscate ${\mathcal {L}}$ (where $\beta =m+ni$ where $m,n\in \mathbb {Z}$ such that $m+n$ is odd). For example, suppose we want to find a $3$ -division polynomial. Given that
$M(3z)=d_{9}M(z)^{9}+d_{5}M(z)^{5}N(z)^{4}+d_{1}M(z)N(z)^{8}$
for some constants $d_{1},d_{5},d_{9}$ , from
$3z-2{\frac {(3z)^{5}}{5!}}-36{\frac {(3z)^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13})=d_{9}x^{9}+d_{5}x^{5}y^{4}+d_{1}xy^{8},$
where
$x=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13}),\quad y=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+\operatorname {O} (z^{12}),$
we have
$\{d_{1},d_{5},d_{9}\}=\{3,-6,-1\}.$
Therefore, a $3$ -division polynomial is
$-X^{9}-6X^{5}+3X$
(meaning one of its roots is $\operatorname {sl} (2\varpi /3)$ ). The equations arrived at by this process are the lemniscate analogs of
$X^{n}=1$
(so that $e^{2\pi i/n}$ is one of the solutions) which comes up when dividing the unit circle into $n$ arcs of equal length. In the following note, the first few coefficients of the monic normalization of such $\beta$ -division polynomials are described symbolically in terms of $\beta$ .
↑By utilizing the power series expansion of the $N$ function, it can be proved that a polynomial having $\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ as one of its roots (with $\beta$ from the previous note) is
$\sum _{n=0}^{(\beta {\overline {\beta }}-1)/4}a_{4n+1}(\beta )X^{\beta {\overline {\beta }}-4n}$
where
${\begin{aligned}a_{1}(\beta )&=1,\\a_{5}(\beta )&={\frac {\beta ^{4}-\beta {\overline {\beta }}}{12}},\\a_{9}(\beta )&={\frac {-\beta ^{8}-70\beta ^{5}{\overline {\beta }}+336\beta ^{4}+35\beta ^{2}{\overline {\beta }}^{2}-300\beta {\overline {\beta }}}{10080}}\end{aligned}}$
and so on.
↑Zhuravskiy, A. M. (1941). Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam (in Russian). Izd. Akad. Nauk. U.S.S.R.
↑For example, by the quasi-addition formulas, the duplication formulas and the Pythagorean-like identities, we have
$M(3z)=-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8},$
$N(3z)=N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z),$
so
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8}}{N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z)}}.$
On dividing the numerator and the denominator by $N(z)^{9}$ , we obtain the triplication formula for $\operatorname {sl}$ :
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-\operatorname {sl} ^{9}z-6\operatorname {sl} ^{5}z+3\operatorname {sl} z}{1+6\operatorname {sl} ^{4}z-3\operatorname {sl} ^{8}z}}.$
↑Gauss (1866), p. 408
↑Robinson (2019a)
↑Eymard & Lafon (2004) p. 234
↑Armitage, J. V.; Eberlein, W. F. (2006). Elliptic Functions. Cambridge University Press. p. 49. ISBN 978-0-521-78563-1.
↑The identity $\operatorname {cl} z={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ can be found in Greenhill (1892)p. 33.
↑Siegel (1969)
↑Sloane, N. J. A. (ed.). "SequenceA175576". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's Notebooks Part II. Springer. ISBN 978-1-4612-4530-8. p. 96
↑Levin (2006); Robinson (2019b)
↑Levin (2006) p. 515
1 2Cox (2012) p. 508, 509
1 2 3 4Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014). Bernoulli Numbers and Zeta Functions. Springer. ISBN 978-4-431-54918-5. p. 203—206
↑Equivalently, $\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2}};i\right)\right)$ where $n\geq 4$ and ${\mathcal {E}}(\cdot ;i)$ is the Jacobi epsilon function with modulus $i$ .
↑The Bernoulli numbers can be determined by an analogous recurrence: $\mathrm {B} _{2n}=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k}\mathrm {B} _{2(n-k)}$ where $n\geq 2$ and $\mathrm {B} _{2}=1/6$ .
↑Katz, Nicholas M. (1975). "The congruences of Clausen — von Staudt and Kummer for Bernoulli-Hurwitz numbers". Mathematische Annalen. 216 (1): 1–4. doi:10.1007/BF02547966. See eq. (9)
↑For more on the $\nu$ function, see Lemniscate constant.
↑Hurwitz, Adolf (1963). Mathematische Werke: Band II (in German). Springer Basel AG. p. 370
↑Arakawa et al. (2014) define $\mathrm {H} _{4n}$ by the expansion of $1/\operatorname {sl} ^{2}.$
↑Eisenstein, G. (1846). "Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 30. Eisenstein uses $\varphi =\operatorname {sl}$ and $\omega =2\varpi$ .
↑Ogawa (2005)
↑Peirce (1879). Guyou (1887) and Adams (1925) introduced transverse and oblique aspects of the same projection, respectively. Also see Lee (1976). These authors write their projection formulas in terms of Jacobi elliptic functions, with a square lattice.
↑Adams (1925)
↑Adams (1925); Lee (1976).
↑Rančić, Purser & Mesinger (1996); McGregor (2005).

