Magma (álgebra)

En álgebra abstracta , un magma , binario ^[1] o, raramente, grupoide es un tipo básico de estructura algebraica . En concreto, un magma consiste en un conjunto dotado de una única operación binaria que debe ser cerrada por definición. No se imponen otras propiedades.

Historia y terminología

El término grupoide fue introducido en 1927 por Heinrich Brandt al describir su grupoide de Brandt . Luego, el término fue apropiado por B. A. Hausmann y Øystein Ore (1937) ^[2] en el sentido (de un conjunto con una operación binaria) utilizado en este artículo. En un par de revisiones de artículos posteriores en Zentralblatt , Brandt se mostró en total desacuerdo con esta sobrecarga de terminología. El grupoide de Brandt es un grupoide en el sentido utilizado en la teoría de categorías, pero no en el sentido utilizado por Hausmann y Ore. Sin embargo, libros influyentes en la teoría de semigrupos, incluidos Clifford y Preston (1961) y Howie (1995), utilizan grupoide en el sentido de Hausmann y Ore. Hollings (2014) escribe que el término grupoide es "quizás el más utilizado en las matemáticas modernas" en el sentido que se le da en la teoría de categorías. ^[3]

Según Bergman y Hausknecht (1996): "No existe una palabra generalmente aceptada para un conjunto con una operación binaria no necesariamente asociativa. La palabra grupoide es utilizada por muchos algebristas universales, pero los trabajadores de la teoría de categorías y áreas relacionadas se oponen firmemente a este uso porque utilizan la misma palabra para significar 'categoría en la que todos los morfismos son invertibles'. El término magma fue utilizado por Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]". ^[4] También aparece en Bourbaki 's Éléments de mathématique , Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970. [ ^5]

Definición

Un magma es un conjunto M que se corresponde con una operación • que envía dos elementos cualesquiera a , b ∈ M a otro elemento, a • b ∈ M . El símbolo • es un marcador de posición general para una operación correctamente definida. Para calificar como magma, el conjunto y la operación ( M , •) deben satisfacer el siguiente requisito (conocido como propiedad de magma o de clausura ):

Para todo a , b en M , el resultado de la operación a • b también está en M .

Y en notación matemática:

a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

Si • es en cambio una operación parcial , entonces ( M , •) se denomina magma parcial ^[6] o, más a menudo, grupoide parcial . ^[6]^[7]

Morfismo de los magmas

Un morfismo de magmas es una función f : M → N que asigna magma ( M , •) a magma ( N , ∗) que preserva la operación binaria:

f ( x • y ) = f ( x ) ∗ f ( y ).

Por ejemplo, con M igual a los números reales positivos y * como media geométrica , N igual a la recta numérica real y • como media aritmética , un logaritmo f es un morfismo del magma ( M , *) a ( N , •).

prueba:

\log {\sqrt {xy}}\ =\ {\frac {\log x+\log y}{2}}

Obsérvese que estos magmas conmutativos no son asociativos ni tienen un elemento de identidad . Este morfismo de magmas se ha utilizado en economía desde 1863, cuando W. Stanley Jevons calculó la tasa de inflación de 39 productos básicos en Inglaterra en su libro A Serious Fall in the Value of Gold Ascertained , página 7.

Notación y combinatoria

La operación magma puede aplicarse repetidamente y, en el caso general, no asociativo, el orden importa, lo que se indica entre paréntesis. Además, la operación • suele omitirse y se indica por yuxtaposición:

(a • (b • c)) • d \equiv (a (bc)) d

.

Para reducir el número de paréntesis se suele utilizar una abreviatura en la que se omiten las operaciones más internas y los pares de paréntesis, y se sustituyen simplemente por la yuxtaposición: $xy • z \equiv (x • y) • z$ . Por ejemplo, lo anterior se abrevia a la siguiente expresión, que todavía contiene paréntesis:

(a • bc) d

.

Una forma de evitar por completo el uso de paréntesis es la notación de prefijo , en la que la misma expresión se escribiría $•• a • bcd$ . Otra forma, familiar para los programadores, es la notación de posfijo ( notación polaca inversa ), en la que la misma expresión se escribiría $abc •• d •$ , en la que el orden de ejecución es simplemente de izquierda a derecha (sin currificación ).

El conjunto de todas las cadenas posibles que consisten en símbolos que denotan elementos del magma y conjuntos de paréntesis balanceados se llama lenguaje Dyck . El número total de diferentes formas de escribir $n$ aplicaciones del operador magma está dado por el número de Catalan $C n$ . Así, por ejemplo, $C 2 = 2$ , que es simplemente la afirmación de que $(ab) c$ y $a (bc)$ son las únicas dos formas de emparejar tres elementos de un magma con dos operaciones. De manera menos trivial, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(a (bc)) d$ , $(ab)(cd)$ , $a ((bc) d)$ y $a (b (cd))$ .

