Supergravedad pura 4D N = 1

En supersimetría , 4D puro${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$La supergravedad describe la supergravedad cuatridimensional más simple , con una única supercarga y un supermultiplete que contiene un gravitón y un gravitino . La acción consiste en la acción de Einstein-Hilbert y la acción de Rarita-Schwinger . La teoría fue formulada por primera vez por Daniel Z. Freedman , Peter van Nieuwenhuizen y Sergio Ferrara , e independientemente por Stanley Deser y Bruno Zumino en 1976. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La única extensión consistente a espaciotiempos con una constante cosmológica es al espacio anti-de Sitter , formulado por primera vez por Paul Townsend en 1977. ^{[ 3 ]} Cuando se incluyen supermultipletes de materia adicionales en esta teoría, el resultado se conoce como 4D acoplada a la materia.${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$supergravedad .

Para describir el acoplamiento entre la gravedad y partículas de espín arbitrario , es útil utilizar el formalismo de vielbein de la relatividad general . ^{[ 4 ]} Esto reemplaza la métrica por un conjunto de campos vectoriales.${\displaystyle e_{a}=e_{a}^{\mu }\partial _ {\mu }}$indexado por índices planos${\displaystyle a}$de tal manera que

${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}.}$

En cierto sentido, los vielbeins son la raíz cuadrada de la métrica. Esto introduce una nueva simetría de Lorentz local en los vielbeins.${\displaystyle e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{b}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)}$, junto con la invariancia de difeomorfismo usual asociada con los índices del espaciotiempo${\displaystyle \mu }$Esto tiene una conexión asociada conocida como conexión de espín .${\displaystyle \omega _ {\mu }^{ab}}$definido a través de${\displaystyle \nabla _{\mu }e_{a}=\omega _{\mu }{}^{b}{}_{a}e_{b}}$, siendo una generalización de la conexión de Christoffel a campos de espín arbitrarios. Por ejemplo, para espinores la derivada covariante viene dada por

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab},}$

dónde${\displaystyle \gamma _{a}}$son matrices gamma que satisfacen el álgebra de Dirac , con${\displaystyle \gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}}$Estos se contraen a menudo con vielbeins para construir${\displaystyle \gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}}$que en general son campos dependientes de la posición en lugar de constantes. La conexión de espín tiene una expresión explícita en términos del vielbein y un tensor de torsión adicional que puede surgir cuando hay materia presente en la teoría. Una torsión nula es equivalente a la conexión de Levi-Civita .

El puro${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$La acción de supergravedad en cuatro dimensiones es la combinación de la acción de Einstein-Hilbert y la acción de Rarita-Schwinger ^{[ 5 ].}

Aquí${\displaystyle M_{P}}$es la masa de Planck ,${\displaystyle e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}}$, y${\displaystyle \psi _{\mu }}$es el gravitino de Majorana con su índice espinorial implícito. Tratar esta acción dentro del formalismo de primer orden donde tanto el vielbein como la conexión de espín son campos independientes permite resolver la ecuación de movimiento de las conexiones de espín, mostrando que tiene la torsión${\displaystyle T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}}$. ^{[ 6 ]} La acción del formalismo de segundo orden se adquiere entonces sustituyendo esta expresión para la conexión de espín de nuevo en la acción, produciendo vértices gravitino cuárticos adicionales, con las acciones de Einstein-Hilbert y Rarita-Schwinger ahora escritas con una conexión de espín sin torsión que depende explícitamente de los vielbeins.

Las reglas de transformación de supersimetría que dejan la acción invariante son:

${\displaystyle \delta e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },\ \ \ \ \ \ \ \ \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon ,}$

dónde${\displaystyle \epsilon (x)}$es el parámetro de calibre espinorial. Si bien históricamente los formalismos de primer orden ^{[ 2 ]} y segundo orden ^{[ 1 ]} fueron los primeros en utilizarse para demostrar la invariancia de la acción, el formalismo de orden 1.5 es el más sencillo para la mayoría de los cálculos de supergravedad. Las simetrías adicionales de la acción son transformaciones de coordenadas generales y transformaciones de Lorentz locales.

La tetradimensional${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$El álgebra super-Poincaré en el espaciotiempo de Minkowski puede generalizarse al espaciotiempo anti-de Sitter, pero no al espaciotiempo de De Sitter , ya que la identidad super-Jacobi no puede satisfacerse en ese caso. Su acción puede construirse mediante la calibración de esta superálgebra , lo que produce las reglas de transformación de supersimetría para el vielbein y el gravitino. ^{[ 7 ]}

La acción para${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$La supergravedad AdS en cuatro dimensiones es ^{[ 6 ]}

${\displaystyle S={\frac {M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ e{\bigg (}R+{\frac {6}{L^{2}}}{\bigg )}-{\frac {M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ e{\bigg (}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }+{\frac {1}{L}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu }\psi _{\nu }{\bigg )},}$

dónde${\displaystyle L}$es el radio de AdS y el segundo término es la constante cosmológica negativa${\displaystyle \Lambda =-3/L^{2}}$. Las transformaciones de supersimetría son

${\displaystyle \delta e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },\ \ \ \ \ \ \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon -{\tfrac {1}{2L}}\gamma _{\mu }\epsilon .}$

Aunque el término bilineal en la acción parece darle masa al gravitino, todavía pertenece al supermultiplete de gravedad sin masa . ^{[ 5 ]} Esto se debe a que la masa no está bien definida en los espaciotiempos curvos , con${\displaystyle P_{\mu }P^{\mu }}$Ya no es un operador de Casimir del álgebra de super-Poinacre AdS. Sin embargo, es convencional definir una masa a través del operador de Laplace-Beltrami , en cuyo caso las partículas dentro del mismo supermultiplete tienen masas diferentes, a diferencia de lo que ocurre en los espaciotiempos planos.

• supergravedad N = 8