Pureza (mecánica cuántica)

En la esfera de Bloch , los estados puros se representan mediante un punto en la superficie, mientras que los estados mixtos se representan mediante un punto interior. Por lo tanto, la pureza de un estado puede visualizarse como el grado de proximidad del punto a la superficie de la esfera.

Por ejemplo, el estado completamente mezclado de un solo cúbit.${\textstyle {\frac {1}{2}}I_{2}\,}$está representada por el centro de la esfera, por simetría.

Se puede obtener una intuición gráfica de la pureza observando la relación entre la matriz de densidad y la esfera de Bloch, $${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {a} }$es el vector que representa el estado cuántico (sobre o dentro de la esfera), y${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$es el vector de las matrices de Pauli .

Dado que las matrices de Pauli no tienen traza, sigue siendo cierto que tr( ρ ) = 1 . Sin embargo, en virtud de $${\displaystyle \left(\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\left(\mathbf {b} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\,I+i\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot {\boldsymbol {\sigma }},}$$$${\displaystyle \rho ^{2}={\tfrac {1}{2}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left(1+|a|^{2}\right)I+\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right],}$$ por eso${\textstyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})={\frac {1}{2}}(1+|a|^{2}),}$ lo cual concuerda con el hecho de que solo los estados en la superficie de la esfera misma son puros (es decir,${\displaystyle |a|=1}$).

La pureza está trivialmente relacionada con la entropía lineal.${\displaystyle S_{L}\,}$de un estado por

$${\displaystyle \gamma =1-S_{L}\,.}$$

La entropía lineal es una aproximación inferior a la entropía de von Neumann S , que se define como

$${\displaystyle S\,{\dot {=}}\,-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho )=-\langle \ln \rho \rangle \,.}$$

La entropía lineal se obtiene entonces expandiendo ln ρ = ln (1−(1− ρ )) , alrededor de un estado puro, ρ ² = ρ ; es decir, expandiendo en términos de la matriz no negativa 1− ρ en la serie formal de Mercator para el logaritmo , $${\displaystyle -\langle \ln \rho \rangle =\langle 1-\rho \rangle +{\frac {1}{2}}\langle (1-\rho )^{2}\rangle +{\frac {1}{3}}\langle (1-\rho )^{3}\rangle +\cdots ,}$$ y conservando solo el término principal. Tanto la entropía lineal como la de von Neumann miden el grado de mezcla de un estado, aunque la entropía lineal es más fácil de calcular, ya que no requiere la diagonalización de la matriz de densidad. Algunos autores ^{[ 4 ]} definen la entropía lineal con una normalización diferente. $${\displaystyle S_{L}\,{\dot {=}}\,{\tfrac {d}{d-1}}(1-\operatorname {tr} (\rho ^{2}))\,,}$$ lo que garantiza que la cantidad oscile entre cero y uno.

Un estado puro de 2 cúbits${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}}$se puede escribir (usando la descomposición de Schmidt ) como${\textstyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{j}\lambda _{j}|j\rangle _{A}|j\rangle _{B}}$, dónde${\displaystyle \{|j\rangle _{A}\},\{|j\rangle _{B}\}}$son las bases de${\displaystyle H_{A},H_{B}}$respectivamente y${\textstyle \sum _{j}\lambda _{j}^{2}=1,\lambda _{j}\geq 0}$Su matriz de densidad es${\textstyle \rho ^{AB}=\sum _{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}|i\rangle _{A}\langle j|_{A}\otimes |i\rangle _{B}\langle j|_{B}}$. El grado en que está entrelazado está relacionado con la pureza de los estados de sus subsistemas,${\textstyle \rho ^{A}=\operatorname {tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{j}\lambda _{j}^{2}|j\rangle _{A}\langle j|_{A}}$y de manera similar para${\displaystyle \rho ^{B}}$(ver traza parcial ). Si este estado inicial es separable (es decir, solo hay uno)${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$), entonces${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$son ambos puros. De lo contrario, este estado está entrelazado y${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$son ambos mixtos. Por ejemplo, si${\textstyle |\psi \rangle _{AB}=|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$que es un estado máximamente entrelazado, entonces${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$están completamente mezclados.