Hay $n n 2$ magmas con $n$ elementos, por lo que hay 1, 1, 16, 19683,4 294 967 296 , ... (secuencia A002489 en la OEIS ) magmas con 0, 1, 2, 3, 4, ... elementos. Los números correspondientes de magmas no isomorfos son 1, 1, 10, 3330,178 981 952 , ... (secuencia A001329 en la OEIS ) y los números de magmas simultáneamente no isomorfos y no antiisomorfos son 1, 1, 7, 1734,89 521 056 , ... (secuencia A001424 en la OEIS ). ^[8]

Magma libre

Un magma libre M _X sobre un conjunto X es el magma "más general posible" generado por X (es decir, no hay relaciones ni axiomas impuestos sobre los generadores; ver objeto libre ). La operación binaria sobre M _X se forma envolviendo cada uno de los dos operandos entre paréntesis y yuxtaponiéndolos en el mismo orden. Por ejemplo:

a • b = (a)(b),

a • (a • b) = (a)((a)(b)),

(a • a) • b = ((a)(a))(b).

M _X puede describirse como el conjunto de palabras no asociativas en X con paréntesis conservados. ^[9]

También puede verse, en términos familiares en informática , como el magma de árboles binarios completos con hojas etiquetadas por elementos de X. La operación es la de unir árboles en la raíz. Por lo tanto, tiene un papel fundamental en la sintaxis .

Un magma libre tiene la propiedad universal de que si f : X → N es una función de X a cualquier magma N , entonces existe una extensión única de f a un morfismo de magmas f ′

f ′ : MX → N .

Tipos de magma

Los magmas no suelen estudiarse como tales; en cambio, existen varios tipos diferentes de magma, según los axiomas que se requiera que satisfaga la operación. Los tipos de magma que se estudian habitualmente incluyen:

Cuasigrupo : Un magma donde la división siempre es posible.
- Bucle : Un cuasigrupo con un elemento identidad .
Semigrupo : Magma donde el funcionamiento es asociativo .
- Monoide : Un semigrupo con un elemento identidad.
Grupo : Un magma con inversa, asociatividad y un elemento identidad.

Nótese que tanto la divisibilidad como la invertibilidad implican la propiedad de cancelación .

Magmas con conmutatividad

Magma conmutativo : Un magma con conmutatividad.
Monoide conmutativo : Un monoide con conmutatividad.
Grupo abeliano : Grupo con conmutatividad.

Clasificación por propiedades

Un magma $(S, •)$ , con $x, y, u, z$ ∈ $S$ , se llama

Medio: Si satisface la identidad $xy • uz \equiv xu • yz$
Semimedial izquierdo: Si satisface la identidad $xx • yz \equiv xy • xz$
Semimedial derecho: Si satisface la identidad $yz • xx \equiv yx • zx$
Semimedial: Si es semimedial tanto izquierdo como derecho
Distributiva izquierda: Si satisface la identidad $x • yz \equiv xy • xz$
Distributiva derecha: Si satisface la identidad $yz • x \equiv yx • zx$
Autodistributivo: Si es distributiva tanto izquierda como derecha
Conmutativo: Si satisface la identidad $xy \equiv yx$
Idempotente: Si satisface la identidad $xx \equiv x$
Unipotente: Si satisface la identidad $xx \equiv yy$
Ceropotente: Si satisface las identidades $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]
Alternativa: Si satisface las identidades $xx • y \equiv x • xy$ y $x • yy \equiv xy • y$
Asociativo de potencia: Si el submagma generado por cualquier elemento es asociativo
Flexible: si $xy • x \equiv x • yx$
De asociación: Si satisface la identidad $x • yz \equiv xy • z$ , llamado semigrupo
Un unar izquierdo: Si satisface la identidad $xy \equiv xz$
Un unar derecho: Si satisface la identidad $yx \equiv zx$
Semigrupo con multiplicación por cero, o semigrupo nulo: Si satisface la identidad $xy \equiv uv$
Unitario: Si tiene un elemento de identidad
Izquierda- cancelativa: Si, para todos $los x, y, z$ , la relación $xy = xz$ implica $y = z$
Cancelatorio derecho: Si, para todo $x, y, z$ , la relación $yx = zx$ implica $y = z$
Cancelatoria: Si es tanto cancelativa derecha como cancelativa izquierda
Un semigrupo con ceros a la izquierda: Si es un semigrupo y satisface la identidad $xy \equiv x$
Un semigrupo con ceros a la derecha: Si es un semigrupo y satisface la identidad $yx \equiv x$
Trimediano: Si cualquier triple de elementos (no necesariamente distintos) genera un submagma medial
Entrópico: Si se trata de una imagen homomórfica de un magma de cancelación medial . ^[11]

Número de magmas que satisfacen propiedades dadas

Categoría de magmas

La categoría de magmas, denominada Mag , es la categoría cuyos objetos son magmas y cuyos morfismos son homomorfismos de magmas. La categoría Mag tiene productos directos y existe un funtor de inclusión : Set → Med ↪ Mag como magmas triviales, con operaciones dadas por proyección $x T y = y$ .

