curva de Lissajous

Una curva de Lissajous / ˈ l ɪ s ə ʒ uː / , también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch / ˈ b aʊ d ɪ tʃ / , es la gráfica de un sistema de ecuaciones paramétricas.

x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),

que describen la superposición de dos oscilaciones perpendiculares en las direcciones x e y de diferente frecuencia angular ( a y b).

La familia de curvas resultante fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815, y posteriormente con mayor detalle en 1857 por Jules Antoine Lissajous (de quien recibe su nombre). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Estos movimientos pueden considerarse como un tipo particular de movimiento armónico complejo .

La apariencia de la figura es sensible a la relación $⁠ a / b ⁠$ . Para una relación de 1, cuando las frecuencias coinciden a=b, la figura es una elipse , con casos especiales que incluyen círculos ( $A = B$ , $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ ) y líneas (el desplazamiento de fase debe ser cualquier múltiplo de ⁠ $\pi$ radianes : $\delta =n\pi \ (n\in \mathbb {N} )$ ⁠ ). Un pequeño cambio en una de las frecuencias hará que la oscilación x después de un ciclo esté ligeramente desincronizada con el movimiento y, por lo que la elipse no se cerrará y trazará una curva ligeramente adyacente durante la siguiente órbita, mostrando una precesión de la elipse. El patrón se cierra si las frecuencias son razones de números enteros, es decir $, ⁠$ $a$ $/$ $b$ $⁠$ es racional .

Otra figura de Lissajous simple es la parábola ( $b$ $/$ $a$ $=$ $2$ , $δ$ $=$ $π$ $/$ $4$ $) . Nuevamente, un pequeño desplazamiento de una frecuencia respecto a la relación 2 hará que la traza no se cierre$ $, sino$ $que$ realice múltiples bucles sucesivamente desplazados, cerrándose solo si la relación es racional, como antes. Puede formarse un patrón denso complejo (véase más abajo).

La forma visual de dichas curvas suele sugerir un nudo tridimensional , y de hecho, muchos tipos de nudos, incluidos los conocidos como nudos de Lissajous , se proyectan en el plano como figuras de Lissajous.

Visualmente, la razón a/b determina el número de lóbulos de la figura. Por ejemplo, una razón de 3/1 o 1/3 produce una $figura$ $con$ $tres$ $lóbulos$ $principales$ ( ver imagen ) . De manera similar, una razón de 5/4 produce una figura con cinco lóbulos horizontales y cuatro verticales. Las razones racionales producen figuras cerradas (conectadas) o estáticas, mientras que las razones irracionales producen figuras que parecen girar. La razón A / B determina la relación $de$ $anchura$ $a$ altura de la curva. Por ejemplo, una razón de 2/1 $produce$ una figura que es el doble de ancha que de alta. Finalmente, el valor de $δ determina el$ ángulo $de rotación aparente de$ la figura, vista como si fuera una curva tridimensional. Por ejemplo, $δ$ $= 0$ produce componentes $x$ e $y$ que están exactamente en fase, por lo que la figura resultante aparece como una figura tridimensional aparente vista de frente (0°). En cambio, cualquier $δ$ distinto de cero produce una figura que parece estar rotada, ya sea de izquierda a derecha o de arriba abajo (dependiendo de la $relación$ $a$ $/$ $b$ $)$ .

Un círculo es una curva de Lissajous simple.

Figuras de Lissajous donde $a = 1$ , $b = N$ ( $N$ es un número natural ) y

\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}

son polinomios de Chebyshev de primera especie de grado $N.$ Esta propiedad se aprovecha para producir un conjunto de puntos, llamados puntos de Padua , en los cuales se puede muestrear una función para calcular una interpolación bivariada o una cuadratura de la función sobre el dominio $[-1,1] \times [-1,1]$ .

