Teorema de aproximación simplicial

En matemáticas , el teorema de aproximación simplicial es un resultado fundamental para la topología algebraica , que garantiza que las aplicaciones continuas pueden aproximarse (mediante una ligera deformación) por aplicaciones que son por partes del tipo más simple. Se aplica a aplicaciones entre espacios construidos a partir de símplices , es decir, complejos simpliciales finitos . La aplicación continua general entre dichos espacios puede representarse aproximadamente mediante una aplicación lineal ( afín ) en cada símplice hacia otro símplice, a costa de (i) una subdivisión baricéntrica suficiente de los símplices del dominio, y (ii) la sustitución de la aplicación real por una homotópica .

Este teorema fue demostrado por primera vez por LEJ Brouwer , utilizando el teorema de recubrimiento de Lebesgue (un resultado basado en la compacidad ). Sirvió para fundamentar rigurosamente la teoría de la homología de la época —la primera década del siglo XX— , ya ​​que demostró que el efecto topológico (sobre grupos de homología ) de las aplicaciones continuas podía expresarse, en un caso dado, de forma finita . Esto debe entenderse en el contexto de la constatación, en aquel entonces, de que la continuidad era, en general, compatible con lo patológico en otros ámbitos. Esto dio inicio, podría decirse, a la era de la topología combinatoria .

Existe otro teorema de aproximación simplicial para homotopías , que establece que una homotopía entre aplicaciones continuas también puede aproximarse mediante una versión combinatoria.

La forma básica del teorema es la siguiente:

En resumen, el teorema afirma que cualquier aplicación continua entre complejos simpliciales es la realización geométrica de una aplicación simplicial salvo homotopía y subdivisión.

Aquí tenemos una formulación más precisa. Un mapeo simplicial.${\displaystyle s:K\to L}$se denomina aproximación simplicial de${\displaystyle f:|K|\to |L|}$si por cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle |K|}$,${\displaystyle |s|(x)}$pertenece al simplex cerrado mínimo de${\displaystyle L}$que contiene${\displaystyle f(x)}$. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle s}$es una aproximación simplicial a un mapa${\displaystyle f}$, luego la realización geométrica${\displaystyle g=|s|}$de${\displaystyle s}$es necesariamente homotópico a${\displaystyle f}$; de hecho, la homotopía viene dada por${\displaystyle h_{t}=(1-t)f+tg}$. ^{[ 3 ]}

El teorema de aproximación simplicial establece que, dado un mapa${\displaystyle f:|K|\to |L|}$, existe un número natural${\displaystyle n_{0}}$de tal manera que para todos${\displaystyle n\geq n_{0}}$, existe una aproximación simplicial

${\displaystyle s:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L,}$

a${\displaystyle f}$dónde${\displaystyle \mathrm {Bd} \;K}$denota la subdivisión baricéntrica de${\displaystyle K}$, y${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K}$denota el resultado de aplicar la subdivisión baricéntrica${\displaystyle n}$veces. De hecho, la demostración del teorema muestra que hay un número real${\displaystyle \delta >0}$Dependiendo de${\displaystyle f}$y${\displaystyle L}$(no solo${\displaystyle |L|}$) de tal manera que si cada simplex en${\displaystyle K}$tiene un diámetro menor que${\displaystyle \delta }$, entonces existe una aproximación simplicial a${\displaystyle f}$.

Además, si${\displaystyle \epsilon$ :|L|\to {\mathbb {R}}} es una aplicación continua positiva, entonces hay subdivisiones${\displaystyle K',L'}$de${\displaystyle K,L}$y un mapa simplicial${\displaystyle s:K'\to L'}$de tal manera que${\displaystyle g=|s|}$es${\displaystyle \epsilon }$-homotópico a${\displaystyle f}$; es decir, hay una homotopía${\displaystyle H:|K|\times [0,1]\to |L|}$de${\displaystyle f}$a${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle \mathrm {diam} (H(x\times [0,1]))<\epsilon (f(x))}$a pesar de${\displaystyle x\in |K|}$. Por lo tanto, podemos considerar el teorema de aproximación simplicial como un análogo lineal por partes del teorema de aproximación de Whitney .

Aquí tienes algunos ejemplos de aplicaciones típicas.

