Nudo de Lissajous

En teoría de nudos , un nudo de Lissajous es un nudo definido por ecuaciones paramétricas de la forma

${\displaystyle x=\cos(n_{x}t+\phi _{x}),\qquad y=\cos(n_{y}t+\phi _{y}),\qquad z=\cos(n_{z}t+\phi _{z}),}$

dónde${\displaystyle n_{x}}$,${\displaystyle n_{y}}$, y${\displaystyle n_{z}}$son números enteros y los desfases${\displaystyle \phi _{x}}$,${\displaystyle \phi _{y}}$, y${\displaystyle \phi _{z}}$pueden ser cualquier número real . ^{[ 1 ]}

La proyección de un nudo de Lissajous sobre cualquiera de los tres planos de coordenadas es una curva de Lissajous , y muchas de las propiedades de estos nudos están estrechamente relacionadas con las propiedades de las curvas de Lissajous.

Sustituir la función coseno en la parametrización por una onda triangular transforma cada nudo de Lissajous isotópicamente en una curva de billar dentro de un cubo, el caso más simple de los llamados nudos de billar . Los nudos de billar también pueden estudiarse en otros dominios, por ejemplo en un cilindro ^{[ 2 ]} o en un toro sólido (plano) ( nudo de Lissajous-tórico ).

Debido a que un nudo no puede autointersecarse, los tres números enteros${\ Displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$debe ser primo relativo por pares , y ninguna de las cantidades

${\displaystyle n_{x}\phi _{y}-n_{y}\phi _{x},\quad n_{y}\phi _{z}-n_{z}\phi _{y},\quad n_{z}\phi _{x}-n_{x}\phi _{z}}$

puede ser un múltiplo entero de pi . Además, al hacer una sustitución de la forma${\displaystyle t'=t+c}$, se puede suponer que cualquiera de los tres cambios de fase${\displaystyle \phi _{x}}$,${\displaystyle \phi _{y}}$,${\displaystyle \phi _{z}}$es igual a cero.

Aquí hay algunos ejemplos de nudos de Lissajous, ^{[ 3 ]} todos los cuales tienen${\displaystyle \phi _{z}=0}$:

• 
  Nudo de tres vueltas${\ Displaystyle (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (3,2,7)}$${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,0.2)}$
• 
  Nudo de estibador${\ Displaystyle (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (3,2,5)}$${\displaystyle (\phi _ {x},\phi _ {y})=(1.5,0.2)}$
• 
  Nudo cuadrado${\ Displaystyle (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (3,5,7)}$${\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,1.0)}$
• 
  8 ₂₁ nudos ${\ Displaystyle (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (3,4,7)}$${\displaystyle (\phi _ {x},\phi _ {y})=(0.1,0.7)}$

Hay infinitos nudos de Lissajous diferentes, ^{[ 4 ]} y otros ejemplos con 10 o menos cruces incluyen el nudo 7 ₄ , el nudo 8 ₁₅ , el nudo 10 ₁ , el nudo 10 ₃₅ , el nudo 10 ₅₈ y el nudo compuesto 5 ₂ ^*  #  5 ₂ , ^{[ 1 ]} así como el nudo 9 ₁₆ , el nudo 10 ₇₆ , el nudo 10 ₉₉ , el nudo 10 ₁₂₂ , el nudo 10 ₁₄₄ , el nudo granny y el nudo compuesto 5 ₂  #  5 ₂ . ^{[ 5 ]} Además, se sabe que todo nudo de torsión con invariante Arf cero es un nudo de Lissajous. ^{[ 6 ]}

Los nudos de Lissajous son altamente simétricos, aunque el tipo de simetría depende de si los números son iguales o no.${\displaystyle n_{x}}$,${\displaystyle n_{y}}$, y${\displaystyle n_{z}}$son todos extraños.

Consecuencias

La simetría de un nudo de Lissajous impone severas restricciones al polinomio de Alexander . En el caso impar, el polinomio de Alexander del nudo de Lissajous debe ser un cuadrado perfecto . ^{[ 9 ]} En el caso par, el polinomio de Alexander debe ser un cuadrado perfecto módulo 2. ^{[ 10 ]} Además, el invariante de Arf de un nudo de Lissajous debe ser cero. De ello se deduce que:

• El nudo de trébol y el nudo de ocho no son nudos de Lissajous.
• Ningún nudo toroidal puede ser de Lissajous.
• Ningún nudo de dos puentes con fibras puede ser un nudo de Lissajous.