ecuación de Majorana

El punto de partida convencional es afirmar que "la ecuación de Dirac se puede escribir en forma hermitiana ", cuando las matrices gamma se toman en la representación de Majorana . La ecuación de Dirac se escribe entonces como ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

con${\displaystyle {\sombrero {\alpha }}}$siendo matrices simétricas puramente reales de 4×4, y${\displaystyle \beta }$siendo antisimétrico puramente imaginario; como se requiere para asegurar que el operador (esa parte dentro de los paréntesis) sea hermitiano. En este caso, se pueden encontrar soluciones de 4 espinores puramente reales para la ecuación; estos son los espinores de Majorana .

La ecuación de Majorana es

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

con el operador derivado${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$escrito en notación de barra de Feynman para incluir las matrices gamma así como una suma sobre los componentes espinoriales. El espinor${\textstyle \,\psi _{c}\,}$es la carga conjugada de${\textstyle \,\psi \,.}$Por construcción, los conjugados de carga están necesariamente dados por

${\displaystyle \psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~}$

dónde${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$denota la transpuesta ,${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$es un factor de fase arbitrario${\displaystyle \,|\eta _ {c}|=1\,,}$convencionalmente se toma como${\displaystyle \,\eta _ {c}=1\,,}$y${\displaystyle \,C\,}$es una matriz de 4×4, la matriz de conjugación de carga . La representación matricial de${\displaystyle \,C\,}$depende de la elección de la representación de las matrices gamma . Por convención, el espinor conjugado se escribe como

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

De la matriz de conjugación de carga se derivan varias identidades algebraicas.${\displaystyle C.}$^{[ a ]} ​​Se afirma que en cualquier representación de lasmatrices gamma, incluidas las representaciones de Dirac, Weyl y Majorana, que${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$y así se puede escribir

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

dónde${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$es el conjugado complejo de${\displaystyle \,\psi \,.}$La matriz de conjugación de carga${\displaystyle \,C\,}$también tiene la propiedad de que

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

en todas las representaciones (Dirac, quiral, Majorana). A partir de esto, y con un poco de álgebra, se puede obtener la ecuación equivalente:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Una discusión detallada de la interpretación física de la matriz${\displaystyle C}$La conjugación de carga se puede encontrar en el artículo sobre conjugación de carga . En resumen, está involucrada en el mapeo de partículas a sus antipartículas , lo que incluye, entre otras cosas, la inversión de la carga eléctrica . Aunque${\displaystyle \psi ^{c}}$se define como "el conjugado de carga" de${\displaystyle \psi ,}$El operador de conjugación de carga tiene no uno, sino dos autovalores. Esto permite definir un segundo espinor, el espinor ELKO . Este tema se analiza con mayor detalle más adelante.

El operador Majorana ,${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$se define como

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

dónde

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

es un vector cuyos componentes son la matriz identidad de 2×2${\displaystyle \,I_{2}\,}$para${\displaystyle \,\mu =0\,}$y (menos) las matrices de Pauli para${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$El${\displaystyle \,\eta \,}$es un factor de fase arbitrario ,${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$generalmente se toma como uno:${\displaystyle \,\eta =1\,.}$El${\displaystyle \,\omega \,}$es una matriz de 2×2 que puede interpretarse como la forma simpléctica para el grupo simpléctico${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$que es una doble cobertura del grupo de Lorentz . Es

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

que resulta ser isomorfo a la unidad imaginaria " i " (es decir,${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$y${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$para${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$) siendo la transpuesta de la matriz el análogo de la conjugación compleja .

Finalmente, el${\displaystyle \,K\,}$es un recordatorio abreviado para tomar el conjugado complejo. La ecuación de Majorana para un espinor de dos componentes de valor complejo zurdo${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$es entonces

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

con${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$el conjugado complejo de${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$En esta sección , el subíndice L se utiliza para denotar un espinor quiral levógiro ; mediante una transformación de paridad , este se puede transformar en un espinor dextrógiro, obteniéndose así una forma dextrógira de la ecuación. Esto también se aplica a la ecuación de cuatro componentes; a continuación se presentan más detalles.

