LEJ Brouwer

Luitzen Egbertus Jan " Bertus " Brouwer ^{[ a ]} (27 de febrero de 1881 - 2 de diciembre de 1966) fue un matemático y filósofo neerlandés que trabajó en topología , teoría de conjuntos , teoría de la medida y análisis complejo . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Considerado uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, es conocido como uno de los fundadores de la topología moderna, particularmente por establecer su teorema del punto fijo y la invariancia topológica de la dimensión . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Brouwer también se convirtió en una figura clave de la filosofía del intuicionismo , una corriente constructivista de las matemáticas que sostiene que las matemáticas son una construcción cognitiva , más que un tipo de verdad objetiva . Esta postura dio lugar a la controversia Brouwer-Hilbert , en la que Brouwer debatió con su colega formalista David Hilbert . Posteriormente, las ideas de Brouwer fueron retomadas por su alumno Arend Heyting y por Hermann Weyl, antiguo alumno de Hilbert . Además de su trabajo matemático, Brouwer también publicó el breve tratado filosófico Vida, arte y misticismo (1905).

Brouwer nació de padres protestantes holandeses . ^{[ 9 ]} Al principio de su carrera, Brouwer demostró varios teoremas en el campo emergente de la topología. Los más importantes fueron su teorema del punto fijo , la invariancia topológica del grado y la invariancia topológica de la dimensión . Entre los matemáticos en general, el más conocido es el primero, generalmente denominado ahora como el teorema del punto fijo de Brouwer. Es un corolario del segundo, relativo a la invariancia topológica del grado, que es el más conocido entre los topólogos algebraicos. El tercer teorema es quizás el más difícil.

Brouwer también demostró el teorema de aproximación simplicial en los fundamentos de la topología algebraica , que justifica la reducción a términos combinatorios, después de una subdivisión suficiente de los complejos simpliciales , del tratamiento de las aplicaciones continuas generales. En 1912, a los 31 años, fue elegido miembro de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos . ^{[ 10 ]} Fue orador invitado del ICM en 1908 en Roma ^{[ 11 ]} y en 1912 en Cambridge, Reino Unido. ^{[ 12 ]} Fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Americana en 1943. ^{[ 13 ]}

Brouwer fundó el intuicionismo , una filosofía de las matemáticas que desafió el formalismo entonces predominante de David Hilbert y sus colaboradores, entre los que se encontraban Paul Bernays , Wilhelm Ackermann y John von Neumann (cf. Kleene (1952), pp.  46-59). Como una variedad de matemáticas constructivas , el intuicionismo es una filosofía de los fundamentos de las matemáticas . ^{[ 14 ]} A veces se caracteriza (de forma simplista) diciendo que sus seguidores no admiten la ley del tercero excluido como un axioma general en el razonamiento matemático, aunque puede demostrarse como un teorema en algunos casos especiales.

Brouwer fue miembro del Grupo de los Signos . Este grupo formó parte de los inicios de la semiótica —el estudio de los símbolos— en torno a la época victoriana, y en particular a Lady Welby . El significado original de su intuicionismo probablemente no pueda desvincularse por completo del contexto intelectual de dicho grupo.

En 1905, a la edad de 24 años, Brouwer expresó su filosofía de vida en un breve tratado titulado Vida, arte y misticismo , que el matemático Martin Davis describió como «empapado de pesimismo romántico» (Davis (2002), p.  94). Arthur Schopenhauer tuvo una influencia formativa en Brouwer, sobre todo porque insistía en que todos los conceptos debían basarse fundamentalmente en intuiciones sensoriales. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Brouwer entonces «se embarcó en una campaña moralista para reconstruir la práctica matemática desde cero con el fin de satisfacer sus convicciones filosóficas»; de hecho, su director de tesis se negó a aceptar su Capítulo II «tal como está, ... todo entrelazado con una especie de pesimismo y actitud mística hacia la vida que no es matemática, ni tiene nada que ver con los fundamentos de las matemáticas» (Davis, p.  94 citando a van Stigt, p.  41). Sin embargo, en 1908:

"... Brouwer, en un artículo titulado 'La falta de fiabilidad de los principios de la lógica', cuestionó la creencia de que las reglas de la lógica clásica, que nos han llegado esencialmente de Aristóteles (384-322 a. C.), tienen una validez absoluta, independientemente del tema al que se apliquen" (Kleene (1952), p. 46).

