Transformación fraccionaria lineal

En matemáticas , una transformación fraccionaria lineal es, en términos generales, una transformación invertible de la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

La definición precisa depende de la naturaleza de a , b , c , d y z . En otras palabras, una transformación fraccionaria lineal es una transformación que se representa mediante una fracción cuyo numerador y denominador son lineales .

En el contexto más básico, a , b , c , d y z son números complejos (en cuyo caso la transformación también se denomina transformación de Möbius ), o más generalmente elementos de un cuerpo . La condición de invertibilidad es entonces ad – bc ≠ 0. Sobre un cuerpo, una transformación fraccionaria lineal es la restricción al cuerpo de una transformación proyectiva u homografía de la línea proyectiva .

Cuando a , b , c , d son enteros (o, más generalmente, pertenecen a un dominio de integridad ), se supone que z es un número racional (o pertenece al cuerpo de fracciones del dominio de integridad). En este caso, la condición de invertibilidad es que ad – bc debe ser una unidad del dominio (es decir, 1 o −1 en el caso de enteros). ^{[ 1 ]}

En el contexto más general, a , b , c , d y z son elementos de un anillo , como matrices cuadradas . Un ejemplo de dicha transformación fraccionaria lineal es la transformada de Cayley , que fue definida originalmente en el anillo de matrices reales de 3 × 3 .

Las transformaciones fraccionarias lineales se utilizan ampliamente en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones a la ingeniería, como la geometría clásica , la teoría de números (se utilizan, por ejemplo, en la demostración de Wiles del último teorema de Fermat ), la teoría de grupos y la teoría de control .

En general, una transformación fraccionaria lineal es una homografía de P( A ) , la recta proyectiva sobre un anillo A. Cuando A es un anillo conmutativo , entonces una transformación fraccionaria lineal tiene la forma familiar

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

donde a , b , c , d son elementos de A tales que ad – bc es una unidad de A (es decir , ad – bc tiene un inverso multiplicativo en A ).

En un anillo no conmutativo A , con ( z , t ) en A2 , las unidades u determinan una relación de equivalencia ^.${\displaystyle (z,t)\sim (uz,ut).}$Una clase de equivalencia en la recta proyectiva sobre A se escribe U [ z  : t ] , donde los corchetes denotan coordenadas proyectivas . Entonces, las transformaciones fraccionarias lineales actúan a la derecha de un elemento de P( A ) :

${\displaystyle U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].}$

El anillo está incrustado en su línea proyectiva por z → U [ z  : 1] , por lo que t = 1 recupera la expresión usual. Esta transformación fraccionaria lineal está bien definida ya que U [ za + tb : zc + td ] no depende del elemento que se seleccione de su clase de equivalencia para la operación.

Las transformaciones fraccionarias lineales sobre A forman un grupo , el grupo lineal proyectivo denotado${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(A).}$

El grupo${\displaystyle \operatorname {PGL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$El conjunto de transformaciones fraccionarias lineales se denomina grupo modular . Ha sido ampliamente estudiado debido a sus numerosas aplicaciones a la teoría de números , que incluyen, en particular, la demostración de Wiles del último teorema de Fermat .

En el plano complejo, un círculo generalizado es una línea o un círculo. Al completarse con el punto en el infinito, los círculos generalizados en el plano corresponden a círculos en la superficie de la esfera de Riemann , una expresión de la línea proyectiva compleja. Las transformaciones fraccionarias lineales permutan estos círculos en la esfera y los puntos finitos correspondientes de los círculos generalizados en el plano complejo.

