Número de enlace

En matemáticas , el número de enlace es un invariante numérico que describe la unión de dos curvas cerradas en el espacio tridimensional . Intuitivamente, el número de enlace representa la cantidad de veces que cada curva se enrolla alrededor de la otra. En el espacio euclidiano , el número de enlace siempre es un número entero , pero puede ser positivo o negativo dependiendo de la orientación de las dos curvas (esto no se cumple para las curvas en la mayoría de las 3-variedades , donde los números de enlace también pueden ser fracciones o simplemente no existir).

El número de enlace fue introducido por Gauss en forma de integral de enlace . Es un objeto de estudio importante en la teoría de nudos , la topología algebraica y la geometría diferencial , y tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y ciencias , incluyendo la mecánica cuántica , el electromagnetismo y el estudio del superenrollamiento del ADN .

Dos curvas cerradas cualesquiera en el espacio, si se les permite atravesarse entre sí pero no entre sí, pueden moverse a exactamente una de las siguientes posiciones estándar. Esto determina el número de enlace:

Cada curva puede atravesarse a sí misma durante este movimiento, pero ambas deben permanecer separadas en todo momento. Esto se formaliza como homotopía regular , que además exige que cada curva sea una inmersión , no cualquier aplicación. Sin embargo, esta condición adicional no altera la definición de número de enlace (da igual si las curvas deben ser siempre inmersiones o no), lo cual es un ejemplo de principio h ( principio de homotopía), lo que significa que la geometría se reduce a la topología.

Existe un algoritmo para calcular el número de enlace de dos curvas a partir de un diagrama de enlace . Etiquete cada cruce como positivo o negativo , según la siguiente regla: ^{[ 1 ]}

El número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos es igual al doble del número de enlace. Es decir:

${\displaystyle {\text{número de enlace}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

donde n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ representan el número de cruces de cada uno de los cuatro tipos. Las dos sumas${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$y${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$son siempre iguales, ^{[ 2 ]} lo que lleva a la siguiente fórmula alternativa

${\displaystyle {\text{número de enlace}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

La fórmula${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$implica únicamente los cruces inferiores de la curva azul por la roja, mientras que${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$Incluye únicamente los cruces.

• Dos curvas no vinculadas cualesquiera tienen un número de enlace cero. Sin embargo, dos curvas con número de enlace cero aún pueden estar vinculadas (por ejemplo, el enlace de Whitehead ).
• Invertir la orientación de cualquiera de las curvas anula el número de enlace, mientras que invertir la orientación de ambas curvas lo deja sin cambios.
• El número de enlace es quiral : tomar la imagen especular del enlace niega el número de enlace. La convención para el número de enlace positivo se basa en una regla de la mano derecha .
• El número de vueltas de una curva orientada en el plano x - y es igual a su número de enlace con el eje z (considerando el eje z como una curva cerrada en la 3-esfera ).
• En términos más generales, si alguna de las curvas es simple , entonces el primer grupo de homología de su complemento es isomorfo a Z. En este caso, el número de enlace viene determinado por la clase de homología de la otra curva.
• En física , el número de enlace es un ejemplo de número cuántico topológico .

Dadas dos curvas diferenciables que no se intersecan${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$, definir el mapa de Gauss${\displaystyle \Gamma }$del toroide a la esfera por

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

Elija un punto en la esfera unitaria, v , de modo que la proyección ortogonal del enlace sobre el plano perpendicular a v dé un diagrama de enlace. Observe que un punto ( s , t ) que va a v bajo el mapa de Gauss corresponde a un cruce en el diagrama de enlace donde${\displaystyle \gamma _{1}}$Se acabó${\displaystyle \gamma _{2}}$Además, un entorno de ( s , t ) se mapea bajo el mapa de Gauss a un entorno de v que conserva o invierte la orientación según el signo del cruce. Por lo tanto, para calcular el número de enlace del diagrama correspondiente a v, basta con contar el número con signo de veces que el mapa de Gauss cubre v . Dado que v es un valor regular , este es precisamente el grado del mapa de Gauss (es decir, el número con signo de veces que la imagen de Γ cubre la esfera). La invariancia isotópica del número de enlace se obtiene automáticamente, ya que el grado es invariante bajo mapas homotópicos. Cualquier otro valor regular daría el mismo número, por lo que el número de enlace no depende de ningún diagrama de enlace en particular.

Esta formulación del número de enlace de γ ₁ y γ ₂ permite una fórmula explícita como una integral de línea doble , la integral de enlace de Gauss :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det \left({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right)}{\left|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

Esta integral calcula el área total con signo de la imagen del mapa de Gauss (el integrando es el jacobiano de Γ) y luego la divide por el área de la esfera (que es 4 π ).

