Campo vinculado

En matemáticas, un cuerpo vinculado es un cuerpo para el cual las formas cuadráticas asociadas a las álgebras de cuaterniones tienen una propiedad común.

Sea F un cuerpo de característica distinta de 2. Sean A = ( a₁ _, a₂ ) y B = ( b₁ , _{b₂ )} álgebras de cuaterniones sobre _F. Las álgebras A y B son álgebras de cuaterniones vinculadas sobre F si existe x en F tal que A es equivalente a ( x , y ) y B es equivalente a ( x , z ). ^{[ 1 ] : 69}

La forma de Albert para A y B es

${\displaystyle q=\left\langle {-a_{1},-a_{2},a_{1}a_{2},b_{1},b_{2},-b_{1}b_{2}}\right\rangle \ .}$

Puede considerarse como la diferencia en el anillo de Witt ^de las formas ternarias asociadas a los subespacios imaginarios de A y B. ^{[ 2} ] Las álgebras de cuaterniones están vinculadas si y solo si la forma de Albert es isotrópica . ^{[ 1 ] : 70}

El cuerpo F está vinculado si cualesquiera dos álgebras de cuaterniones sobre F están vinculadas. ^{[ 1 ] : 370} Todo cuerpo global y local está vinculado puesto que todas las formas cuadráticas de grado 6 sobre tales cuerpos son isotrópicas.

Las siguientes propiedades de F son equivalentes: ^{[ 1 ] : 342}

• F está vinculado.
• Cualquier par de álgebras de cuaterniones sobre F están vinculadas.
• Cada forma de Albert (forma de dimensión seis del discriminante −1) es isotrópica.
• Las álgebras de cuaterniones forman un subgrupo del grupo de Brauer de F.
• Cada forma de dimensión cinco sobre F es un vecino de Pfister .
• Ningún álgebra de bicuaterniones sobre F es un álgebra de división .

Un cuerpo enlazado no real tiene u-invariante igual a 1, 2, 4 u 8. ^{[ 1 ] : 406}

• Gentile, Enzo R. (1989). «Sobre campos vinculados» (PDF) . Revista de la Unión Matemática Argentina . 35 : 67–81 . ISSN 0041-6932 . Zbl 0823.11010 .