functor de Mackey

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo finito . Un functor de Mackey${\displaystyle M}$para${\displaystyle G}$consta de:

• Para cada subgrupo${\displaystyle H\leq G}$, un grupo abeliano${\displaystyle M(H)}$,
• Para cada par de subgrupos${\displaystyle H,K\leq G}$con${\displaystyle H\subsetek K}$:
  • Un homomorfismo de restricción${\displaystyle R_{H}^{K}:M(K)\to M(H)}$,
  • Un homomorfismo de transferencia${\displaystyle I_{H}^{K}:M(H)\to M(K)}$.

Estos mapas deben satisfacer los siguientes axiomas:

Funtorialidad : Para subgrupos anidados${\displaystyle H\subseteq K\subseteq L}$,${\displaystyle R_{H}^{L}=R_{H}^{K}\circ R_{K}^{L}}$y${\displaystyle I_{H}^{L}=I_{K}^{L}\circ I_{H}^{K}}$.

Conjugación : Para cualquier${\displaystyle g\in G}$y${\displaystyle H\leq G}$, existen isomorfismos${\displaystyle c_{g}:M(H)\to M(gHg^{-1})}$compatible con restricción y transferencia.

Fórmula de clases laterales dobles : Para subgrupos${\displaystyle H,K\leq G}$Se cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle R_{H}^{G}I_{K}^{G}=\sum _{x\in [H\backslash G/K]}I_{H\cap xKx^{-1}}^{H}\circ c_{x}\circ R_{x^{-1}Hx\cap K}^{K}}$. ^{[ 1 ]}

En la teoría de categorías moderna , un functor de Mackey se puede definir de forma más elegante utilizando el lenguaje de los spans . Sea${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una cuasicategoría disyuntiva y${\displaystyle {\mathcal {A}}}$sea ​​una cuasicategoría aditiva. Un functor de Mackey es un functor que preserva el producto.${\displaystyle M:{\text{Span}}({\mathcal {C}})\to {\mathcal {A}}}$dónde${\displaystyle {\text{Span}}({\mathcal {C}})}$es la cuasi-categoría de correspondencias en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 3 ]}

Los functores de Mackey desempeñan un papel importante en la teoría de homotopía estable equivariante . Para una teoría genuina${\displaystyle G}$-espectro${\displaystyle E}$, sus grupos de homotopía equivariantes forman un functor de Mackey dado por:

${\displaystyle \pi _{n}(E):G/H\mapsto [G/H_{+}\wedge S^{n},X]^{G}}$

dónde${\displaystyle [-,-]^{G}}$denota morfismos en la categoría de homotopía estable equivariante. ^{[ 4 ]}

Para un complejo G-CW puntiagudo${\displaystyle X}$y un functor de Mackey${\displaystyle A}$, se puede definir una cohomología equivariante con coeficientes en${\displaystyle A}$como:

${\displaystyle H_{G}^{n}(X,A):=H^{n}({\text{Hom}}(C_{\bullet }(X),A))}$

dónde${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$es el complejo de cadenas de functores de Mackey dado por grupos de homotopía equivariantes estables de espacios cociente . ^{[ 5 ]}