References

Abel, Niels Henrik (1827–1828) "Recherches sur les fonctions elliptiques" [Research on elliptic functions] (in French). Crelle's Journal.Part 1. 1827. 2 (2): 101–181. doi:10.1515/crll.1827.2.101.Part 2. 1828. 3 (3): 160–190. doi:10.1515/crll.1828.3.160.
Adams, Oscar S. (1925). Elliptic Functions Applied to Conformal World Maps(PDF). U.S. Coast and Geodetic Survey. US Government Printing Office. Special Pub. No. 112.
Ayoub, Raymond (1984). "The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals". Archive for History of Exact Sciences. 29 (2): 131–149. doi:10.1007/BF00348244.
Berndt, Bruce C. (1994). Ramanujan's Notebooks Part IV (First ed.). Springer. ISBN 978-1-4612-6932-8.
Borwein, Jonatham M.; Borwein, Peter B. (1987). "2.7 The Landen Transformation". Pi and the AGM. Wiley-Interscience. p. 60.
Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-5725-1. ISBN 978-1-4614-5724-4.
Carlson, Billie C. (2010). "19. Elliptic Integrals". In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge.
Cox, David Archibald (1984). "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss". L'Enseignement Mathématique. 30 (2): 275–330.
Cox, David Archibald; Shurman, Jerry (2005). "Geometry and number theory on clovers"(PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (8): 682–704. doi:10.1080/00029890.2005.11920241.
Cox, David Archibald (2012). "The Lemniscate". Galois Theory. Wiley. pp. 463–514. doi:10.1002/9781118218457.ch15. ISBN 978-1-118-07205-9.
Cox, David Archibald (2013). Primes of the Form $x 2 + ny 2$ (Second ed.). Wiley.
Cox, David Archibald; Hyde, Trevor (2014). "The Galois theory of the lemniscate"(PDF). Journal of Number Theory. 135: 43–59. arXiv:1208.2653. doi:10.1016/j.jnt.2013.08.006.
Enneper, Alfred (1890) [1st ed. 1876]. "Note III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale."[Historical notes on geometric applications of elliptic integrals]. Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte (in German). Nebert. pp. 524–547.
Euler, Leonhard (1761). "Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium"[Observations on the comparison of arcs of irrectifiable curves]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latin). 6: 58–84.E252. (Figures)
Euler, Leonhard (1786). "De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$ contentae"[On the amazing properties of elastic curves contained in equation ${\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}}$ ]. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latin). 1782 (2): 34–61. E 605.
Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). The Number Pi. Translated by Wilson, Stephen. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3246-8.
Fagnano, Giulio Carlo (1718–1723) "Metodo per misurare la lemniscata" [Method for measuring the lemniscate]. Giornale de' letterati d'Italia (in Italian)."Schediasma primo" [Part 1]. 1718. 29: 258–269."Giunte al primo schediasma" [Addendum to part 1]. 1723. 34: 197–207."Schediasma secondo" [Part 2]. 1718. 30: 87–111.Reprinted as Fagnano (1850). "32–34. Metodo per misurare la lemniscata". Opere Matematiche, vol. 2. Allerighi e Segati. pp. 293–313. (Figures)
Gauss, Carl Friedrich (1917). Werke (Band X, Abteilung I) (in Latin and German). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
Gómez-Molleda, M. A.; Lario, Joan-C. (2019). "Ruler and Compass Constructions of the Equilateral Triangle and Pentagon in the Lemniscate Curve". The Mathematical Intelligencer. 41 (4): 17–21. doi:10.1007/s00283-019-09892-w. hdl:10630/40427.
Greenhill, Alfred George (1892). The Applications of Elliptic Functions. MacMillan.
Guyou, Émile (1887). "Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator"[New system of projection of the sphere]. Annales Hydrographiques. Série 2 (in French). 9: 16–35.
Houzel, Christian (1978). "Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes" [Elliptic functions and Abelian integrals]. In Dieudonné, Jean (ed.). Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700–1900. II (in French). Hermann. pp. 1–113.
Hyde, Trevor (2014). "A Wallis product on clovers"(PDF). The American Mathematical Monthly. 121 (3): 237–243. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.03.237.
Kubota, Tomio (1964). "Some arithmetical applications of an elliptic function". Crelle's Journal. 214/215: 141–145. doi:10.1515/crll.1964.214-215.141.
Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010). "Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem"(PDF). Milan Journal of Mathematics. 78 (2): 643–682. doi:10.1007/s00032-010-0124-5.
Langer, Joel C.; Singer, David A. (2011). "The lemniscatic chessboard". Forum Geometricorum. 11: 183–199.
Lawden, Derek Frank (1989). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences. Vol. 80. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3980-0. ISBN 978-1-4419-3090-3.
Lee, L. P. (1976). Conformal Projections Based on Elliptic Functions. Cartographica Monographs. Vol. 16. Toronto: B. V. Gutsell, York University. ISBN 0-919870-16-3. Supplement No. 1 to The Canadian Cartographer13.
Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer. ISBN 3-540-66957-4.
