partición de Markov

En matemáticas, una partición de Markov es una herramienta utilizada en la teoría de sistemas dinámicos que permite aplicar los métodos de la dinámica simbólica al estudio de la dinámica hiperbólica . Mediante una partición de Markov, el sistema puede asemejarse a un proceso de Markov de tiempo discreto , cuyas características dinámicas a largo plazo se representan como un desplazamiento de Markov . El término «Markov» es apropiado porque la dinámica resultante del sistema obedece a la propiedad de Markov . De este modo, la partición de Markov permite aplicar técnicas estándar de la dinámica simbólica , como el cálculo de valores esperados , correlaciones , entropía topológica , funciones zeta topológicas , determinantes de Fredholm , entre otras.

Dejar${\displaystyle (M,\varphi )}$sea ​​un sistema dinámico discreto. Un método básico para estudiar su dinámica es encontrar una representación simbólica : una codificación fiel de los puntos de${\displaystyle M}$mediante secuencias de símbolos tales que el mapa${\displaystyle \varphi }$se convierte en el mapa de desplazamiento .

Supongamos que${\displaystyle M}$se ha dividido en varias piezas${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}$que se consideran pequeños y localizados, prácticamente sin superposiciones. El comportamiento de un punto${\displaystyle x}$bajo las iteraciones de${\displaystyle \varphi }$se puede rastrear mediante grabación, para cada${\displaystyle n}$, la parte${\displaystyle E_{i}}$que contiene${\displaystyle \varphi ^{n}(x)}$Esto da como resultado una secuencia infinita en el alfabeto.${\displaystyle \{1,2,\ldots ,r\}}$que codifica el punto. En general, esta codificación puede ser imprecisa (la misma secuencia puede representar muchos puntos diferentes) y el conjunto de secuencias que surgen de esta manera puede ser difícil de describir. Bajo ciertas condiciones, que se explicitan en la definición rigurosa de una partición de Markov, la asignación de la secuencia a un punto de${\displaystyle M}$se convierte en un mapa casi uno a uno cuya imagen es un sistema dinámico simbólico de un tipo especial llamado desplazamiento de tipo finito . En este caso, la representación simbólica es una herramienta poderosa para investigar las propiedades del sistema dinámico.${\displaystyle (M,\varphi )}$.

Una partición de Markov ^{[ 1 ]} es una cubierta finita del conjunto invariante de la variedad por un conjunto de rectángulos curvilíneos.${\displaystyle \{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}\}}$de tal manera que

• Para cualquier par de puntos${\displaystyle x,y\in E_{i}}$, eso${\displaystyle W_{s}(x)\cap W_{u}(y)\in E_{i}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}\cap \operatorname {Int} E_{j}=\emptyset }$para${\displaystyle i\neq j}$
• Si${\displaystyle x\in \operatorname {Int} E_{i}}$y${\displaystyle \varphi (x)\in \operatorname {Int} E_{j}}$, entonces

${\displaystyle \varphi \left[W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{u}(\varphi x)\cap E_{j}}$

${\displaystyle \varphi \left[W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}}$

Aquí,${\displaystyle W_{u}(x)}$y${\displaystyle W_{s}(x)}$son las variedades inestables y estables de x , respectivamente, y${\displaystyle \operatorname {Int} E_{i}}$simplemente denota el interior de${\displaystyle E_{i}}$.

Estas dos últimas condiciones pueden entenderse como una declaración de la propiedad de Markov para la dinámica simbólica; es decir, el movimiento de una trayectoria de una cubierta abierta a la siguiente está determinado únicamente por la cubierta más reciente, y no por la historia del sistema. Es esta propiedad de la cubierta la que justifica la denominación de «Markov». La dinámica resultante es la de un desplazamiento de Markov ; que esto sea así se debe a los teoremas de Yakov Sinai (1968) ^{[ 2 ]} y Rufus Bowen (1975) ^{[ 3 ]} , lo que proporciona a la dinámica simbólica una base sólida.

Se encuentran variantes de la definición, que corresponden a condiciones sobre la geometría de las piezas.${\displaystyle E_{i}}$. ^{[ 4 ]}

Se han construido particiones de Markov en diversas situaciones.

• Difeomorfismos de Anosov del toro .
• Billar dinámico , en cuyo caso la cobertura es contable.

Las particiones de Markov hacen que las órbitas homoclinicas y heteroclinicas sean particularmente fáciles de describir.

El sistema${\displaystyle ([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)}$tiene la partición de Markov${\displaystyle E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)}$y en este caso la representación simbólica de un número real en${\displaystyle [0,1)}$es su expansión binaria. Por ejemplo:${\displaystyle x\in E_{0},Tx\in E_{1},T^{2}x\in E_{1},T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110...)_{2}}$. La asignación de puntos de${\displaystyle [0,1)}$a sus secuencias en la partición de Markov está bien definido excepto en los racionales diádicos - moralmente hablando, esto se debe a${\displaystyle (0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}}$, del mismo modo que${\displaystyle 1=0.999\dots }$en expansiones decimales.

• Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). Introducción a la dinámica simbólica y la codificación . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55124-3. Zbl 1106.37301 . Archivado del original el 22-06-2016 . Recuperado el 24-02-2013 . 
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol.  1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl 1014.11015 .