La relación entre algunas curvas de Lissajous y los polinomios de Chebyshev se comprende mejor si la curva de Lissajous que genera cada una de ellas se expresa utilizando funciones coseno en lugar de funciones seno.

x=\cos(t),\quad y=\cos(Nt)

Ejemplos

$Animación que muestra la adaptación$ de la curva a medida que la relación $a$ $/$ $b$ aumenta de 0 a 1 $.$

La animación muestra la adaptación de la curva con una fracción $⁠$ $a$ $/$ $b$ $⁠$ que aumenta continuamente de 0 a 1 en pasos de 0,01 ( $δ$ $= 0$ ).

A continuación se muestran ejemplos de figuras de Lissajous con un número natural impar $a$ , un número natural par $b$ y $| a - b | = 1$ .

$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $a = 1$ , $b = 2$ (1:2)
$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $a = 3$ , $b = 2$ (3:2)
$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $a = 3$ , $b = 4$ (3:4)
$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $a = 5$ , $b = 4$ (5:4)
Figuras de Lissajous: diversas relaciones de frecuencia y diferencias de fase. Se calcularon curvas de Lissajous estéticamente interesantes con una suma finita de las primeras 100, 1000 y 5000 frecuencias de números primos.

Generación

Antes de la llegada de los equipos electrónicos modernos, las curvas de Lissajous se podían generar mecánicamente mediante un armonógrafo .

Acústica

John Tyndall produjo curvas de Lissajous acoplando un pequeño espejo a un diapasón e iluminando el espejo con una luz brillante. Esto produjo un punto brillante que oscilaba verticalmente. Luego, aplicó un espejo giratorio para reflejar el punto, produciendo una curva extendida. Utilizó esta técnica como un osciloscopio analógico para observar y cuantificar los patrones de oscilación de un diapasón. Posteriormente, Helmholtz produjo una curva de Lissajous de la siguiente manera: construyó un "microscopio de oscilación" acoplando una lente de microscopio a un diapasón, de modo que oscilara en una dirección. Colocó un punto brillante de pintura en una cuerda de violín. Luego, observó el punto a través del microscopio mientras la cuerda vibraba en la dirección opuesta, y vio una curva de Lissajous. Esto se conoce como el "movimiento de Helmholtz". ^{[ 4 ]}

Aplicación práctica

También se pueden generar curvas de Lissajous utilizando un osciloscopio (como se muestra en la ilustración). Un circuito pulpo permite visualizar las formas de onda en un osciloscopio. Se aplican dos señales sinusoidales desfasadas al osciloscopio en modo XY, y la relación de fase entre ellas se representa como una figura de Lissajous.

En el ámbito del audio profesional, este método se utiliza para el análisis en tiempo real de la relación de fase entre los canales izquierdo y derecho de una señal de audio estéreo. En las consolas de mezcla de audio más grandes y sofisticadas, puede que se incorpore un osciloscopio para este fin.

En un osciloscopio, suponemos que $x$ es CH1 e $y$ es CH2, $A$ es la amplitud de CH1 y $B$ es la amplitud de CH2, $a$ es la frecuencia de CH1 y $b$ es la frecuencia de CH2, por lo que $a$ $/$ $b$ $es$ la relación de frecuencias de los dos canales, y $δ$ es el desplazamiento de fase de CH1 $.$

Una aplicación puramente mecánica de una curva de Lissajous con $a = 1$ y $b = 2$ se encuentra en el mecanismo de accionamiento de las lámparas de haz oscilante tipo Mars Light, populares en los ferrocarriles a mediados del siglo XX. En algunas versiones, el haz dibuja un patrón asimétrico en forma de ocho sobre su eje.

Aplicación para el caso de a = b

En esta figura, las frecuencias y amplitudes de las dos señales representadas son idénticas, pero la diferencia de fase entre ellas crea la forma de una elipse .

Cuando la entrada a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es sinusoidal, la salida es sinusoidal con la misma frecuencia, pero puede tener una amplitud diferente y algún desplazamiento de fase . Usando un osciloscopio que puede graficar una señal contra otra (en lugar de una señal contra el tiempo) para graficar la salida de un sistema LTI contra la entrada al sistema LTI produce una elipse que es una figura de Lissajous para el caso especial de $a = b$ .