Levien, Raph (2008). The elastica: a mathematical history(PDF) (Technical report). University of California at Berkeley. UCB/EECS-2008-103.
Levin, Aaron (2006). "A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant"(PDF). The American Mathematical Monthly. 113 (6): 510–520. doi:10.1080/00029890.2006.11920331. JSTOR 27641976.
Lindqvist, Peter; Peetre, Jaak (2001). "Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals"(PDF). The American Mathematical Monthly. 108 (5): 403–410. doi:10.1080/00029890.2001.11919766. Archived from the original(PDF) on 2022-05-28.
Markushevich, Aleksei Ivanovich (1966). The Remarkable Sine Functions. Elsevier.
Markushevich, Aleksei Ivanovich (1992). Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 96. American Mathematical Society. doi:10.1090/mmono/096. ISBN 978-0-8218-4164-8.
McGregor, John L. (2005). C-CAM: Geometric Aspects and Dynamical Formulation (Technical report). CSIRO Atmospheric Research. 70.
McKean, Henry; Moll, Victor (1999). Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic. Cambridge. ISBN 9780521582285.
Milne-Thomson, Louis Melville (1964). "16. Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions". In Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (eds.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. pp. 567–585.
Neuman, Edward (2007). "On Gauss lemniscate functions and lemniscatic mean"(PDF). Mathematica Pannonica. 18 (1): 77–94.
Nishimura, Ryo (2015). "New properties of the lemniscate function and its transformation". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 427 (1): 460–468. doi:10.1016/j.jmaa.2015.02.066.
Ogawa, Takuma (2005). "Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point". Tsukuba Journal of Mathematics. 29 (1). doi:10.21099/tkbjm/1496164894.
Peirce, Charles Sanders (1879). "A Quincuncial Projection of the Sphere". American Journal of Mathematics. 2 (4): 394–397. doi:10.2307/2369491. JSTOR 2369491.
Popescu-Pampu, Patrick (2016). What is the Genus?. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2162. Springer. doi:10.1007/978-3-319-42312-8. ISBN 978-3-319-42311-1.
Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (1997). "4. Abel's Theorem on Division of Lemniscate". Elliptic functions and elliptic integrals. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 170. American Mathematical Society. doi:10.1090/mmono/170. ISBN 978-0-8218-0587-9.
Rančić, Miodrag; Purser, R. James; Mesinger, Fedor (1996). "A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates". Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 122 (532): 959–982. doi:10.1002/qj.49712253209.
Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010a). "22. Jacobian Elliptic Functions". In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge.
Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010b). "23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions". In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge.
Robinson, Paul L. (2019a). The Lemniscatic Functions (Preprint). arXiv:1902.08614.
Robinson, Paul L. (2019b). The Elliptic Functions in a First-Order System (Preprint). arXiv:1903.07147.
Rosen, Michael (1981). "Abel's Theorem on the Lemniscate". The American Mathematical Monthly. 88 (6): 387–395. doi:10.1080/00029890.1981.11995279. JSTOR 2321821.
Roy, Ranjan (2017). Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke. Cambridge University Press. p. 28. ISBN 978-1-107-15938-9.
Schappacher, Norbert (1997). "Some milestones of lemniscatomy"(PDF). In Sertöz, S. (ed.). Algebraic Geometry (Proceedings of Bilkent Summer School, August 7–19, 1995, Ankara, Turkey). Marcel Dekker. pp. 257–290.
Schneider, Theodor (1937). "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale"[Arithmetic investigations of elliptic integrals]. Mathematische Annalen (in German). 113 (1): 1–13. doi:10.1007/BF01571618.
Schwarz, Hermann Amandus (1869). "Ueber einige Abbildungsaufgaben"[About some mapping problems]. Crelle's Journal (in German). 70: 105–120. doi:10.1515/crll.1869.70.105.
Siegel, Carl Ludwig (1969). "1. Elliptic Functions". Topics in Complex Function Theory, Vol. I. Wiley-Interscience. pp. 1–89. ISBN 0-471-60844-0.
Snape, Jamie (2004). "Bernoulli's Lemniscate". Applications of Elliptic Functions in Classical and Algebraic Geometry (Thesis). University of Durham. pp. 50–56.
Southard, Thomas H. (1964). "18. Weierstrass Elliptic and Related Functions". In Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (eds.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. pp. 627–683.
Sridharan, Ramaiyengar (2004) "Physics to Mathematics: from Lintearia to Lemniscate". Resonance. "Part I". 9 (4): 21–29. doi:10.1007/BF02834853. "Part II: Gauss and Landen's Work". 9 (6): 11–20. doi:10.1007/BF02839214.
Todd, John (1975). "The lemniscate constants". Communications of the ACM. 18 (1): 14–19. doi:10.1145/360569.360580.
Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1920) [1st ed. 1902]. "22.8 The lemniscate functions". A Course of Modern Analysis (3rd ed.). Cambridge. pp. 524–528.
Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927) [4th ed. 1927]. "21 The theta functions". A Course of Modern Analysis (4th ed.). Cambridge. pp. 469–470.