${\displaystyle \pi _{k}S^{n}=0,\,k<n.}$

De hecho, dado un mapa${\displaystyle f:S^{k}\to S^{n}}$, es homotópico a un mapa simplicial${\displaystyle g:S^{k}\to S^{n}}$Ahora, por razones de dimensión,${\displaystyle g}$no puede mapearse en un n -símplex; es decir,${\displaystyle g}$no es sobreyectiva y por lo tanto la imagen se encuentra en un subconjunto contraíble y${\displaystyle g}$es homótopo a una aplicación constante. (Estrictamente hablando, aquí se utiliza la versión basada del teorema de aproximación simplicial).

Aquí tenemos otra aplicación más sustancial, pero también típica.

( Teorema del punto fijo de Lefschetz ) Para una variedad compacta o un complejo CW finito${\displaystyle X}$, si el rastro de un mapa${\displaystyle f:X\to X}$(ver abajo) es distinto de cero, entonces${\displaystyle f}$admite un punto fijo.

Aquí, por un campo${\displaystyle \Lambda }$, el rastro del mapa${\displaystyle f}$es el número (un elemento en${\displaystyle \Lambda }$)

${\displaystyle \operatorname {tr} (f)=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {tr} (f_{*}|\operatorname {H} _{i}(X;\Lambda )),}$

lo cual es un número finito ya que X tiene dimensión finita.

Bosquejo de la demostración : ^{[ 4 ]} Suponemos${\displaystyle f}$no tiene un punto fijo y deberá mostrar que su traza es cero.

Paso 1 : se reduce al caso en que X es la realización geométrica de un complejo simplicial; es decir,${\displaystyle X=|K|}$.

De hecho, se sabe que X aquí es un ENR, una retracción de vecindario euclidiano . Por lo tanto, hay una retracción.${\displaystyle r:K\to X}$de un complejo simplicial y${\displaystyle f\circ r:K\to X\to X\hookrightarrow K}$tiene exactamente el mismo conjunto de puntos fijos que${\displaystyle f}$Sí; así que podemos reemplazar${\displaystyle f}$por${\displaystyle f\circ r}$.

Paso 2 :${\displaystyle \operatorname {tr} (f_{*}|\operatorname {H} _{*}(X;\Lambda ))=\operatorname {tr} (f_{*}|C_{*}(X;\Lambda )).}$

Este es un cálculo de álgebra lineal.

Paso 3 : subdividir${\displaystyle K}$a${\displaystyle K'}$de modo que una aproximación simplicial${\displaystyle g:K'\to K}$a${\displaystyle f}$existe y tenga en cuenta que no interseca un simplex en el sentido que se indica a continuación. (Escribiremos${\displaystyle g}$para ambos${\displaystyle g}$y su realización geométrica${\displaystyle |g|}$.)

Desde${\displaystyle f}$no tiene un punto fijo y${\displaystyle X}$es compacto, tenemos${\displaystyle \delta =\inf |xf(x)|>0}$. Reemplazando${\displaystyle K}$Mediante un refinamiento sin pérdida de generalidad, asumiremos el diámetro de cada simplex en${\displaystyle K}$es${\displaystyle <\delta /2}$; tenga en cuenta que esto no tiene que ver con la aproximación simplicial.

Dejar${\displaystyle K'\subset K}$ser una subdivisión de modo que la aproximación simplicial${\displaystyle g:K'\to K}$existe. Entonces, por definición de una aproximación simplicial, para cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X=|K'|}$,${\displaystyle f(x),g(x)}$pertenecen al mismo simplex cerrado; por lo tanto, según la suposición inicial,

${\displaystyle |f(x)-g(x)|<\delta /2.}$

A continuación:

${\displaystyle |xg(x)|\geq |xf(x)|-|f(x)-g(x)|>\delta -\delta /2=\delta /2.}$

Por lo tanto, para cada simplex (cerrado)${\displaystyle \sigma }$en${\displaystyle K}$,

${\displaystyle g(\sigma )\cap \sigma =\emptyset .}$

Paso final .

