Supergravedad

En física teórica , la supergravedad ( teoría de la supergravedad ; SUGRA, por sus siglas en inglés) es una teoría de campos moderna que combina los principios de la supersimetría y la relatividad general ; esto contrasta con las teorías supersimétricas no gravitacionales, como el Modelo Estándar Supersimétrico Mínimo . La supergravedad es la teoría de gauge de la supersimetría local. Dado que los generadores de supersimetría (SUSY) se forman junto con el álgebra de Poincaré y la superálgebra , denominada superálgebra de Poincaré , la supersimetría, como teoría de gauge, hace que la gravedad surja de forma natural. ^{[ 1 ]}

Como todos los enfoques covariantes de la gravedad cuántica, ^{[ 2 ]} la supergravedad contiene un campo de espín 2 cuyo cuanto es el gravitón . La supersimetría requiere que el campo gravitón tenga un supercompañero . Este campo tiene espín 3/2 y su cuanto es el gravitino . El número de campos gravitino es igual al número de supersimetrías.

El término "límites de baja energía" se utiliza para describir algunas teorías de supergravedad de 10 dimensiones. Estas surgen como la aproximación sin masa, a nivel de árbol , de las teorías de cuerdas. Las verdaderas teorías de campo efectivas de cuerdas, en lugar de sus truncamientos, son poco frecuentes. Debido a las dualidades de cuerdas, se requiere la teoría M de 11 dimensiones, conjeturada por algunos, para que la supergravedad de 11 dimensiones sea un "límite de baja energía". Sin embargo, esto no implica necesariamente que la teoría de cuerdas/teoría M sea la única posible completitud ultravioleta de la supergravedad; la investigación en supergravedad es útil independientemente de estas relaciones.

Antes de pasar a SUGRA propiamente dicho, recapitulemos algunos detalles importantes sobre la relatividad general. Tenemos una variedad diferenciable de 4D M con un fibrado principal Spin(3,1) sobre ella. Este fibrado principal representa la simetría de Lorentz local. Además, tenemos un fibrado vectorial T sobre la variedad con la fibra de cuatro dimensiones reales y que se transforma como un vector bajo Spin(3,1). Tenemos una aplicación lineal invertible del fibrado tangente TM a T. Esta aplicación es el vierbein . La simetría de Lorentz local tiene una conexión de gauge asociada, la conexión de espín .

La siguiente discusión se realizará en notación de superespacio, a diferencia de la notación de componentes, que no es manifiestamente covariante bajo SUSY. De hecho, existen muchas versiones diferentes de SUGRA que no son equivalentes en el sentido de que sus acciones y restricciones sobre el tensor de torsión son diferentes, pero en última instancia equivalentes, ya que siempre podemos realizar una redefinición de campo de los supervierbeins y la conexión de espín para pasar de una versión a otra.

En 4D N=1 SUGRA, tenemos una supervariedad diferenciable real 4|4 M, es decir, tenemos 4 dimensiones bosónicas reales y 4 dimensiones fermiónicas reales. Como en el caso no supersimétrico, tenemos un fibrado principal Spin(3,1) sobre M. Tenemos un fibrado vectorial R ^4|4 T sobre M. La fibra de T se transforma bajo el grupo de Lorentz local de la siguiente manera; las cuatro dimensiones bosónicas reales se transforman como un vector y las cuatro dimensiones fermiónicas reales se transforman como un espinor de Majorana . Este espinor de Majorana puede reexpresarse como un espinor de Weyl levógiro complejo y su espinor de Weyl dextrógiro conjugado complejo (no son independientes entre sí). También tenemos una conexión de espín como antes.

