teoría de las ondas de Airy

Las ondas se propagan en la dirección horizontal, con coordenada x , y un dominio de fluido limitado superiormente por una superficie libre en z = η ( x , t ) , donde z es la coordenada vertical (positiva en la dirección ascendente) y t es el tiempo. ^{[ 7 ]} El nivel z = 0 corresponde a la elevación media de la superficie. El lecho impermeable debajo de la capa de fluido se encuentra en z = −h . Además, se supone que el flujo es incompresible e irrotacional —una buena aproximación del flujo en el interior del fluido para ondas en una superficie líquida— y se puede utilizar la teoría del potencial para describir el flujo. El potencial de velocidad Φ( x , z , t ) está relacionado con las componentes de la velocidad del flujo u _x y u _z en las direcciones horizontal ( x ) y vertical ( z ) mediante:

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.}$

Entonces, debido a la ecuación de continuidad para un flujo incompresible, el potencial Φ debe satisfacer la ecuación de Laplace :

Se requieren condiciones de contorno en el lecho y la superficie libre para cerrar el sistema de ecuaciones. Para su formulación dentro del marco de la teoría lineal, es necesario especificar cuál es el estado base (o solución de orden cero ) del flujo. Aquí, asumimos que el estado base es el reposo, lo que implica que las velocidades medias del flujo son cero.

El hecho de que el lecho sea impermeable da lugar a la condición de contorno cinemática del lecho:

En el caso de aguas profundas – lo que desde un punto de vista matemático significa profundidad infinita del agua – las velocidades del flujo tienen que tender a cero en el límite cuando la coordenada vertical tiende a menos infinito: z → −∞ .

En la superficie libre, para ondas infinitesimales , el movimiento vertical del flujo debe ser igual a la velocidad vertical de la superficie libre. Esto conduce a la condición de contorno cinemática de la superficie libre:

Si la elevación de la superficie libre η ( x , t ) fuera una función conocida, bastaría con resolver el problema del flujo. Sin embargo, la elevación de la superficie es una incógnita adicional, para la cual se necesita una condición de contorno adicional. Esta se obtiene mediante la ecuación de Bernoulli para un flujo potencial transitorio. Se supone que la presión sobre la superficie libre es constante. Esta presión constante se considera igual a cero, sin pérdida de generalidad, ya que su nivel no altera el flujo. Tras la linealización, se obtiene la condición de contorno dinámica de la superficie libre:

Debido a que se trata de una teoría lineal, en ambas condiciones de contorno de superficie libre (la cinemática y la dinámica, ecuaciones ( 3 ) y ( 4 )) se utiliza el valor de Φ y ⁠ ∂Φ / ∂ z ⁠ en el nivel medio fijo z = 0 .

Para una onda propagante de una sola frecuencia – una onda monocromática – la elevación de la superficie tiene la forma: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t).}$

El potencial de velocidad asociado, que satisface la ecuación de Laplace (1) en el interior del fluido, así como las condiciones de contorno cinemáticas en la superficie libre (2) y el lecho (3), es:

${\displaystyle \Phi ={\frac {\omega }{k}}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin(kx-\omega t),}$

donde sinh y cosh son las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico , respectivamente. Pero η y Φ también deben satisfacer la condición de contorno dinámica, lo que resulta en valores no triviales (distintos de cero) para la amplitud de onda a solo si se satisface la relación de dispersión lineal :

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh kh,}$

donde tanh es la tangente hiperbólica . Por lo tanto, la frecuencia angular ω y el número de onda k —o, equivalentemente, el período T y la longitud de onda λ— no pueden elegirse de forma independiente, sino que están relacionados. Esto significa que la propagación de ondas en una superficie fluida es un problema de valores propios . Cuando ω y k satisfacen la relación de dispersión, la amplitud de onda a puede elegirse libremente (pero lo suficientemente pequeña como para que la teoría de ondas de Airy sea una aproximación válida).