Arrogante${\displaystyle \Lambda }$es algebraicamente cerrada sin pérdida de generalidad, la diagonal de la forma canónica de Jordan de${\displaystyle g_{*}|C_{*}(X;\Lambda )}$consta de ceros. En particular, su traza es cero. Luego, mediante el Paso 2 aplicado a${\displaystyle g}$, hemos terminado desde${\displaystyle \operatorname {tr} (f)=\operatorname {tr} (g)}$por la invariancia homotópica de la homología.

Fuente: ^{[ 5 ]}

La idea de la demostración es bastante intuitiva; si hay suficientes vértices ubicados de forma suficientemente aleatoria, entonces en cada símplex, una aplicación continua puede aproximarse mediante una aplicación lineal a trozos; por lo tanto, globalmente.

Precisamente, dejemos${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(w)}$denota la estrella abierta de${\displaystyle w}$; es decir, la unión de todos los símplexes relativamente abiertos que contienen${\displaystyle w}$en el cierre. Nota${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(w)}$es el complemento de la unión de todos los símplexes disjuntos de${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(w)}$; en particular, es un subconjunto abierto y por lo tanto${\displaystyle U_{w}:=f^{-1}(\operatorname {St} ^{0}(w))}$,${\displaystyle w}$vértices, forman una cubierta abierta de${\displaystyle |K|}$. Dejar${\displaystyle \delta }$Sea el número de Lebesgue de esta cubierta abierta; es decir, un número real positivo tal que si${\displaystyle A\subset |K|}$es un subconjunto del diámetro${\displaystyle <\delta }$, entonces${\displaystyle A}$está contenido en algún conjunto abierto en la cubierta.

Ahora, dejemos${\displaystyle K'}$ser algún refinamiento de${\displaystyle K}$con la propiedad de que el diámetro de cada simplex en${\displaystyle K'}$es menos que${\displaystyle \delta /2}$(véase más abajo cómo encontrar dicho refinamiento). Entonces el diámetro de${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(v)}$es menor que${\displaystyle \delta }$, desde${\displaystyle |x-y|\leq |x-v|+|v-y|<\delta }$para cada${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(v)}$. Por lo tanto, para cada vértice${\displaystyle v}$, tenemos${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(v)\subset f^{-1}(\operatorname {St} ^{0}(w))}$o

${\displaystyle f(\operatorname {St} ^{0}(v))\subset \operatorname {St} ^{0}(w)}$

para algún vértice${\displaystyle w}$. Dejar${\displaystyle s(v)}$denotan algún tipo${\displaystyle w}$. Entonces${\displaystyle s}$es una aplicación entre los conjuntos de vértices. Observamos que${\displaystyle s}$se extiende por linealidad a${\displaystyle s:K\to L}$; es decir, mapea símplexes a símplexes${\displaystyle \Leftrightarrow }$para cada conjunto de vértices${\displaystyle v_{i}}$de un simplex en${\displaystyle K}$, la envoltura convexa${\displaystyle \langle s(v_{1}),\cdots ,s(v_{r})\rangle }$es un simplex (cerrado) en${\displaystyle L}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$para cada conjunto de vértices${\displaystyle v_{i}}$de un simplex en${\displaystyle K}$, hay un simplex relativamente abierto en${\displaystyle L}$cuyo cierre contiene todo${\displaystyle s(v_{i})}$'s como vértices, posiblemente con repetición.

Ahora bien, la última condición anterior se cumple ya que dado un conjunto de vértices${\displaystyle v_{i}}$de un simplex en${\displaystyle K}$, tenemos:

${\displaystyle \emptyset \neq f(\cap _{i}\operatorname {St} ^{0}(v_{i}))\subset \cap _{i}f(\operatorname {St} ^{0}(v_{i}))\subset \cap _{i}\operatorname {St} ^{0}(s(v_{i})).}$

Y entonces obtenemos el mapa (necesariamente continuo).${\displaystyle g=|s|:|K|\to |L|}$. A continuación, para cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle |K|}$,${\displaystyle f(x)}$pertenece a un simplex relativamente abierto único${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle L}$. Dejar${\displaystyle x=\sum \lambda _{i}v_{i}}$sea ​​una combinación convexa con coeficientes distintos de cero para algunos vértices${\displaystyle v_{i}}$en${\displaystyle K.}$Entonces${\displaystyle g(x)=\sum \lambda _{i}g(v_{i})}$. Dejar${\displaystyle w_{i}=g(v_{i})}$. Para cada${\displaystyle i}$, tenemos${\displaystyle x\in \operatorname {St} ^{0}(v_{i})}$y entonces