External links

Parker, Matt (2021). "¿Cuál es el área de un Squircle?" . Stand-up Maths . YouTube.

Ramalingam, Muthu Veerappan (2023). "Bernoulli Lemniscate y el Squircle $||$ ¡ ¡Un dato curioso sobre geometría!! Acto de aprendizaje . YouTube.La relación que se muestra en el video equivale a $\operatorname {cl} ({\sqrt {2}}t)={\frac {\cos _{4}^{2}(t)-\sin _{4}^{2}(t)}{\cos _{4}^{2}(t)+\sin _{4}^{2}(t)}}$

[1] Fagnano (1718–1723) ; Euler (1761) ; Gauss (1917)

[2] Gauss (1917) p. 199 usó los símbolos $sl$ y $cl$ para el seno y el coseno de la lemniscata, respectivamente, y esta notación es la más común hoy en día: véase, por ejemplo, Cox (1984) p. 316, Eymard y Lafon (2004) p. 204 y Lemmermeyer (2000) p. 240. Ayoub (1984) usa $sinlem$ y $coslem$ . Whittaker y Watson (1920) usan los símbolos $sin lemn$ y $cos lemn$ . Algunas fuentes usan las letras genéricas $s$ y $c$ . Prasolov y Solovyev (1997) usan la letra $φ$ para el seno de la lemniscata y $φ'$ para su derivada.

[3] El círculo $x^{2}+y^{2}=x$ es el círculo de diámetro unitario centrado en ${\textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )}}$ con ecuación polar $r=\cos \theta ,$ El trébol de grado 2 según la definición de Cox y Shurman (2005) . Este no es el círculo de radio unitario. $x^{2}+y^{2}=1$ centrado en el origen. Nótese que la lemniscata ${\bigl (}x^{2}+y^{2}{\bigr )}{}^{2}=x^{2}-y^{2}$ es el trébol de grado 4.

[4] Los períodos fundamentales $(1+i)\varpi$ y $(1-i)\varpi$ son "mínimos" en el sentido de que tienen el valor absoluto más pequeño de todos los períodos cuya parte real es no negativa.

[5] Robinson (2019a) parte de esta definición y a partir de ahí deriva otras propiedades de las funciones lemniscatas.

[6] Este mapa fue la primera imagen de un mapa de Schwarz-Christoffel, en Schwarz (1869) pág. 113 .

[7] Schappacher (1997) . La secuencia OEIS A062539 enumera los dígitos decimales de la constante de lemniscata.

[8] Juan (4 de octubre de 2023). «Funciones de lemniscata» . www.johndcook.com . Consultado el 18 de junio de 2026 .

[9] Levin (2006)

[10] Todd (1975)

[11] Cox (1984)

[12] Las áreas oscuras representan ceros y las áreas brillantes representan polos. Como el argumento de $\operatorname {sl} z$ cambios de $-\pi$ (a excepción de $-\pi$ ) a $\pi$ Los colores pasan por el cian y el azul. $(\operatorname {Arg} \approx -\pi /2)$ , magneta, rojo $(\operatorname {Arg} \approx 0)$ naranja, amarillo $(\operatorname {Arg} \approx \pi /2)$ , verde, y de vuelta a cian $(\operatorname {Arg} \approx \pi )$ .

[13] Combinando la primera y la cuarta identidad se obtiene $\operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl} (z-(1+i)\varpi /2)$ . Esta identidad se da (incorrectamente) en Eymard & Lafon (2004) p. 226, sin el signo menos al principio del lado derecho.

[14] Los enteros gaussianos pares son la clase residual de ⁠ $0$ ⁠ , módulo ⁠ $1+i$ ⁠ , los cuadrados negros en un tablero de ajedrez .

[15] Prasolov y Soloviev (1997) ; Robinson (2019a)

[harvp|Cox|2012-16] 1 2 Cox (2012)

[17] Reinhardt & Walker (2010a) §22.12.6 , §22.12.12

[18] De forma análoga, ${\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi }}.$

[19] Lindqvist y Peetre (2001) generalizan la primera de estas formas.

[20] Ayoub (1984) ; Prasolov y Soloviev (1997)

[21] Euler (1761) §44 pág. 79 , §47 págs. 80–81

[euler1761-46-22] 1 2 Euler (1761) §46 pág. 80

[23] De hecho, $i^{\varepsilon }=\operatorname {sl} {\tfrac {\beta \varpi }{2}}$ .

[CH-24] 1 2 3 Cox y Hyde (2014)

[25] Gómez-Molleda & Lario (2019)

[ReferenceA-26] Se eligela cuarta raíz con el argumento principal positivo más pequeño.

[27] La restricción a positivo e impar $\beta$ se puede dejar caer en $\operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|$ .

[28] Cox (2013) pág. 142, Ejemplo 7.29(c)

[29] Rosen (1981)

[30] Eymard y Lafon (2004) pág. 200

[31] Y el área encerrada por ${\mathcal {L}}$ es $1$ , lo cual contrasta marcadamente con el círculo unitario ( cuya área encerrada es un número no construible ).

[32] Euler (1761) ; Siegel (1969) . Prasolov y Solovyev (1997) utilizan la representación en coordenadas polares de la lemniscata para derivar la longitud diferencial del arco, pero el resultado es el mismo.

[33] Reinhardt & Walker (2010a) §22.18.E6

[34] Siegel (1969) ; Schappacher (1997)

[35] Dichos números son la secuencia OEIS A003401 .

[36] Abel (1827–1828) ; Rosen (1981) ; Prasolov y Soloviev (1997)

[37] Euler (1786) ; Sridharan (2004) ; Levin (2008)

[38] "A104203" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros .

[39] Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. págs. 12, 44. ISBN 1-58488-210-7.

[OEIS_sl_tilde-40] 1 2 3 4 "A193543 - Oeis" .

[41] Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.pág. 79, ecuación 5.36

[42] Lomont, JS; Brillhart, John (2001). Polinomios elípticos . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7.pág. 79, ecuación 5.36 y pág. 78, ecuación 5.33

[OEIS_cl_tilde-43] 1 2"A289695 - Oeis".

[44] Wall, H. S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. Chelsea Publishing Company. pp. 374–375.

[45] Reinhardt & Walker (2010a)§22.20(ii)

[46] Carlson (2010)§19.8

[47] Reinhardt & Walker (2010a)§22.12.12

[48] In general, $\sinh(x-n\pi )$ and $\sin(x-n\pi i)=-i\sinh(ix+n\pi )$ are not equivalent, but the resulting infinite sum is the same.