Una propiedad importante es que un endomorfismo inyectivo puede extenderse a un automorfismo de una extensión de magma , justo el colimite del ( secuencia constante del) endomorfismo .

Debido a que el singleton $({*}, *)$ es el objeto terminal de Mag , y debido a que Mag es algebraico , Mag es puntiagudo y completo . ^[12]

Véase también

Categoría de magma
Álgebra universal
Sistema de álgebra computacional Magma , llamado así por el objeto de este artículo.
Magma conmutativo
Estructuras algebraicas cuyos axiomas son todas identidades
Álgebra de grupos
Conjunto de salón

Referencias

^ Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados, CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2
^ Hausmann, BA; Ore, Øystein (octubre de 1937), "Teoría de cuasigrupos", American Journal of Mathematics , 59 (4): 983–1004, doi :10.2307/2371362, JSTOR 2371362 .
^ Hollings, Christopher (2014), Matemáticas al otro lado de la Cortina de Hierro: Una historia de la teoría algebraica de semigrupos, American Mathematical Society, págs. 142-143, ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogrupos y co-anillos en categorías de anillos asociativos, American Mathematical Society, pág. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7.
^ Bourbaki, N. (1998) [1970], "Estructuras algebraicas: §1.1 Leyes de composición: Definición 1", Álgebra I: Capítulos 1–3 , Springer, pág. 1, ISBN 978-3-540-64243-5.
^ ab Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, eds. (2012), Associahedra, Tamari Lattices y estructuras relacionadas: Tamari Memorial Festschrift, Springer, p. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9.
^ Evseev, AE (1988), "Un estudio de grupoides parciales", en Silver, Ben (ed.), Diecinueve artículos sobre semigrupos algebraicos , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1.
^ Weisstein, Eric W. "Grupoide". MathWorld .
^ Rowen, Louis Halle (2008), "Definición 21B.1.", Álgebra de posgrado: visión no conmutativa , Estudios de posgrado en matemáticas , American Mathematical Society , pág. 321, ISBN 978-0-8218-8408-9.
^ Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Grupoides equilibrados simples" (PDF) , Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultades Rerum Naturalium. Matemática , 35 (1): 53–60.
^ Ježek, Jaroslav; Kepka, Tomáš (1981), "Grupoides entrópicos libres" (PDF) , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , 22 (2): 223–233, SEÑOR 0620359 .
^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, categorías protomodulares, homológicas y semi-abelianas. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.

Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Magma", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Grupoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Magma libre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Weisstein, Eric W. "Grupoide". MathWorld .

Lectura adicional

Bruck, Richard Hubert (1971), Un estudio de los sistemas binarios (3.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

[1] Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados, CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2

[2] Hausmann, BA; Ore, Øystein (octubre de 1937), "Teoría de cuasigrupos", American Journal of Mathematics , 59 (4): 983–1004, doi :10.2307/2371362, JSTOR 2371362 .

[Hollings2014-3] Hollings, Christopher (2014), Matemáticas al otro lado de la Cortina de Hierro: Una historia de la teoría algebraica de semigrupos, American Mathematical Society, págs. 142-143, ISBN 978-1-4704-1493-1.

[BergmanHausknecht1996-4] Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogrupos y co-anillos en categorías de anillos asociativos, American Mathematical Society, pág. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7.

[Bourbaki1998-5] Bourbaki, N. (1998) [1970], "Estructuras algebraicas: §1.1 Leyes de composición: Definición 1", Álgebra I: Capítulos 1–3 , Springer, pág. 1, ISBN 978-3-540-64243-5.

[Müller-HoissenPallo2012-6] Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, eds. (2012), Associahedra, Tamari Lattices y estructuras relacionadas: Tamari Memorial Festschrift, Springer, p. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9.

[Silver-7] Evseev, AE (1988), "Un estudio de grupoides parciales", en Silver, Ben (ed.), Diecinueve artículos sobre semigrupos algebraicos , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1.

[8] Weisstein, Eric W. "Grupoide". MathWorld .

[9] Rowen, Louis Halle (2008), "Definición 21B.1.", Álgebra de posgrado: visión no conmutativa , Estudios de posgrado en matemáticas , American Mathematical Society , pág. 321, ISBN 978-0-8218-8408-9.

[10] Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Grupoides equilibrados simples" (PDF) , Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultades Rerum Naturalium. Matemática , 35 (1): 53–60.

[11] Ježek, Jaroslav; Kepka, Tomáš (1981), "Grupoides entrópicos libres" (PDF) , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , 22 (2): 223–233, SEÑOR 0620359 .

[12] Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, categorías protomodulares, homológicas y semi-abelianas. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.