Linealización

En matemáticas , la linealización consiste en encontrar la aproximación lineal de una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es el desarrollo de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos , la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos . ^{[ 1 ]} Este método se utiliza en campos como la ingeniería , la física , la economía y la ecología .

Las linealizaciones de una función son funciones lineales que aproximan la función original. La linealización es un método eficaz para aproximar la salida de una función.${\displaystyle y=f(x)}$en cualquier momento${\displaystyle x=a}$basado en el valor y la pendiente de la función en${\displaystyle x=b}$, suponiendo que${\displaystyle f(x)}$es diferenciable en un intervalo que contiene${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$y eso${\displaystyle a}$está cerca de${\displaystyle b}$.

Para cualquier función dada${\displaystyle y=f(x)}$,${\displaystyle f(x)}$puede aproximarse si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$, dónde${\displaystyle L_{a}(x)}$es la linealización de${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle x=a}$La forma punto-pendiente de una ecuación forma la ecuación de una recta, dado un punto.${\displaystyle (H,K)}$y pendiente${\displaystyle M}$La forma general de esta ecuación es:${\displaystyle yK=M(xH)}$.

Utilizando el punto${\displaystyle (a,f(a))}$,${\displaystyle L_{a}(x)}$se convierte${\displaystyle y=f(a)+M(xa)}$. Debido a que las funciones diferenciables son localmente lineales , la mejor pendiente para sustituir sería la pendiente de la recta tangente a${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle x=a}$.

Si bien el concepto de linealidad local se aplica más a puntos arbitrariamente cercanos a${\displaystyle x=a}$, aquellos relativamente cercanos funcionan relativamente bien para aproximaciones lineales. La pendiente${\displaystyle M}$debería ser, con mayor precisión, la pendiente de la línea tangente en${\displaystyle x=a}$.

Visualmente, el diagrama adjunto muestra la línea tangente de${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle x}$. En${\displaystyle f(x+h)}$, dónde${\displaystyle h}$es cualquier valor pequeño positivo o negativo,${\displaystyle f(x+h)}$es muy cercano al valor de la línea tangente en el punto${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$.

La ecuación final para la linealización de una función en${\displaystyle x=a}$es: $${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(xa))}$$

Para${\displaystyle x=a}$,${\displaystyle f(a)=f(x)}$. El derivado de${\displaystyle f(x)}$es${\displaystyle f'(x)}$y la pendiente de${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle a}$es${\displaystyle f'(a)}$.

La ecuación para la linealización de una función${\displaystyle f(x,y)}$en un punto${\displaystyle p(a,b)}$es:

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(xa)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(yb)}$

La ecuación general para la linealización de una función multivariable${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$en un punto${\displaystyle \mathbf {p} }$es:

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x} }$es el vector de variables,${\displaystyle {\nabla f}}$es el gradiente y${\displaystyle \mathbf {p} }$es el punto de linealización de interés. ^{[ 2 ]}

La linealización permite utilizar herramientas para estudiar sistemas lineales para analizar el comportamiento de una función no lineal cerca de un punto dado. La linealización de una función es el término de primer orden de su expansión de Taylor alrededor del punto de interés. Para un sistema definido por la ecuación

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$,

El sistema linealizado se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$es el punto de interés y${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)}$es el${\displaystyle \mathbf {x} }$- Jacobiano de${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$evaluado en${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$.

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