[49] Reinhardt & Walker (2010a)§22.11

[50] Reinhardt & Walker (2010a)§22.2.E7

[51] Berndt (1994) p. 247, 248, 253

[52] Reinhardt & Walker (2010a)§22.11.E1

[53] Whittaker & Watson (1927)

[54] Borwein & Borwein (1987)

[EL227-55] 1 2Eymard & Lafon (2004) p. 227.

[56] Cartan, H. (1961). Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (in French). Hermann. pp. 160–164.

[57] More precisely, suppose $\{a_{n}\}$ is a sequence of bounded complex functions on a set $S$ , such that ${\textstyle \sum \left|a_{n}(z)\right|}$ converges uniformly on $S$ . If $\{n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \}$ is any permutation of $\{1,2,3,\ldots \}$ , then ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))=\prod _{k=1}^{\infty }(1+a_{n_{k}}(z))}$ for all $z\in S$ . The theorem in question then follows from the fact that there exists a bijection between the natural numbers and $\alpha$ 's (resp. $\beta$ 's).

[58] Bottazzini & Gray (2013) p. 58

[59] More precisely, if for each $k$ , ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)}$ exists and there is a convergent series ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M_{k}}$ of nonnegative real numbers such that $\left|a_{k}(n)\right|\leq M_{k}$ for all $n\in \mathbb {N}$ and $1\leq k\leq n$ , then
$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\lim _{n\to \infty }a_{k}(n).$

[60] Alternatively, it can be inferred that these expansions exist just from the analyticity of $M$ and $N$ . However, establishing the connection to "multiplying out and collecting like powers" reveals identities between sums of reciprocals and the coefficients of the power series, like ${\textstyle \sum _{\alpha }{\frac {1}{\alpha ^{4}}}=-\,{\text{the coefficient of}}\,z^{5}}$ in the $M$ series, and infinitely many others.

[61] Gauss, C. F. (1866). Werke (Band III) (in Latin and German). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. p. 405; there's an error on the page: the coefficient of $\varphi ^{17}$ should be ${\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}}$ , not ${\tfrac {107}{207\,484\,333\,056\,000}}$ .

[62] If ${\textstyle M(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+1}}$ , then the coefficients $a_{n}$ are given by the recurrence ${\textstyle a_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2^{n-k+1}a_{k}{\frac {\mathrm {H} _{n-k+1}}{(n-k+1)!}}}$ with $a_{0}=1$ where $\mathrm {H} _{n}$ are the Hurwitz numbers defined in Lemniscate elliptic functions § Hurwitz numbers.

[63] The power series expansions of $M$ and $N$ are useful for finding a $\beta$ -division polynomial for the $\beta$ -division of the lemniscate ${\mathcal {L}}$ (where $\beta =m+ni$ where $m,n\in \mathbb {Z}$ such that $m+n$ is odd). For example, suppose we want to find a $3$ -division polynomial. Given that
$M(3z)=d_{9}M(z)^{9}+d_{5}M(z)^{5}N(z)^{4}+d_{1}M(z)N(z)^{8}$
for some constants $d_{1},d_{5},d_{9}$ , from
$3z-2{\frac {(3z)^{5}}{5!}}-36{\frac {(3z)^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13})=d_{9}x^{9}+d_{5}x^{5}y^{4}+d_{1}xy^{8},$
where
$x=z-2{\frac {z^{5}}{5!}}-36{\frac {z^{9}}{9!}}+\operatorname {O} (z^{13}),\quad y=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}+\operatorname {O} (z^{12}),$
we have
$\{d_{1},d_{5},d_{9}\}=\{3,-6,-1\}.$
Therefore, a $3$ -division polynomial is
$-X^{9}-6X^{5}+3X$
(meaning one of its roots is $\operatorname {sl} (2\varpi /3)$ ). The equations arrived at by this process are the lemniscate analogs of
$X^{n}=1$
(so that $e^{2\pi i/n}$ is one of the solutions) which comes up when dividing the unit circle into $n$ arcs of equal length. In the following note, the first few coefficients of the monic normalization of such $\beta$ -division polynomials are described symbolically in terms of $\beta$ .

[64] By utilizing the power series expansion of the $N$ function, it can be proved that a polynomial having $\operatorname {sl} (2\varpi /\beta )$ as one of its roots (with $\beta$ from the previous note) is
$\sum _{n=0}^{(\beta {\overline {\beta }}-1)/4}a_{4n+1}(\beta )X^{\beta {\overline {\beta }}-4n}$
where
${\begin{aligned}a_{1}(\beta )&=1,\\a_{5}(\beta )&={\frac {\beta ^{4}-\beta {\overline {\beta }}}{12}},\\a_{9}(\beta )&={\frac {-\beta ^{8}-70\beta ^{5}{\overline {\beta }}+336\beta ^{4}+35\beta ^{2}{\overline {\beta }}^{2}-300\beta {\overline {\beta }}}{10080}}\end{aligned}}$
and so on.

[65] Zhuravskiy, A. M. (1941). Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam (in Russian). Izd. Akad. Nauk. U.S.S.R.

[66] For example, by the quasi-addition formulas, the duplication formulas and the Pythagorean-like identities, we have
$M(3z)=-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8},$
$N(3z)=N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z),$
so
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-M(z)^{9}-6M(z)^{5}N(z)^{4}+3M(z)N(z)^{8}}{N(z)^{9}+6M(z)^{4}N(z)^{5}-3M(z)^{8}N(z)}}.$
On dividing the numerator and the denominator by $N(z)^{9}$ , we obtain the triplication formula for $\operatorname {sl}$ :
$\operatorname {sl} 3z={\frac {-\operatorname {sl} ^{9}z-6\operatorname {sl} ^{5}z+3\operatorname {sl} z}{1+6\operatorname {sl} ^{4}z-3\operatorname {sl} ^{8}z}}.$

[67] Gauss (1866), p. 408

[68] Robinson (2019a)

[69] Eymard & Lafon (2004) p. 234

[70] Armitage, J. V.; Eberlein, W. F. (2006). Elliptic Functions. Cambridge University Press. p. 49. ISBN 978-0-521-78563-1.

[71] The identity $\operatorname {cl} z={\operatorname {cn} }\left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ can be found in Greenhill (1892)p. 33.

[72] Siegel (1969)

[73] Sloane, N. J. A. (ed.). "SequenceA175576". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[74] Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's Notebooks Part II. Springer. ISBN 978-1-4612-4530-8. p. 96

[75] Levin (2006); Robinson (2019b)

[76] Levin (2006) p. 515

[Cox508509-77] 1 2Cox (2012) p. 508, 509

[Arakawa-78] 1 2 3 4Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014). Bernoulli Numbers and Zeta Functions. Springer. ISBN 978-4-431-54918-5. p. 203—206

[79] Equivalently, $\mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2}};i\right)\right)$ where $n\geq 4$ and ${\mathcal {E}}(\cdot ;i)$ is the Jacobi epsilon function with modulus $i$ .

[80] The Bernoulli numbers can be determined by an analogous recurrence: $\mathrm {B} _{2n}=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k}\mathrm {B} _{2(n-k)}$ where $n\geq 2$ and $\mathrm {B} _{2}=1/6$ .

[81] Katz, Nicholas M. (1975). "The congruences of Clausen — von Staudt and Kummer for Bernoulli-Hurwitz numbers". Mathematische Annalen. 216 (1): 1–4. doi:10.1007/BF02547966. See eq. (9)

[82] For more on the $\nu$ function, see Lemniscate constant.

[83] Hurwitz, Adolf (1963). Mathematische Werke: Band II (in German). Springer Basel AG. p. 370

[84] Arakawa et al. (2014) define $\mathrm {H} _{4n}$ by the expansion of $1/\operatorname {sl} ^{2}.$

[85] Eisenstein, G. (1846). "Beiträge zur Theorie der elliptischen Functionen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 30. Eisenstein uses $\varphi =\operatorname {sl}$ and $\omega =2\varpi$ .

[86] Ogawa (2005)

[87] Peirce (1879). Guyou (1887) and Adams (1925) introduced transverse and oblique aspects of the same projection, respectively. Also see Lee (1976). These authors write their projection formulas in terms of Jacobi elliptic functions, with a square lattice.

[88] Adams (1925)

[89] Adams (1925); Lee (1976).

[90] Rančić, Purser & Mesinger (1996); McGregor (2005).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ].

[ 73 ]

[ 74 ]

[75]

[76]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ].

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]