Para estados de 2 cúbits (puros o mixtos), el número de Schmidt (número de coeficientes de Schmidt) es como máximo 2. Usando esto y el criterio de Peres-Horodecki (para 2 cúbits), un estado está entrelazado si su transpuesta parcial tiene al menos un valor propio negativo . Usando los coeficientes de Schmidt de arriba, el valor propio negativo es${\displaystyle -\lambda _{0}\lambda _{1}}$. ^{[ 5 ]} La negatividad${\displaystyle {\mathcal {N}}=-\lambda _{0}\lambda _{1}}$de este valor propio también se utiliza como medida de entrelazamiento: el estado está más entrelazado cuanto más negativo es este valor propio (hasta${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$para estados de Bell ). Para el estado del subsistema${\displaystyle A}$(de manera similar para${\displaystyle B}$), sostiene que: $${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {tr} _{B}(|\psi \rangle _{AB}\langle \psi |_{AB})=\lambda _{0}^{2}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+\lambda _{1}^{2}|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}}$$

Y la pureza es${\displaystyle \gamma =\lambda _{0}^{4}+\lambda _{1}^{4}=(\lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2})^{2}-2(\lambda _{0}\lambda _{1})^{2}=1-2{\mathcal {N}}^{2}}$.

Se puede observar que cuanto más entrelazado esté el estado compuesto (es decir, cuanto más negativo), menos puro será el estado del subsistema.

En el contexto de la localización, una magnitud estrechamente relacionada con la pureza, la denominada razón de participación inversa (RPI), resulta útil. Se define como la integral (o suma para sistemas de tamaño finito) sobre el cuadrado de la densidad en algún espacio, por ejemplo, el espacio real, el espacio de momentos o incluso el espacio de fases , donde las densidades serían el cuadrado de la función de onda en el espacio real.${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$, el cuadrado de la función de onda del espacio de momento${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(k)|^{2}}$, o alguna densidad de espacio de fase como la distribución de Husimi , respectivamente. ^{[ 6 ]}

El valor más pequeño del IPR corresponde a un estado totalmente deslocalizado,${\displaystyle \psi (x)=1/{\sqrt {N}}}$para un sistema de tamaño${\displaystyle N}$donde los derechos de propiedad intelectual dan lugar a${\textstyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=N/(N^{1/2})^{4}=1/N}$Los valores del IPR cercanos a 1 corresponden a estados localizados (estados puros en la analogía), como puede verse con el estado perfectamente localizado.${\displaystyle \psi (x)=\delta _{x,x_{0}}}$donde los derechos de propiedad intelectual dan lugar a${\textstyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=1}$En una dimensión, el IPR es directamente proporcional al inverso de la longitud de localización, es decir, el tamaño de la región sobre la que se localiza un estado. En el marco de la física de la materia condensada, los estados localizados y deslocalizados (extendidos) corresponden, respectivamente, a estados aislantes y metálicos , si se imagina un electrón en una red que no puede moverse en el cristal (función de onda localizada, IPR cercano a uno) o que sí puede moverse (estado extendido, IPR cercano a cero).

En el contexto de la localización, a menudo no es necesario conocer la función de onda en sí; a menudo basta con conocer las propiedades de localización. Por eso el IPR es útil en este contexto. El IPR básicamente toma toda la información sobre un sistema cuántico (la función de onda; para un${\displaystyle N}$espacio de Hilbert de -dimensiones que uno tendría que almacenar${\displaystyle N}$valores, los componentes de la función de onda) y lo comprime en un solo número que luego solo contiene información sobre las propiedades de localización del estado. Aunque estos dos ejemplos de un estado perfectamente localizado y uno perfectamente deslocalizado solo se mostraron para la función de onda en el espacio real y, correspondientemente, para el IPR en el espacio real, obviamente se podría extender la idea al espacio de momentos e incluso al espacio de fases; el IPR entonces proporciona información sobre la localización en el espacio en consideración, por ejemplo, una onda plana estaría fuertemente deslocalizada en el espacio real, pero su transformada de Fourier está fuertemente localizada, por lo que aquí el IPR en el espacio real estaría cerca de cero y el IPR en el espacio de momentos estaría cerca de uno.