La figura siguiente resume cómo cambia la figura de Lissajous en diferentes desfases para el caso especial en que la amplitud de salida es igual a la amplitud de entrada. Los desfases se representan como cantidades negativas ^{[ b ]} para que puedan asociarse con longitudes de retardo positivas (es decir, físicas) (donde la ${\textstyle {\text{longitud de retardo }}=-{\frac {c}{f}}\cdot {\frac {\text{desplazamiento de fase}}{360^{\circ }}}}$ , ${\textstyle c}$ es la velocidad de la luz y ${\textstyle f}$ es la frecuencia de la señal sinusoidal de entrada, que es la misma que los símbolos a y b que definen las curvas de Lissajous). Las flechas muestran la dirección de rotación de la figura de Lissajous.

Si el desfase es de 0° o -180°, la curva de Lissajous resultante es una línea cuya pendiente se define como la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada. ^{[ c ]} Si el desfase es de -90° o -270° y la amplitud de salida es igual a la amplitud de entrada, la curva de Lissajous resultante es un círculo perfecto.

En ingeniería

Una curva de Lissajous se utiliza en pruebas experimentales para determinar si un dispositivo puede clasificarse correctamente como un memristor . También se utiliza para comparar dos señales eléctricas diferentes: una señal de referencia conocida y una señal que se va a probar. ^[⁵^]^[⁶^]

En la cultura popular

En las películas

Animación de Lissajous

Las figuras de Lissajous a veces se mostraban en osciloscopios diseñados para simular equipos de alta tecnología en programas de televisión y películas de ciencia ficción en las décadas de 1960 y 1970. ^{[ 7 ]}
La secuencia de títulos de John Whitney para la película Vértigo de Alfred Hitchcock de 1958 está basada en figuras de Lissajous. ^[⁸^]

Logotipos de empresas

Las figuras de Lissajous se utilizan a veces en diseño gráfico como logotipos . Algunos ejemplos de uso no trivial (es decir, $a \neq 0$ , $b \neq 0$ y $a \neq b$ ) de curvas de Lissajous en logotipos incluyen:

La Corporación Australiana de Radiodifusión ( $a = 1$ , $b = 3$ , $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ ) ^{[ 9 ]}
El Laboratorio Lincoln ^del MIT ( a $= 3$ , $b$ $=$ $4$ , $δ = π / 2)$ ^[¹⁰ ]
El club al aire libre Else en Berlín ( $a = 3$ , $b = 2$ , $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ )
La Universidad de Electrocomunicaciones , Japón ( $a = 5$ , $b = 6$ , $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ ).
La aplicación de vídeo en streaming Movies Anywhere de Disney utiliza una versión estilizada de la curva.
El cambio de marca de Facebook a Meta Platforms también es una curva de Lissajous, que evoca la forma de una letra M mayúscula ( $a = 1$ , $b = -2$ , $δ = ⁠ π / 20 ⁠$ ).
Home State Brewing co. Usado como su logotipo y que significa un momento único así como el paso del tiempo: Ichi-go ichi-e ^{[ 11 ]}

En el arte moderno

El artista dadaísta Max Ernst pintó figuras de Lissajous directamente balanceando un cubo de pintura perforado sobre un lienzo. ^{[ 12 ]}

En la educación musical

Las curvas de Lissajous se han utilizado tradicionalmente para representar gráficamente los intervalos musicales mediante el armonógrafo ^{[ 13 ]} , un dispositivo compuesto por péndulos que oscilan a diferentes frecuencias. Dado que los distintos sistemas de afinación emplean diferentes frecuencias para definir los intervalos, estos pueden compararse mediante curvas de Lissajous para observar sus diferencias ^{[ 14 ]} . Por consiguiente, las curvas de Lissajous tienen aplicaciones en la educación musical al representar gráficamente las diferencias entre intervalos y entre sistemas de afinación.