Utilizaremos las siguientes convenciones; los índices espaciales (tanto bosónicos como fermiónicos) se indicarán por M, N, ... . Los índices espaciales bosónicos se indicarán por μ, ν, ..., los índices espaciales de Weyl levógiros por α, β, ..., y los índices espaciales de Weyl dextrógiros por${\displaystyle {\dot {\alpha }}}$,${\displaystyle {\dot {\beta }}}$, ... . Los índices para la fibra de T seguirán una notación similar, excepto que se representarán con un sombrero de esta manera:${\displaystyle {\hat {M}},{\hat {\alpha }}}$. Consulte la notación de van der Waerden para obtener más detalles.${\displaystyle M=(\mu ,\alpha ,{\dot {\alpha }})}$. El supervierbein se denota por${\displaystyle e_{N}^{\hat {M}}}$y la conexión de espín por${\displaystyle \omega _{{\hat {M}}{\hat {N}}P}}$. El supervierbein inverso se denota por${\displaystyle E_{\hat {M}}^{N}}$.

La conexión entre supervierbein y spin es real en el sentido de que satisface las condiciones de realidad.

${\displaystyle e_{N}^{\hat {M}}(x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=e_{N^{*}}^{{\hat {M}}^{*}}(x,\theta ,{\overline {\theta }})}$dónde${\displaystyle \mu ^{*}=\mu }$,${\displaystyle \alpha ^{*}={\dot {\alpha }}}$, y${\displaystyle {\dot {\alpha }}^{*}=\alpha }$y${\displaystyle \omega (x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=\omega (x,\theta ,{\overline {\theta }})}$.

La derivada covariante se define como

${\displaystyle D_{\hat {M}}f=E_{\hat {M}}^{N}\left(\partial _{N}f+\omega _{N}[f]\right)}$.

La derivada exterior covariante definida sobre supervariedades necesita ser supergraduada. Esto significa que cada vez que intercambiamos dos índices fermiónicos, obtenemos un factor de signo +1 en lugar de -1.

La presencia o ausencia de simetrías R es opcional, pero si existe la simetría R, el integrando sobre el superespacio completo debe tener una carga R de 0 y el integrando sobre el superespacio quiral debe tener una carga R de 2.

Un supercampo quiral X es un supercampo que satisface${\displaystyle {\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}X=0}$. Para que esta restricción sea consistente, requerimos las condiciones de integrabilidad que${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}},{\overline {D}}_{\hat {\dot {\beta }}}\right\}=c_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\dot {\gamma }}}{\overline {D}}_{\hat {\dot {\gamma }}}}$para algunos coeficientes c .

A diferencia de la GR noSUSY, la torsión tiene que ser distinta de cero, al menos con respecto a las direcciones fermiónicas. Ya, incluso en el superespacio plano,${\displaystyle D_{\hat {\alpha }}e_{\hat {\dot {\alpha }}}+{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}e_{\hat {\alpha }}\neq 0}$En una versión de SUGRA (pero ciertamente no la única), tenemos las siguientes restricciones sobre el tensor de torsión:

${\displaystyle T_{{\sombrero {\underline {\alpha }}}{\sombrero {\underline {\beta }}}}^{\sombrero {\underline {\gamma }}}=0}$

${\displaystyle T_{{\sombrero {\alpha }}{\sombrero {\beta }}}^{\sombrero {\mu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=2i\sigma _{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}}$

${\displaystyle T_{{\hat {\mu }}{\hat {\underline {\alpha }}}}^{\hat {\nu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}^{\hat {\rho }}=0}$

Aquí,${\displaystyle {\underline {\alpha }}}$es una notación abreviada que significa que el índice recorre los espinores de Weyl izquierdo o derecho.

El superdeterminante del supervierbein,${\displaystyle \left|e\right|}$, nos da el factor de volumen para M. Equivalentemente, tenemos la superforma 4|4 de volumen.${\displaystyle e^{{\hat {\mu }}=0}\wedge \cdots \wedge e^{{\hat {\mu }}=3}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=1}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=2}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=1}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=2}}$.