En la tabla siguiente, se dan varias cantidades y parámetros de flujo según la teoría de ondas de Airy. ^{[ 7 ]} Las cantidades dadas son para una situación un poco más general que la solución dada anteriormente. Primero, las ondas pueden propagarse en una dirección horizontal arbitraria en el plano x = ( x , y ) . El vector de número de onda es k , y es perpendicular a las levas de las crestas de las ondas . Segundo, se tiene en cuenta una velocidad media de flujo U , en la dirección horizontal y uniforme sobre (independiente de) la profundidad z . Esto introduce un desplazamiento Doppler en las relaciones de dispersión. En una ubicación fija en la Tierra, la frecuencia angular observada (o frecuencia angular absoluta ) es ω . Por otro lado, en un sistema de referencia que se mueve con la velocidad media U (por lo que la velocidad media observada desde este sistema de referencia es cero), la frecuencia angular es diferente. Se llama frecuencia angular intrínseca (o frecuencia angular relativa ), denotada por σ . Así que en el movimiento ondulatorio puro, con U = 0 , ambas frecuencias ω y σ son iguales. El número de onda k (y la longitud de onda λ ) son independientes del sistema de referencia y no presentan desplazamiento Doppler (para ondas monocromáticas).

La tabla solo muestra las partes oscilatorias de las magnitudes del flujo (velocidades, desplazamientos de partículas y presión), y no su valor medio ni su deriva. Los desplazamientos oscilatorios de partículas ξ _x y ξ _z son las integrales temporales de las velocidades oscilatorias del flujo u _x y u _z , respectivamente.

La profundidad del agua se clasifica en tres regímenes: ^{[ 8 ]}

• aguas profundas – para una profundidad de agua mayor que la mitad de la longitud de onda , h > ⁠ 1 / 2 ⁠ λ , la velocidad de fase de las olas apenas se ve influenciada por la profundidad (este es el caso de la mayoría de las olas de viento en la superficie del mar y del océano), ^{[ 9 ]}
• aguas poco profundas : para una profundidad de agua menor que el 5% de la longitud de onda, h < 1 / 20 λ , la velocidad de fase de las ondas depende únicamente de la profundidad del agua y ya no es una función del período o la longitud de onda; ^{[ 10 ]} y
• profundidad intermedia – todos los demás casos, ⁠ 1 / 20 ⁠ λ < h < ⁠ 1 / 2 ⁠ λ , donde tanto la profundidad del agua como el período (o longitud de onda) tienen una influencia significativa en la solución de la teoría de ondas de Airy.

En los casos límite de aguas profundas y poco profundas, se pueden realizar aproximaciones simplificadoras a la solución. En cambio, para profundidades intermedias, es necesario utilizar las formulaciones completas.

Consideremos dos fluidos separados por una interfaz, y sin más límites. Entonces su relación de dispersión ω ² = Ω ² ( k ) viene dada por ^{[ 11 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\gamma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

donde ρ y ρ ′ son las densidades de los dos fluidos, por debajo ( ρ ) y por encima ( ρ ′ ) de la interfaz, respectivamente. Además, γ es la tensión superficial en la interfaz.

Para que existan ondas interfaciales, la capa inferior debe ser más densa que la superior, ρ > ρ ′ . De lo contrario, la interfaz es inestable y se desarrolla una inestabilidad de Rayleigh-Taylor .

Para dos capas homogéneas de fluidos, de espesor medio h por debajo de la interfaz y h ′ por encima, bajo la acción de la gravedad y delimitadas arriba y abajo por paredes rígidas horizontales, la relación de dispersión ω ² = Ω ² ( k ) para ondas de gravedad viene dada por: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \coth kh+\rho '\coth kh'}},}$

donde nuevamente ρ y ρ ′ son las densidades debajo y encima de la interfaz, mientras que coth es la función cotangente hiperbólica . Para el caso en que ρ ′ sea cero, esto se reduce a la relación de dispersión de ondas de gravedad superficiales en agua de profundidad finita h .