En la teoría cuántica de campos , la definición integral de Gauss surge al calcular el valor esperado del observable de bucle de Wilson en${\displaystyle U(1)}$Teoría de gauge de Chern-Simons . Explícitamente, la acción abeliana de Chern-Simons para una forma única de potencial de gauge.${\displaystyle A}$en un colector de tres${\displaystyle M}$es dado por

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

Estamos interesados ​​en realizar la integral de trayectoria de Feynman para Chern-Simons en${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

Aquí,${\displaystyle \epsilon }$es el símbolo antisimétrico. Dado que la teoría es simplemente gaussiana, no se necesita regularización ultravioleta ni renormalización . Por lo tanto, la invariancia topológica del lado derecho garantiza que el resultado de la integral de trayectoria será un invariante topológico. Lo único que queda por hacer es proporcionar un factor de normalización global, y se presentará una elección natural. Dado que la teoría es gaussiana y abeliana, la integral de trayectoria se puede hacer simplemente resolviendo la teoría clásicamente y sustituyendo por${\displaystyle A}$.

Las ecuaciones clásicas del movimiento son

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

Aquí, hemos acoplado el campo de Chern-Simons a una fuente con un término${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$en el lagrangiano. Obviamente, sustituyendo el apropiado${\displaystyle J}$Podemos recuperar los bucles de Wilson. Dado que estamos en 3 dimensiones, podemos reescribir las ecuaciones de movimiento en una notación más familiar:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

Tomando la curvatura de ambos lados y eligiendo el calibre Lorenz${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$, las ecuaciones se convierten en

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

Desde la electrostática, la solución es

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

La integral de trayectoria para arbitraria${\displaystyle J}$Ahora es fácil hacerlo sustituyendo esto en la acción de Chern-Simons para obtener una acción efectiva para el${\displaystyle J}$campo. Para obtener la integral de trayectoria para los bucles de Wilson, sustituimos por una fuente que describe dos partículas que se mueven en bucles cerrados, es decir${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$, con

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

Dado que la acción efectiva es cuadrática en${\displaystyle J}$Es evidente que habrá términos que describan la autointeracción de las partículas, y estos no son de interés ya que estarían presentes incluso en presencia de un solo bucle. Por lo tanto, normalizamos la integral de trayectoria por un factor que cancela precisamente estos términos. Siguiendo el procedimiento algebraico, obtenemos

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {\left({\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)},}$

dónde

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

que es simplemente la integral de enlace de Gauss. Este es el ejemplo más simple de una teoría cuántica de campos topológica , donde la integral de trayectoria calcula invariantes topológicos. Esto también sirvió como indicio de que la variante no abeliana de la teoría de Chern-Simons calcula otros invariantes de nudos, y Edward Witten demostró explícitamente que la teoría no abeliana proporciona el invariante conocido como polinomio de Jones. ^{[ 3 ]}

La teoría de gauge de Chern-Simons reside en 3 dimensiones espaciotemporales. De manera más general, existen teorías cuánticas de campos topológicas de dimensiones superiores. Existen estadísticas de bucles múltiples/entrelazamiento de cuerdas más complejas de teorías de gauge de 4 dimensiones capturadas por los invariantes de enlace de teorías cuánticas de campos topológicas exóticas en 4 dimensiones espaciotemporales. ^{[ 4 ]}

• Así como las curvas cerradas pueden vincularse en tres dimensiones, cualesquiera dos variedades cerradas de dimensiones m y n pueden vincularse en un espacio euclidiano de dimensión${\displaystyle m+n+1}$. Cualquier enlace de este tipo tiene un mapa de Gauss asociado, cuyo grado es una generalización del número de enlace.
• Cualquier nudo enmarcado tiene un número de autoenlace que se obtiene calculando el número de enlace del nudo C con una nueva curva obtenida al desplazar ligeramente los puntos de C a lo largo de los vectores de enmarcado. El número de autoenlace que se obtiene al desplazarse verticalmente (a lo largo del marco del tablero) se conoce como el número de autoenlace de Kauffman .
• El número de enlace se define para dos círculos enlazados; dados tres o más círculos, se pueden definir los invariantes de Milnor , que son un invariante numérico que generaliza el número de enlace.
• En topología algebraica , el producto de copa es una generalización algebraica de gran alcance del número de enlace, siendo los productos de Massey los análogos algebraicos de los invariantes de Milnor .
• Una incrustación sin enlaces de un grafo no dirigido es una incrustación en el espacio tridimensional tal que cada par de ciclos tiene un número de enlace cero. Los grafos que tienen una incrustación sin enlaces tienen una caracterización de menor prohibida como los grafos sin menor de la familia de Petersen .

• Curva diferenciable : estudio de curvas desde un punto de vista diferencial. 
• Invariante de Hopf : Invariante de homotopía de las aplicaciones entre n-esferas. 
• Número de besos – Concepto geométrico 
• Torsión – Invariante de un diagrama de nudos 

• AV Chernavskii (2001) [1994], "Coeficiente de enlace" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AV Chernavskii (2001) [1994], "Número retorcido" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press