espacio bornológico

Si${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$y${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$son conjuntos bornológicos entonces una función${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que es un mapa localmente acotado o un mapa acotado (con respecto a estas bornologías) si mapea${\displaystyle {\mathcal {B}}}$subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$a${\displaystyle {\mathcal {C}}}$subconjuntos acotados de${\displaystyle Y;}$es decir, si${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$^{[ 2 ]} Si además${\displaystyle f}$es una biyección y${\displaystyle f^{-1}}$también está limitado entonces${\displaystyle f}$se denomina isomorfismo bornológico .

Un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$Se denomina bornívoro y bornívoro si absorbe todo conjunto acotado.

En una bornología vectorial,${\displaystyle A}$es bornívoro si absorbe todo conjunto equilibrado acotado y en una bornología vectorial convexa${\displaystyle A}$Es bornívoro si absorbe todos los discos delimitados.

Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros. ^{[ 3 ]}

Todo subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un entorno del origen. ^{[ 4 ]}

Todo espacio vectorial topológico${\displaystyle X,}$al menos en un campo de valores no discretos da una bornología en${\displaystyle X}$definiendo un subconjunto${\displaystyle B\subseteq X}$ser acotado (o acotado de von Neumann), si y solo si para todos los conjuntos abiertos${\displaystyle U\subseteq X}$que contiene cero existe un${\displaystyle r>0}$con${\displaystyle B\subseteq rU.}$ Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico localmente convexo entonces${\displaystyle B\subseteq X}$está acotada si y solo si todas las seminormas continuas en${\displaystyle X}$están delimitados por${\displaystyle B.}$

El conjunto de todos los subconjuntos acotados de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$se denomina bornología o bornología de von Neumann de${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico localmente convexo , entonces un disco absorbente${\displaystyle D}$en${\displaystyle X}$es bornívoro (resp. infrabornívoro) si y solo si su funcional de Minkowski es localmente acotado (resp. infraacotado). ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología vectorial convexa en un espacio vectorial${\displaystyle X,}$luego la colección${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$de todos los subconjuntos equilibrados convexos de${\displaystyle X}$que son bornívoros forman una base de vecindad en el origen para una topología localmente convexa en${\displaystyle X}$llamada la topología inducida por${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle (X,\tau )}$es un TVS entonces el espacio bornológico asociado con${\displaystyle X}$es el espacio vectorial${\displaystyle X}$dotado de la topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann de${\displaystyle (X,\tau ).}$^{[ 4 ]}

En análisis funcional, un espacio vectorial topológico localmente convexo es un espacio bornológico si su topología se puede recuperar de su bornología de forma natural.

Todo espacio cuasi-bornológico localmente convexo es bornológico, pero existen espacios bornológicos que no son cuasi-bornológicos. ^{[ 6 ]}

Un espacio vectorial topológico (TVS)${\displaystyle (X,\tau )}$con un doble continuo${\displaystyle X^{\prime }}$Se denomina espacio bornológico si es localmente convexo y se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada conjunto convexo, equilibrado y bornívoro en${\displaystyle X}$es un vecindario de cero. ^{[ 4 ]}
2. Todo operador lineal acotado desde${\displaystyle X}$en un TVS localmente convexo es continuo . ^{[ 4 ]}
   • Recordemos que una aplicación lineal es acotada si y solo si aplica cualquier secuencia que converge a${\displaystyle 0}$en el dominio a un subconjunto acotado del codominio. ^{[ 4 ]} En particular, cualquier aplicación lineal que sea secuencialmente continua en el origen es acotada.
3. Todo operador lineal acotado desde${\displaystyle X}$en un espacio seminorado es continuo. ^{[ 4 ]}
4. Todo operador lineal acotado desde${\displaystyle X}$en un espacio de Banach es continuo. ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ^{[ 7 ]}

5. La topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann en${\displaystyle X}$es lo mismo que${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle X}$topología dada.
6. Cada seminorma acotada en${\displaystyle X}$es continuo. ^{[ 4 ]}
7. Cualquier otra topología de espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff en${\displaystyle X}$que tiene la misma  bornología (von Neumann) que${\displaystyle (X,\tau )}$es necesariamente más grueso que${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de espacios normados. ^{[ 4 ]}
9. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de los espacios normados${\displaystyle X_{D}}$como${\displaystyle D}$varía sobre los discos cerrados y limitados de${\displaystyle X}$(o como${\displaystyle D}$varía sobre los discos delimitados de${\displaystyle X}$). ^{[ 4 ]}
10. ${\displaystyle X}$lleva la topología de Mackey${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$y todos los funcionales lineales acotados en${\displaystyle X}$son continuas. ^{[ 4 ]}
11. ${\displaystyle X}$posee las dos propiedades siguientes:
    • ${\displaystyle X}$es convexo-secuencial o C-secuencial , lo que significa que todo subconjunto convexo secuencialmente abierto de${\displaystyle X}$está abierto,
    • ${\displaystyle X}$es secuencialmente bornológico o S-bornológico , lo que significa que cada subconjunto convexo y bornívoro de${\displaystyle X}$se abre secuencialmente.

    donde un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$se denomina secuencialmente abierta si toda secuencia que converge a${\displaystyle 0}$eventualmente pertenece a${\displaystyle A.}$

Todo operador lineal secuencialmente continuo de un espacio bornológico localmente convexo a un espacio de valores propios localmente convexo es continuo, ^{[ 4 ]} donde recordemos que un operador lineal es secuencialmente continuo si y solo si es secuencialmente continuo en el origen. Por lo tanto, para aplicaciones lineales de un espacio bornológico a un espacio localmente convexo, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial en el origen. De manera más general, incluso tenemos lo siguiente:

• Cualquier mapa lineal${\displaystyle F:X\to Y}$desde un espacio bornológico localmente convexo a un espacio localmente convexo${\displaystyle Y}$que mapea secuencias nulas en${\displaystyle X}$a subconjuntos limitados de${\displaystyle Y}$es necesariamente continuo.