La ecuación de Weyl describe la evolución temporal de un espinor de dos componentes de valor complejo sin masa . Se escribe convencionalmente como ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ].}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Escrito explícitamente, es

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

El cuadrivector de Pauli es

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

es decir, un vector cuyos componentes son la matriz identidad de 2 × 2${\displaystyle I_{2}}$para μ = 0 y las matrices de Pauli para μ = 1, 2, 3. Bajo la transformación de paridad${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$se obtiene una ecuación dual

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

dónde${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$Estas son dos formas distintas de la ecuación de Weyl; sus soluciones también lo son. Se puede demostrar que las soluciones tienen helicidad levógira y dextrógira , y por lo tanto quiralidad . Es convencional etiquetar explícitamente estas dos formas distintas, así:

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

La ecuación de Weyl describe una partícula sin masa ; la ecuación de Majorana añade un término de masa. La masa debe introducirse de forma invariante de Lorentz . Esto se logra observando que el grupo lineal especial${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$es isomorfo al grupo simpléctico${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$Ambos grupos son versiones dobles del grupo Lorentz.${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$La invariancia de Lorentz del término derivado (de la ecuación de Weyl) se formula convencionalmente en términos de la acción del grupo.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$en espinores, mientras que la invariancia de Lorentz del término de masa requiere la invocación de la relación definitoria para el grupo simpléctico.

El recubrimiento doble del grupo de Lorentz viene dado por

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

dónde${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$y${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$y${\displaystyle S^{\dagger }}$es la transpuesta hermitiana . Esto se utiliza para relacionar las propiedades de transformación de los diferenciales bajo una transformación de Lorentz.${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$a las propiedades de transformación de los espinores.

El grupo simpléctico${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$se define como el conjunto de todas las matrices complejas de 2×2${\displaystyle S}$que satisfacen

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

es una matriz antisimétrica . Se utiliza para definir una forma bilineal simpléctica en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$Escribir un par de vectores bidimensionales arbitrarios${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$como

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

El producto simpléctico es

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

dónde${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$es la transpuesta de${\displaystyle u~.}$ Esta forma es invariante bajo transformaciones de Lorentz, en el sentido de que

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

La matriz sesgada toma las matrices de Pauli para restarles su transpuesta:

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

para${\displaystyle k=1,2,3.}$La matriz sesgada puede interpretarse como el producto de una transformación de paridad y una transposición que actúa sobre dos espinores. Sin embargo, como se destacará en una sección posterior, también puede interpretarse como uno de los componentes del operador de conjugación de carga , siendo el otro componente la conjugación compleja . Al aplicarla a la transformación de Lorentz se obtiene

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Estas dos variantes describen las propiedades de covarianza de los diferenciales que actúan sobre los espinores izquierdo y derecho, respectivamente.

Bajo la transformación de Lorentz${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$El término diferencial se transforma como

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

siempre que el campo diestro se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

De manera similar, las transformaciones diferenciales zurdas como

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

siempre que el espinor zurdo se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

El conjugado complejo del campo espinorial dextrógiro se transforma como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

La relación definitoria para${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$puede reescribirse como${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$ De esto se concluye que el campo asimétrico complejo se transforma como

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Esto es totalmente compatible con la propiedad de covarianza del diferencial. Tomando${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$ser un factor de fase complejo arbitrario, la combinación lineal

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

se transforma de forma covariante. Si se establece en cero, se obtiene la ecuación de Majorana compleja de dos componentes para el campo diestro. De manera similar, la ecuación de Majorana quiral izquierda (que incluye un factor de fase arbitrario)${\displaystyle \zeta }$) es

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Las versiones quirales izquierda y derecha están relacionadas por una transformación de paridad . Como se muestra a continuación, estas son cuadradas al operador de Klein-Gordon solo si${\displaystyle \eta =\zeta .}$El complejo conjugado asimétrico${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$puede ser reconocido como la forma conjugada de carga de${\displaystyle \psi ~;}$Esto se explica con mayor detalle más adelante. Así, la ecuación de Majorana puede interpretarse como una ecuación que relaciona un espinor con su forma conjugada de carga.

