Topología de baja dimensión

El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conexa es homeomorfa a algún miembro de una de estas tres familias:

1. la esfera;
2. la suma conectada de g tori , para${\displaystyle g\geq 1}$;
3. la suma conexa de k planos proyectivos reales , para${\displaystyle k\geq 1}$.

Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conexa de 0 toros. El número g de toros involucrados se llama género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conexa de g toros es 2 − 2 g .

Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, y en general la característica de Euler de la suma conexa de k de ellas es 2 − k .

En matemáticas , el espacio de Teichmüller T _X de una superficie topológica (real) X es un espacio que parametriza estructuras complejas en X salvo la acción de homeomorfismos isotópicos al homeomorfismo identidad . Cada punto en T _X puede considerarse como una clase de isomorfismo de superficies de Riemann «marcadas» , donde una «marca» es una clase de isotopía de homeomorfismos de X a X. El espacio de Teichmüller es el orbifold de recubrimiento universal del espacio de módulos (de Riemann).

El espacio de Teichmüller posee una estructura de variedad compleja canónica y una gran cantidad de métricas naturales. El espacio topológico subyacente del espacio de Teichmüller fue estudiado por Fricke, y la métrica de Teichmüller sobre él fue introducida por Oswald Teichmüller ( 1940 ) . ^{[ 1 ]} 

En matemáticas , el teorema de uniformización establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a uno de los tres dominios: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . En particular, admite una métrica riemanniana de curvatura constante . Esto clasifica las superficies riemannianas como elípticas (de curvatura positiva, o mejor dicho, que admiten una métrica de curvatura positiva constante), parabólicas (planas) e hiperbólicas (de curvatura negativa) según su recubrimiento universal .

El teorema de uniformización es una generalización del teorema de mapeo de Riemann, que va desde subconjuntos abiertos simplemente conexos propios del plano a superficies de Riemann simplemente conexas arbitrarias.

La teoría de nudos estudia los nudos matemáticos . Si bien se inspira en los nudos cotidianos presentes en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo matemático se diferencia en que sus extremos están unidos de forma irreversible. En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional R³ ⁽ dado que utilizamos la topología, un círculo no se limita al concepto geométrico clásico, sino a todos sus homeomorfismos ). Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de R³ sobre ^sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla ni pasarla a través de sí misma.

Los complementos de nudos son variedades tridimensionales frecuentemente estudiadas. El complemento de un nudo manso K es el espacio tridimensional que rodea al nudo. Para precisar esto, supongamos que K es un nudo en una variedad tridimensional M (generalmente, M es la 3-esfera ). Sea N un entorno tubular de K ; entonces N es un toro sólido . El complemento del nudo es entonces el complemento de N.

${\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).}$

Un tema relacionado es la teoría de trenzas . La teoría de trenzas es una teoría geométrica abstracta que estudia el concepto cotidiano de trenza y algunas generalizaciones. La idea es que las trenzas se pueden organizar en grupos , en los que la operación de grupo es "hacer la primera trenza en un conjunto de cuerdas y luego seguirla con una segunda en las cuerdas retorcidas". Dichos grupos se pueden describir mediante presentaciones explícitas , como demostró Emil Artin ( 1947 ) . ^{[ 2 ]} Para un tratamiento elemental en esta línea, véase el artículo sobre grupos de trenzas . Los grupos de trenzas también pueden recibir una interpretación matemática más profunda: como el grupo fundamental de ciertos espacios de configuración . 

Una 3-variedad hiperbólica es una 3-variedad dotada de una métrica riemanniana completa de curvatura seccional constante -1. En otras palabras, es el cociente del espacio hiperbólico tridimensional por un subgrupo de isometrías hiperbólicas que actúan de forma libre y propiamente discontinua . Véase también modelo kleiniano .

Su descomposición en capas gruesas y delgadas presenta una parte delgada compuesta por vecindades tubulares de geodésicas cerradas y/o extremos que son el producto de una superficie euclidiana y un semirrecta cerrado. La variedad tiene volumen finito si y solo si su parte gruesa es compacta. En este caso, los extremos tienen la forma de un toro que cruza el semirrecta cerrado y se denominan cúspides . Los complementos de nudos son las variedades con cúspides más estudiadas.