Como consecuencia del teorema de Mackey-Ulam, "a efectos prácticos, el producto de espacios bornológicos es bornológico". ^{[ 9 ]}

Los siguientes espacios vectoriales topológicos son todos bornológicos:

• Cualquier TVS pseudometrizable localmente convexo es bornológico. ^{[ 4 ] [ 10 ]}
  • Por lo tanto, todo espacio normado y espacio de Fréchet es bornológico.
• Cualquier límite inductivo estricto de los espacios bornológicos, en particular cualquier espacio LF estricto , es bornológico.
  • Esto demuestra que existen espacios bornológicos que no son metrizables.
• Un producto numerable de espacios bornológicos localmente convexos es bornológico. ^{[ 11 ] [ 10 ]}
• Los cocientes de espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. ^{[ 10 ]}
• La suma directa y el límite inductivo de los espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. ^{[ 10 ]}
• Los espacios de Fréchet Montel tienen duales fuertes bornológicos .
• El fuerte dual de todo espacio reflexivo de Fréchet es bornológico. ^{[ 12 ]}
• Si el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es separable , entonces es bornológico. ^{[ 12 ]}
• Un subespacio vectorial de un espacio bornológico localmente convexo de Hausdorff${\displaystyle X}$que tiene codimensión finita en${\displaystyle X}$es bornológico. ^{[ 4 ] [ 10 ]}
• La topología localmente convexa más fina en un espacio vectorial es bornológica. ^{[ 4 ]}

Contraejemplos

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte no es bornológico. ^{[ 13 ]}

Un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo no es necesariamente bornológico. ^{[ 4 ] [ 14 ]} Existe un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo que es completo (y por lo tanto secuencialmente completo) pero no es ni barril ni bornológico. ^{[ 4 ]}

Los espacios bornológicos no tienen por qué ser barrilizados y los espacios barrilizados no tienen por qué ser bornológicos. ^{[ 4 ]} Dado que todo espacio ultrabornológico localmente convexo es barrilizado, ^{[ 4 ]} se deduce que un espacio bornológico no es necesariamente ultrabornológico.

• El espacio dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo es completo . ^{[ 4 ]}
• Todo espacio bornológico localmente convexo es infrabarrilado . ^{[ 4 ]}
• Cada TVS bornológica secuencialmente completa de Hausdorff es ultrabornológica . ^{[ 4 ]}
  • Por lo tanto, todo espacio bornológico completo de Hausdorff es ultrabornológico.
  • En particular, todo espacio de Fréchet es ultrabornológico. ^{[ 4 ]}
• El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. ^{[ 4 ]}
• Todo espacio bornológico de Hausdorff es cuasi-barrilado . ^{[ 15 ]}
• Dado un espacio bornológico${\displaystyle X}$con doble continuo${\displaystyle X^{\prime },}$la topología de${\displaystyle X}$coincide con la topología de Mackey${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • En particular, los espacios bornológicos son espacios de Mackey .
• Todo espacio bornológico cuasi-completo (es decir, todos sus subconjuntos cerrados y acotados son completos) es barril . Sin embargo, existen espacios bornológicos que no son barril.
• Todo espacio bornológico es el límite inductivo de los espacios normados (y de los espacios de Banach si el espacio es además cuasi-completo).
• Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio localmente convexo metrizable con dual continuo.${\displaystyle X^{\prime }.}$Entonces, las siguientes son equivalentes:
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$es bornológico.
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$es casi un barril .
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$está en barril .
  4. ${\displaystyle X}$es un espacio distinguido .
• Si${\displaystyle L:X\to Y}$es una aplicación lineal entre espacios localmente convexos y si${\displaystyle X}$Si es bornológico, entonces los siguientes son equivalentes:
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$es continuo.
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$es secuencialmente continuo. ^{[ 4 ]}
  3. Para cada conjunto${\displaystyle B\subseteq X}$que está delimitado en${\displaystyle X,}$${\displaystyle L(B)}$está delimitado.
  4. Si${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$es una secuencia nula en${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$es una secuencia nula en${\displaystyle Y.}$
  5. Si${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$es una secuencia nula convergente de Mackey en${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$es un subconjunto acotado de${\displaystyle Y.}$
• Supongamos que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son TVS localmente convexos y que el espacio de mapas lineales continuos${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$está dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de${\displaystyle X.}$Si${\displaystyle X}$es un espacio bornológico y si${\displaystyle Y}$entonces está completo${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$es un TVS completo. ^{[ 4 ]}
  • En particular, el dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo es completo. ^{[ 4 ]} Sin embargo, no tiene por qué ser bornológico.

Subconjuntos

• En un espacio bornológico localmente convexo, todo conjunto bornívoro convexo${\displaystyle B}$es un barrio de${\displaystyle 0}$(${\displaystyle B}$no es necesario que sea un disco). ^{[ 4 ]}
• Todo subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un entorno del origen. ^{[ 4 ]}
• Los subespacios vectoriales cerrados del espacio bornológico no tienen por qué ser bornológicos. ^{[ 4 ]}

El producto finito de espacios ultrabornológicos es ultrabornológico. Los límites inductivos de espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.