${\displaystyle f(x)\in f(\operatorname {St} ^{0}(v_{i}))\subset \operatorname {St} ^{0}(w_{i}).}$

De este modo,${\displaystyle f(x)}$pertenece a algunos${\displaystyle \tau '}$cuyo cierre contiene${\displaystyle w_{i}}$y por singularidad,${\displaystyle \tau '=\tau }$. Entonces tenemos

${\displaystyle g(x)\in \sum \lambda _{i}{\overline {\tau }}\subset {\overline {\tau }}.}$

Por eso,${\displaystyle f(x),g(x)}$pertenece al mismo simplex${\displaystyle {\overline {\tau }}}$Entonces, si dejamos${\displaystyle h_{t}=(1-t)f+g}$, entonces${\displaystyle h_{t}}$es una homotopía${\displaystyle f\sim g}$.${\displaystyle \square }$

Aquí, daremos algunos argumentos rigurosos sobre cómo encontrar un refinamiento en el que el diámetro de cada simplex sea arbitrariamente pequeño (por supuesto, esto es intuitivamente completamente obvio). El argumento consiste en estimar el diámetro de un simplex en una subdivisión baricéntrica de la siguiente manera.

Desde${\displaystyle p/(p+1)}$es menor que${\displaystyle 1}$Podemos hacer que el diámetro máximo de un simplex sea arbitrariamente pequeño iterando subdivisiones baricéntricas.

Prueba : ^{[ 6 ]} Por construcción, cada símplex en la subdivisión baricéntrica tiene los vértices de la forma${\displaystyle b(F_{0}),\cdots }$por una cadena de caras

${\displaystyle \sigma =F_{p}\supset \cdots \supset F_{0}}$

dónde${\displaystyle F<G}$medio${\displaystyle F}$es una cara apropiada de${\displaystyle G}$y, pensando${\displaystyle F}$compuesto por vértices, el baricentro${\displaystyle b(F)}$de${\displaystyle F}$es

${\displaystyle b(F)={\frac {1}{\#F}}\sum _{v\in F}v.}$

Ahora, dados los rostros${\displaystyle F<G}$, con${\displaystyle g:=\#G,f:=\#F}$, tenemos:

${\displaystyle b(F)-b(G)={\frac {g-f}{g}}\left({\frac {1}{f}}\sum _{v\in F}v-{\frac {1}{g-f}}\sum _{v\in G-F}v\right).}$

Luego la expresión después${\displaystyle {\frac {g-f}{g}}}$está en

${\displaystyle \langle v\mid v\in G\rangle +\langle -v\mid v\in G\rangle \subset \langle v-w\mid v,w\in G\rangle }$

donde el corchete significa envolvente convexa. Por lo tanto, dado que${\displaystyle (g-f)/g\leq (g-1)/g\leq p/(p+1)}$,

${\displaystyle |b(F)-b(G)|\leq {\frac {p}{p+1}}\max _{v,w\in G}|v-w|.}$

Esto implica el diámetro de${\displaystyle \langle b(F_{i})\mid i\rangle }$está delimitado por el límite reclamado.

Finalmente, para ver que la estimación no se puede mejorar, primero observe: para los vértices${\displaystyle v_{i}}$de${\displaystyle \sigma }$,

${\displaystyle b(\sigma )-v_{0}={\frac {1}{p+1}}\sum _{i\geq 1}(v_{i}-v_{0}).}$

Así, por ejemplo, si${\displaystyle \sigma }$es el 2-símplex con vértices${\displaystyle v_{0}=(0,0),v_{1}=(1,0),v_{2}=(1,\epsilon )}$, entonces la proporción${\displaystyle |b(\sigma )-v_{0}|/\operatorname {diam} (\sigma )}$aproches${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$como${\displaystyle \epsilon }$tiende a cero. Un argumento similar funciona en dimensiones superiores.${\displaystyle \square }$

• "Complejo simplicial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Bredon, GE (2013). Topología y geometría . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  139. Springer Science & Business Media.

• Raphaël Tinarrage, Aproximación simplicial a complejos CW en la práctica, https://arxiv.org/pdf/2112.07573