Defina un par de operadores, los operadores de Majorana,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle K}$es un recordatorio abreviado para tomar el conjugado complejo. Bajo las transformaciones de Lorentz, estos se transforman como

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

mientras que los espinores de Weyl se transforman como

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

igual que arriba. Por lo tanto, las combinaciones coincidentes de estos son covariantes de Lorentz, y uno puede tomar

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

como un par de ecuaciones de Majorana complejas de 2 espinores.

Los productos${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$y${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$son ambos covariantes de Lorentz. El producto es explícitamente

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Para verificar esto es necesario tener en cuenta que${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$y eso${\displaystyle Ki=-iK~.}$El lado derecho se reduce al operador Klein-Gordon siempre que${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$, eso es,${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$ Estos dos operadores de Majorana son, por lo tanto, "raíces cuadradas" del operador de Klein-Gordon.

Bajo paridad, los espinores levógiros se transforman en espinores dextrógiros. Los dos autovectores del operador de conjugación de carga, nuevamente en la base de Weyl, son

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Como antes, ambas resuelven la ecuación de Majorana de cuatro componentes, pero solo una también resuelve la ecuación de Dirac. Esto se puede demostrar construyendo la ecuación de cuatro componentes de paridad dual. Esta toma la forma

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

dónde

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Dado el espinor de dos componentes${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$define su conjugado como${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$No es difícil demostrar que${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$y que por lo tanto, si${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$entonces también${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$y por lo tanto que

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

o equivalentemente

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Esto funciona porque${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$y así se reduce a la ecuación de Dirac para

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Para concluir y reiterar, la ecuación de Majorana es

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

Tiene cuatro soluciones no equivalentes y linealmente independientes,${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$De estos, solo dos son también soluciones de la ecuación de Dirac: a saber:${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$y${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

Un punto de partida conveniente para escribir las soluciones es trabajar en el marco de referencia en reposo de los espinores. Escribiendo el hamiltoniano cuántico con la convención de signos convencional.${\displaystyle H=i\partial _{t}}$conduce a que la ecuación de Majorana tome la forma

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

En la base quiral (Weyl), se tiene que

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

con${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$el vector de Pauli . La convención de signos aquí es consistente con el artículo matrices gamma . Sustituyendo el autoestado de conjugación de carga positiva${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$Dado lo anterior, se obtiene una ecuación para el espinor de dos componentes.

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

y asimismo

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

Estas dos son en realidad la misma ecuación, lo cual se puede verificar al observar que${\displaystyle \sigma _{2}}$produce el conjugado complejo de las matrices de Pauli:

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

Las soluciones de onda plana se pueden desarrollar para la energía-momento.${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$y se pueden expresar más fácilmente en el sistema de referencia en reposo. La solución de giro en el sistema de referencia en reposo es

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

mientras que la solución de desaceleración es

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

Que se están interpretando correctamente se puede ver al reexpresarlos en la base de Dirac, como espinores de Dirac . En este caso, toman la forma

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

Estos son los espinores en el sistema de referencia propio. Pueden considerarse como una combinación lineal de las soluciones de energía positiva y negativa de la ecuación de Dirac. Estas son las únicas dos soluciones; la ecuación de Majorana solo tiene dos soluciones linealmente independientes, a diferencia de la ecuación de Dirac, que tiene cuatro. La duplicación de los grados de libertad de la ecuación de Dirac se debe a que los espinores de Dirac portan carga.

En un marco de momento general, el espinor de Majorana se puede escribir como

Las partículas correspondientes a los espinores de Majorana se conocen como partículas de Majorana , debido a la restricción de autoconjugación mencionada anteriormente. Todos los fermiones incluidos en el Modelo Estándar han sido excluidos como fermiones de Majorana (ya que tienen carga eléctrica distinta de cero, no pueden ser antipartículas de sí mismos), con la excepción del neutrino (que es neutro).

Teóricamente, el neutrino podría ser una excepción a este patrón. De ser así, serían posibles la desintegración beta doble sin neutrinos , así como una serie de desintegraciones de mesones y leptones cargados que violan el número leptónico . Actualmente se están llevando a cabo varios experimentos para determinar si el neutrino es una partícula de Majorana. ^{[ 14 ]}