En este caso, la relación de dispersión permite dos modos: un modo barotrópico , donde la amplitud de la superficie libre es grande en comparación con la amplitud de la onda interfacial, y un modo baroclínico , donde ocurre lo contrario: la onda interfacial es mayor y está en antifase con la onda de la superficie libre. La relación de dispersión para este caso tiene una forma más compleja. ^{[ 17 ]}

En la tabla siguiente se presentan varias propiedades de onda de segundo orden, así como las ecuaciones dinámicas que satisfacen en el caso de condiciones que varían lentamente en el espacio y el tiempo. Más adelante se ofrecen más detalles. La tabla muestra los resultados para la propagación de ondas en una dimensión espacial horizontal. Más adelante en esta sección, se proporcionan descripciones y resultados más detallados para el caso general de propagación en un espacio horizontal bidimensional.

Las últimas cuatro ecuaciones describen la evolución de trenes de ondas que varían lentamente sobre la batimetría en interacción con el flujo medio , y pueden derivarse de un principio variacional: el método lagrangiano promediado de Whitham . ^{[ 19 ]} En la ecuación del momento horizontal medio, d ( x ) es la profundidad del agua en reposo, es decir, el lecho debajo de la capa de fluido se encuentra en z = − d . Nótese que la velocidad del flujo medio en las ecuaciones de masa y momento es la velocidad de transporte de masa Ũ , incluyendo los efectos de la zona de salpicaduras de las ondas sobre el transporte de masa horizontal, y no la velocidad euleriana media (por ejemplo, medida con un medidor de flujo fijo).

La energía de las olas es una magnitud de interés primordial, ya que es una magnitud primaria que se transporta con los trenes de olas. ^{[ 20 ]} Como se puede ver arriba, muchas magnitudes de las olas, como la elevación de la superficie y la velocidad orbital, son de naturaleza oscilatoria con media cero (dentro del marco de la teoría lineal). En las olas de agua, la medida de energía más utilizada es la densidad de energía media de las olas por unidad de área horizontal. Es la suma de la densidad de energía cinética y potencial , integrada sobre la profundidad de la capa de fluido y promediada sobre la fase de la ola. La más sencilla de derivar es la densidad de energía potencial media por unidad de área horizontal E _pot de las olas de gravedad superficiales, que es la desviación de la energía potencial debido a la presencia de las olas: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}}$

La barra superior indica el valor medio (que en el presente caso de ondas periódicas puede tomarse como un promedio temporal o un promedio sobre una longitud de onda en el espacio).

De manera similar, se encuentra que la densidad de energía cinética media por unidad de área horizontal E _kin del movimiento ondulatorio es: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}}$

donde σ es la frecuencia intrínseca, véase la tabla de magnitudes de onda . Utilizando la relación de dispersión, el resultado para las ondas de gravedad superficiales es:

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.}$

Como se puede observar, las densidades medias de energía cinética y potencial son iguales. Esta es una propiedad general de las densidades de energía de ondas lineales progresivas en un sistema conservativo . ^{[ 22 ] [ 23 ]} Sumando las contribuciones potencial y cinética, E _pot y E _kin , la densidad media de energía por unidad de área horizontal E del movimiento ondulatorio es:

${\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}.}$

En caso de que los efectos de tensión superficial no sean despreciables, su contribución también se suma a las densidades de energía potencial y cinética, dando ^{[ 22 ]}

${\displaystyle E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},}$

entonces

${\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},}$

donde γ es la tensión superficial .