Véase también

Notas

↑ La razón por la que no es una curva de Lissajous exacta es que la fricción amortigua el movimiento del péndulo.
↑ Por ejemplo, en lugar de representar el desfase como +90°, se representa como −270°.
↑ Suponiendo que el eje vertical de la pantalla tiene la misma escala que la escala utilizada para el eje horizontal.

Referencias

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↑ Cundy, H.; Rollett, AP (1989). Modelos matemáticos . Tarquin Pub. págs. 242–244 . ISBN 978-0906212202.
↑ Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Penguin. p. 142. ISBN 978-0140118131.
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Enlaces externos

Curva de Lissajous en Mathworld

Demostraciones interactivas

Applets Java 3D que representan la construcción de curvas de Lissajous en un osciloscopio:
- Tutorial del NHMFL
- Subprograma de física de Chiu-king Ng
Simulación detallada de figuras de Lissajous. Dibujo de figuras de Lissajous con controles deslizantes interactivos en JavaScript.
Curvas de Lissajous: Simulación interactiva de representaciones gráficas de intervalos musicales y cuerdas vibrantes.
Generador interactivo de curvas de Lissajous : applet de JavaScript que utiliza JSXGraph
Figuras animadas de Lissajous
Demostración de figuras de Lissajous con controles deslizantes interactivos de Wolfram Mathematica.

[1] La razón por la que no es una curva de Lissajous exacta es que la fricción amortigua el movimiento del péndulo.

[6] Por ejemplo, en lugar de representar el desfase como +90°, se representa como −270°.

[7] Suponiendo que el eje vertical de la pantalla tiene la misma escala que la escala utilizada para el eje horizontal.

[2] Lawrence, JD (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Dover Publication. págs. 178–179 y 181–183, 1972. ISBN 978-0486602882.

[3] Cundy, H.; Rollett, AP (1989). Modelos matemáticos . Tarquin Pub. págs. 242–244 . ISBN 978-0906212202.

[4] Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Penguin. p. 142. ISBN 978-0140118131.

[5] Rossing, Thomas (2007), "Una breve historia de la acústica" , Springer Handbook of Acoustics , Springer, Nueva York, NY, pp. 9–24 , Bibcode : 2007shac.book....9R , doi : 10.1007/978-0-387-30425-0_2 , ISBN 978-0-387-30425-0

[8] Palmer, Kenneth; Ridgway, Tim; Al-Rawi, Omar; et al. (septiembre de 2011). "Figuras de Lissajous: una herramienta de ingeniería para el análisis de la causa raíz de casos individuales: un concepto preliminar" . The Journal of Extra-corporeal Technology . 43 (3): 153– 156. doi : 10.1051/ject/201143153 . ISSN 0022-1058 . PMC 4679975. PMID 22164454 .

[9] "Curvas de Lissajou" . datagenetics.com . Consultado el 10 de julio de 2020 .

[Information1987-10] "Muy lejos de las cifras de Lissajous" . New Scientist . Reed Business Information: 77. 24 de septiembre de 1987. ISSN 0262-4079 .

[11] McCormack, Tom (9 de mayo de 2013). "¿Introdujo 'Vértigo' los gráficos por computadora en el cine?" . rhizome.org . Consultado el 18 de diciembre de 2020 .

[12] "El ABC de las figuras de Lissajous" . El Holodek . Australian Broadcasting Corporation. 1998.

[13] "Logotipo del Laboratorio Lincoln" . Laboratorio Lincoln . Instituto Tecnológico de Massachusetts . 2008. Consultado el 12 de abril de 2008 .

[14] "Sobre nosotros" . Home State Brewing Co. Florida. 2024.

[15] King, M. (2002). "De Max Ernst a Ernst Mach: epistemología en el arte y la ciencia" (PDF) . Recuperado el 17 de septiembre de 2015 .

[16] Whitty, H. Irwine (1893). El armónico . Norwich, Yarmouth y Londres: Jarrold & Sons Printers.

[17] Sierra, CA (2023). "Recurrencia en curvas de Lissajous y la representación visual de sistemas de afinación" . Foundations of Science . 30 (2): 271– 279. doi : 10.1007/s10699-023-09930-z .

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