La conjetura de geometrización de Thurston afirma que ciertos espacios topológicos tridimensionales poseen una estructura geométrica única que puede asociarse a ellos. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a toda superficie de Riemann simplemente conexa se le puede asignar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización afirma que toda 3-variedad cerrada puede descomponerse de forma canónica en partes, cada una con uno de ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston ( 1982 ) e implica otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston . ^{[ 3 ]} 

Una R ⁴ exótica es una variedad diferenciable que es homeomorfa pero no difeomorfa al espacio euclidiano R ⁴ . Los primeros ejemplos fueron encontrados a principios de la década de 1980 por Michael Freedman , utilizando el contraste entre los teoremas de Freedman sobre variedades topológicas de 4 dimensiones y los teoremas de Simon Donaldson sobre variedades diferenciables de 4 dimensiones. ^{[ 4 ]} Existe un continuo de estructuras diferenciables no difeomorfas de R ⁴ , como demostró por primera vez Clifford Taubes . ^{[ 5 ]}

Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras suaves no difeomorfas en esferas —esferas exóticas— , aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera permanecía abierta (y aún permanece abierta hasta el día de hoy). Para cualquier entero positivo n distinto de 4, no existen estructuras suaves exóticas en R ⁿ ; en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad suave homeomorfa a R ⁿ es difeomorfa a R ⁿ . ^{[ 6 ]}

Existen varios teoremas fundamentales sobre variedades que pueden demostrarse mediante métodos de baja dimensión en dimensiones de hasta 3, y mediante métodos de alta dimensión completamente diferentes en dimensiones de al menos 5, pero que resultan falsos en cuatro dimensiones. He aquí algunos ejemplos:

• En dimensiones distintas de 4, el invariante de Kirby-Siebenmann impide la existencia de una estructura PL; en otras palabras, una variedad topológica compacta tiene una estructura PL si y solo si su invariante de Kirby-Siebenmann en H ⁴ ( M , Z /2 Z ) se anula. En dimensión 3 e inferiores, toda variedad topológica admite una estructura PL esencialmente única. En dimensión 4 existen muchos ejemplos con invariante de Kirby-Siebenmann nulo pero sin estructura PL.
• En cualquier dimensión distinta de 4, una variedad topológica compacta posee un número finito de estructuras PL o suaves esencialmente distintas. En dimensión 4, las variedades compactas pueden tener un número infinito numerable de estructuras suaves no difeomorfas.
• Cuatro es la única dimensión n para la cual R ⁿ puede tener una estructura suave exótica. R ⁴ tiene un número incontable de estructuras suaves exóticas; véase R ⁴ exótico .
• La solución a la conjetura de Poincaré suave se conoce en todas las dimensiones excepto en 4 (suele ser falsa en dimensiones al menos 7; véase esfera exótica ). La conjetura de Poincaré para variedades PL se ha demostrado para todas las dimensiones excepto en 4, pero se desconoce si es cierta en 4 dimensiones (es equivalente a la conjetura de Poincaré suave en 4 dimensiones).
• El teorema de h-cobordismo suave se cumple para cobordismos siempre que ni el cobordismo ni su frontera tengan dimensión 4. Puede fallar si la frontera del cobordismo tiene dimensión 4 (como demostró Donaldson). Si el cobordismo tiene dimensión 4, entonces se desconoce si el teorema de h-cobordismo se cumple.
• Una variedad topológica de dimensión distinta de 4 tiene una descomposición en cuerpos con asas. Las variedades de dimensión 4 tienen una descomposición en cuerpos con asas si y solo si son suavizables.
• Existen variedades topológicas compactas de 4 dimensiones que no son homeomorfas a ningún complejo simplicial. En dimensión al menos 5, la existencia de variedades topológicas no homeomorfas a un complejo simplicial era un problema abierto. En 2013, Ciprian Manolescu publicó un preimpreso en ArXiv que demostraba que existen variedades en cada dimensión mayor o igual a 5 que no son homeomorfas a un complejo simplicial.