En general, puede existir una transferencia de energía entre el movimiento ondulatorio y el movimiento del fluido medio. Esto significa que la densidad de energía de la onda no siempre es una magnitud conservada (despreciando los efectos disipativos ), pero la densidad de energía total —la suma de la densidad de energía por unidad de área del movimiento ondulatorio y del movimiento del flujo medio— sí lo es. Sin embargo, para trenes de ondas de variación lenta, que se propagan en batimetría y campos de flujo medio de variación lenta, existe una magnitud ondulatoria similar y conservada, la acción ondulatoria A = ⁠ E / σ ⁠ : ^{[ 19 ] [ 24 ] [ 25 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,}$

con ( U + c _g ) A el flujo de acción y c _g = c _g e _k el vector de velocidad de grupo . La conservación de la acción constituye la base de muchos modelos de olas de viento y modelos de turbulencia de olas . ^{[ 26 ]} También es la base de los modelos de ingeniería costera para el cálculo del ascenso de olas . ^{[ 27 ]} Expandir la ecuación de conservación de la acción de las olas anterior conduce a la siguiente ecuación de evolución para la densidad de energía de las olas: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,}$

con:

• ( U + c _g ) E es el flujo de densidad de energía de onda media,
• S es el tensor de tensión de radiación y
• ∇ U es el tensor de velocidad de corte de velocidad media .

En esta ecuación en forma no conservativa, el producto interno de Frobenius S  : (∇ U ) es el término fuente que describe el intercambio de energía del movimiento ondulatorio con el flujo medio. Solo en el caso de que la tasa de corte media sea cero, ∇ U = 0 , se conserva la densidad de energía ondulatoria media E. Los dos tensores S y ∇ U están en un sistema de coordenadas cartesianas de la forma: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

donde k _x y k _{y son} las componentes del vector de número de onda k y de manera similar U _x y U _{y son} las componentes del vector de velocidad media U.

El momento horizontal medio por unidad de área M inducido por el movimiento ondulatorio, y también el flujo de masa o transporte de masa inducido por las olas , es: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}}$

que es un resultado exacto para ondas de agua progresivas periódicas, también válido para ondas no lineales. ^{[ 31 ]} Sin embargo, su validez depende en gran medida de cómo se definen el momento de onda y el flujo de masa. Stokes ya identificó dos posibles definiciones de velocidad de fase para ondas no lineales periódicas: ^{[ 6 ]}

• Primera definición de Stokes de celeridad de onda (S1) – con la velocidad media del flujo euleriano igual a cero para todas las elevaciones z ' por debajo de los valles de onda , y
• Segunda definición de Stokes de celeridad de onda (S2): con el transporte de masa medio igual a cero.

La relación anterior entre el momento de la onda M y la densidad de energía de la onda E es válida dentro del marco de la primera definición de Stokes.

Sin embargo, para olas perpendiculares a una línea costera o en un canal de olas de laboratorio cerrado , la segunda definición (S2) es más apropiada. Estos sistemas de olas tienen flujo de masa y momento cero cuando se utiliza la segunda definición. ^{[ 32 ]} En contraste, según la primera definición de Stokes (S1), hay un flujo de masa inducido por la ola en la dirección de propagación de la ola, que debe ser equilibrado por un flujo medio U en la dirección opuesta, llamado resaca .

En general, existen bastantes sutilezas involucradas. Por lo tanto, también se utiliza el término pseudomomento de las ondas en lugar de momento de onda. ^{[ 33 ]}

Al seguir una sola partícula en movimiento ondulatorio puro ( U = 0 ), según la teoría ondulatoria lineal de Airy, una primera aproximación da órbitas elípticas cerradas para partículas de agua. ^{[ 36 ]} Sin embargo, para ondas no lineales, las partículas exhiben una deriva de Stokes para la cual se puede derivar una expresión de segundo orden a partir de los resultados de la teoría ondulatoria de Airy (ver la tabla anterior sobre propiedades ondulatorias de segundo orden ). ^{[ 37 ]} La velocidad de deriva de Stokes ū _S , que es la deriva de la partícula después de un ciclo de onda dividida por el período , se puede estimar utilizando los resultados de la teoría lineal: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}\mathbf {e} _{k},}$

Por lo tanto , varía en función de la elevación. La fórmula dada corresponde a la primera definición de Stokes de la celeridad de la onda. Al integrar ρ ū _S sobre la profundidad, se recupera la expresión para el momento de onda medio M. ^{[ 38 ]}

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