Si complejizamos los superdifeomorfismos, hay un calibre donde${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\mu }=0}$,${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\beta }=0}$y${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\dot {\beta }}=\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}}$El superespacio quiral resultante tiene las coordenadas x y Θ.

R es un supercampo quiral de valor escalar derivable de los supervielbeins y la conexión de espín. Si f es cualquier supercampo,${\displaystyle \left({\bar {D}}^{2}-8R\right)f}$es siempre un supercampo quiral.

La acción para una teoría SUGRA con supercampos quirales X , viene dada por

${\displaystyle S=\int d^{4}xd^{2}\Theta 2{\mathcal {E}}\left[{\frac {3}{8}}\left({\bar {D}}^{2}-8R\right)e^{-K({\bar {X}},X)/3}+W(X)\right]+c.c.}$

donde K es el potencial de Kähler y W es el superpotencial , y${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es el factor de volumen quiral.

A diferencia del caso del superespacio plano, añadir una constante al potencial de Kähler o al superpotencial es ahora físicamente posible. Un desplazamiento constante al potencial de Kähler modifica la constante de Planck efectiva , mientras que un desplazamiento constante al superpotencial modifica la constante cosmológica efectiva . Dado que la constante de Planck efectiva depende ahora del valor del supercampo quiral X , necesitamos reescalar los supervierbeins (una redefinición de campo) para obtener una constante de Planck constante. Esto se conoce como el marco de Einstein .

La supergravedad N = 8 es la teoría cuántica de campos más simétrica que involucra la gravedad y un número finito de campos. Se puede obtener mediante una reducción dimensional de la supergravedad de 11 dimensiones, haciendo que el tamaño de 7 de las dimensiones se reduzca a cero. Posee 8 supersimetrías, el máximo que puede tener cualquier teoría gravitacional, ya que existen 8 semipasos entre espín 2 y espín −2. (Un gravitón tiene el espín más alto en esta teoría, siendo una partícula de espín 2). Un mayor número de supersimetrías implicaría que las partículas tendrían supercompañeros con espines superiores a 2. Las únicas teorías con espines superiores a 2 que son consistentes involucran un número infinito de partículas (como la teoría de cuerdas y las teorías de espín superior). Stephen Hawking, en su obra Breve historia del tiempo, especuló que esta teoría podría ser la teoría del todo. Sin embargo, años después, esta idea fue descartada en favor de la teoría de cuerdas. En el siglo XXI ha resurgido el interés por la posibilidad de que esta teoría sea finita.

La SUGRA de dimensiones superiores es la generalización supersimétrica de la relatividad general. La supergravedad puede formularse en cualquier número de dimensiones hasta once. La SUGRA de dimensiones superiores se centra en la supergravedad en más de cuatro dimensiones.

El número de supercargas en un espinor depende de la dimensión y la signatura del espaciotiempo. Las supercargas aparecen en los espinores. Por lo tanto, el límite en el número de supercargas no puede cumplirse en un espaciotiempo de dimensión arbitraria. Algunos ejemplos teóricos en los que esto se cumple son:

• teoría de dos tiempos de 12 dimensiones
• supergravedad máxima de 11 dimensiones
• teorías de supergravedad de 10 dimensiones
  • Supergravedad de tipo IIA : N = (1, 1)
  • Supergravedad de tipo IIB : N = (2, 0)
  • Supergravedad de tipo I : N = (1, 0)
• teorías de supergravedad 9d
  • Supergravedad máxima de 9 dimensiones a partir de 10 dimensiones.
  • Dualidad T
  • N = 1 Supergravedad calibrada

Las teorías de supergravedad que han suscitado mayor interés no contienen espines superiores a dos. Esto significa, en particular, que no contienen campos que se transformen como tensores simétricos de rango superior a dos bajo transformaciones de Lorentz. Sin embargo, la consistencia de las teorías de campos con espines superiores interactuantes es actualmente un campo de gran interés.

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