Tras finalizar su tesis doctoral, Brouwer decidió conscientemente mantener en secreto sus ideas controvertidas y concentrarse en demostrar su destreza matemática (Davis, 2000, p.  95). Para 1910, ya había publicado varios artículos importantes, en particular el Teorema del Punto Fijo . Hilbert, el formalista con quien el intuicionista Brouwer acabaría enfrentándose durante años, admiraba al joven y le ayudó a conseguir un puesto académico fijo (1912) en la Universidad de Ámsterdam (Davis, p.  96). Fue entonces cuando Brouwer se sintió libre para retomar su proyecto revolucionario, al que ahora llamaba intuicionismo (ibíd.).

Tanto Brouwer como Hilbert trabajaron como editores en la prestigiosa revista matemática Mathematische Annalen . Hilbert era el editor jefe de la revista junto con Blumenthal , Carathéodory y Einstein , y Brouwer era editor asociado. La relación entre Brouwer y Hilbert comenzó a deteriorarse a medida que su disputa intelectual se convertía en personal, culminando en el eventual despido de Brouwer por parte de Hilbert. Carathéodory buscó el consejo de Einstein sobre este asunto y Einstein optó por mantenerse neutral en la disputa, lo que llevó al despido de Brouwer. ^{[ 18 ]} Abraham Fraenkel argumenta que la razón de este despido fue el giro de Brouwer hacia la promoción de ideas de supremacía aria germánica ; ^{[ 19 ]} sin embargo, no existe ninguna evidencia de la participación de Brouwer en el partido nazi alemán , ni en el Movimiento Nacionalsocialista en los Países Bajos. ^{[ 20 ]} Sus contemporáneos no conocían que Brouwer tuviera ideas nacionalistas, y sus ideas eran similares a las de los idealistas y románticos germánicos de la época. ^{[ 21 ]}

En sus últimos años, Brouwer se aisló relativamente; el desarrollo del intuicionismo en sus orígenes fue retomado por su alumno Arend Heyting . El matemático e historiador de las matemáticas neerlandés Bartel Leendert van der Waerden asistió a las clases impartidas por Brouwer en sus últimos años y comentó: «Aunque sus contribuciones más importantes a la investigación fueron en topología, Brouwer nunca impartió cursos de topología, sino siempre —y solo sobre— los fundamentos de su intuicionismo. Parecía que ya no estaba convencido de sus resultados en topología porque no eran correctos desde el punto de vista del intuicionismo, y consideraba falso todo lo que había hecho hasta entonces, su mayor obra, según su filosofía». ^{[ 22 ]}

Sobre sus últimos años, Davis (2002) comenta:

«...se sentía cada vez más aislado y pasó sus últimos años bajo el influjo de "preocupaciones financieras totalmente infundadas y un miedo paranoico a la bancarrota, la persecución y la enfermedad". Murió en 1966 a los 85 años, atropellado por un vehículo mientras cruzaba la calle frente a su casa.» (Davis, pág. 100, citando a van Stigt, pág. 110).

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• Dirk van Dalen , místico, geómetra e intuicionista: La vida de LEJ Brouwer. Oxford Univ. Press.
  • 1999. Volumen 1: La revolución naciente .
  • 2005. Volumen 2: Esperanza y desilusión .
  • 2013. LEJ Brouwer: Topólogo, intuicionista, filósofo. Cómo las matemáticas están arraigadas en la vida. Londres: Springer (basado en trabajos anteriores).
• Martin Davis , 2000. Los motores de la lógica , WW Norton, Londres, ISBN 0-393-32229-7pbk. Cf. Capítulo cinco: "Hilbert al rescate", donde Davis analiza a Brouwer y su relación con Hilbert y Weyl, con breve información biográfica de Brouwer. Las referencias de Davis incluyen:
  • Stephen Kleene, 1952 con correcciones de 1971, 10.ª reimpresión de 1991, Introducción a la metamatemática , North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, Países Bajos, ISBN 0-7204-2103-9. Cf. en particular Capítulo III: Una crítica del razonamiento matemático , §13 "Intuicionismo" y §14 "Formalismo".
• Koetsier, Teun, Editor, Matemáticas y lo divino: Un estudio histórico , Ámsterdam: Elsevier Science and Technology, 2004, ISBN 0-444-50328-5.
• Pambuccian, Victor, 2022, El intuicionismo de Brouwer: las matemáticas en el modo de existencia del ser , publicado en: Sriraman, B. (ed.) Manual de historia y filosofía de la práctica matemática . Springer, Cham. doi : 10.1007/978-3-031-40846-5_103

• Contenido multimedia relacionado con LEJ Brouwer (matemático) en Wikimedia Commons.
• Obras de o sobre LEJ Brouwer en el Archivo de Internet
• Vida, arte y misticismo, escrito por LEJ Brouwer.
• Entrada de Luitzen Egbertus Jan Brouwer en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford