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Articulo de referencia

descomposición de Levi

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En la teoría de Lie y la teoría de la representación , la descomposición de Levi , conjeturada por Wilhelm Killing [ 1 ] y Élie Cartan [ 2 ] y demostrada por Eugenio Elia Levi ( 1905 ) , establece que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita g sobre un cuerpo de característica cero es el producto semidirecto de un ideal resoluble y una subálgebra semisimple . Uno es su radical , un ideal resoluble maximal, y el otro es una subálgebra semisimple, llamada subálgebra de Levi . 

Cuando se considera como un álgebra de factores de g , esta álgebra de Lie semisimple también se denomina factor de Levi de g . Hasta cierto punto, la descomposición puede utilizarse para reducir problemas sobre álgebras de Lie y grupos de Lie de dimensión finita a problemas separados sobre álgebras de Lie en estas dos clases especiales: resolubles y semisimples.

Además, Malcev (1942) demostró que cualesquiera dos subálgebras de Levi son conjugadas por un automorfismo (interno) de la forma

exp⁡(ad(z)) {\displaystyle \exp(\mathrm {anuncio} (z))\ }

donde z está en el nilradical ( teorema de Levi-Malcev ).

Un resultado análogo es válido para las álgebras asociativas y se denomina teorema principal de Wedderburn .

Extensiones de los resultados

En la teoría de la representación, la descomposición de Levi de los subgrupos parabólicos de un grupo reductivo es necesaria para construir una amplia familia de las llamadas representaciones inducidas parabólicamente . La descomposición de Langlands es un ligero refinamiento de la descomposición de Levi para subgrupos parabólicos utilizada en este contexto.

Afirmaciones análogas son válidas para grupos de Lie simplemente conexos y, como demostró George Mostow , para álgebras de Lie algebraicas y grupos algebraicos simplemente conexos sobre un cuerpo de característica cero.

No existe un análogo de la descomposición de Levi para la mayoría de las álgebras de Lie de dimensión infinita; por ejemplo, las álgebras de Lie afines tienen un radical formado por su centro, pero no pueden escribirse como un producto semidirecto del centro y otra álgebra de Lie. La descomposición de Levi tampoco es válida para álgebras de dimensión finita sobre cuerpos de característica positiva.

Véase también

Referencias

  1. ^ Matar, W. (1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" . Annalen Matemáticas . 31 (2): 252– 290. doi : 10.1007/BF01211904 .
  2. ^ Cartan, Élie (1894), Sur la estructura des groupes de transformaciones finis et continus , Tesis, Nony

Bibliografía

  • Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de Lie . Nueva York: Dover. ISBN 0486638324OCLC 6499793​​ 
  • Levi, Eugenio Elia (1905), "Sulla struttura dei gruppi finiti e continui" , Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino. (en italiano), XL : 551– 565, JFM 36.0217.02 , archivado desde el original el 5 de marzo de 2009 Reimpreso en: Opere vol. 1, Edizione Cremonese, Roma (1959), p.  101.
  • Maltsev, Anatoly I. (1942), "Sobre la representación de un álgebra como suma directa del radical y una subálgebra semisimple", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , Nueva Serie, 36 : 42–45 , MR 0007397 , Zbl 0060.08004  .