Para construir modelos del plano hiperbólico, se utilizan el disco unitario y el semiplano superior para representar los puntos. A estos subconjuntos del plano complejo se les proporciona una métrica con la métrica de Cayley-Klein . Luego, la distancia entre dos puntos se calcula utilizando el círculo generalizado que pasa por los puntos y es perpendicular al límite del subconjunto utilizado para el modelo. Este círculo generalizado interseca el límite en otros dos puntos. Los cuatro puntos se utilizan en la razón cruzada que define la métrica de Cayley-Klein. Las transformaciones fraccionarias lineales dejan la razón cruzada invariante, por lo que cualquier transformación fraccionaria lineal que deje estables el disco unitario o los semiplanos superiores es una isometría del espacio métrico del plano hiperbólico . Desde que Henri Poincaré explicó estos modelos, se les ha dado su nombre: el modelo del disco de Poincaré y el modelo del semiplano de Poincaré . Cada modelo tiene un grupo de isometrías que es un subgrupo del grupo de Möbius : el grupo de isometrías para el modelo de disco es SU(1, 1), donde las transformaciones fraccionarias lineales son "unitarias especiales", y para el semiplano superior el grupo de isometrías es PSL(2, R ) , un grupo lineal proyectivo de transformaciones fraccionarias lineales con entradas reales y determinante igual a uno. ^{[ 2 ]}

Las transformaciones de Möbius aparecen comúnmente en la teoría de fracciones continuas y en la teoría analítica de números de curvas elípticas y formas modulares , ya que describen automorfismos del semiplano superior bajo la acción del grupo modular . También proporcionan un ejemplo canónico de fibración de Hopf , donde el flujo geodésico inducido por la transformación lineal fraccionaria descompone el espacio proyectivo complejo en variedades estables e inestables , con los horociclos apareciendo perpendiculares a las geodésicas. Véase el flujo de Anosov para un ejemplo resuelto de la fibración: en este ejemplo, las geodésicas vienen dadas por la transformación lineal fraccionaria.

${\displaystyle (i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim \left({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1\right)}$

con a , b , c y d números reales , con ad − bc = 1. En términos generales, la variedad central se genera mediante las transformaciones parabólicas , la variedad inestable mediante las transformaciones hiperbólicas y la variedad estable mediante las transformaciones elípticas.

Las transformaciones fraccionarias lineales se utilizan ampliamente en la teoría de control para resolver problemas de relación planta-controlador en ingeniería mecánica y eléctrica . ^{[ 3 ] [ 4 ]} El procedimiento general de combinar transformaciones fraccionarias lineales con el producto estrella de Redheffer permite aplicarlas a la teoría de dispersión de ecuaciones diferenciales generales, incluyendo el enfoque de la matriz S en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, la dispersión de ondas acústicas en medios (por ejemplo, termoclinas y submarinos en océanos, etc.) y el análisis general de dispersión y estados ligados en ecuaciones diferenciales. Aquí, los componentes de la matriz de 3 × 3 se refieren a los estados entrantes, ligados y salientes. Quizás el ejemplo más simple de aplicación de transformaciones fraccionarias lineales se da en el análisis del oscilador armónico amortiguado . Otra aplicación elemental es la obtención de la forma normal de Frobenius , es decir, la matriz compañera de un polinomio.

Los anillos conmutativos de números complejos divididos y números duales se unen a los números complejos ordinarios como anillos que expresan ángulo y "rotación". En cada caso, el mapa exponencial aplicado al eje imaginario produce un isomorfismo entre grupos uniparamétricos en ( A , + ) y en el grupo de unidades ( U , × ) : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,}$

${\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$

${\displaystyle \exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.}$

El "ángulo" y es un ángulo hiperbólico , una pendiente o un ángulo circular según el anillo anfitrión.

Se demuestra que las transformaciones fraccionarias lineales son transformaciones conformes al considerar sus generadores : la inversión multiplicativa z → 1/ z y las transformaciones afines z → az + b . La conformidad se puede confirmar mostrando que todos los generadores son conformes. La traslación z → z + b es un cambio de origen y no afecta al ángulo. Para ver que z → az es conforme, consideremos la descomposición polar de a y z . En cada caso, el ángulo de a se suma al de z, lo que resulta en una transformación conforme. Finalmente, la inversión es conforme ya que z → 1/ z envía${\displaystyle \exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.}$

• transformaciones de Laguerre
• Programación lineal fraccionaria
• Métodos H-infinito en teoría de control

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• Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , páginas 130 y 157, Academic Press