Número de Markov

Un  número de Markov o número de Markoff es un entero positivo x , y o z que es parte de una solución a la ecuación diofántica de Markov.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

estudiado por Andrey Markoff  (1879, 1880).

Los primeros números de Markov son

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (secuencia A002559 en la OEIS )

apareciendo como coordenadas de las tripletas de Markov

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...

Hay infinitos números de Markov y triples de Markov.

Hay dos formas sencillas de obtener una nueva terna de Markov a partir de una antigua ( x ,  y ,  z ). En primer lugar, se pueden permutar los 3 números x , y , z , de modo que en particular se pueden normalizar las ternas de modo que x  ≤  y  ≤  z . En segundo lugar, si ( x ,  y ,  z ) es una terna de Markov entonces también lo es ( x ,  y , 3 xy  −  z ). Al aplicar esta operación dos veces se obtiene la misma terna con la que se empezó. Al unir cada terna de Markov normalizada a las 1, 2 o 3 ternas normalizadas que se pueden obtener a partir de esto se obtiene un grafo que comienza en (1,1,1) como en el diagrama. Este grafo está conexo ; en otras palabras, cada terna de Markov se puede conectar a (1,1,1) mediante una secuencia de estas operaciones. ^[1] Si uno comienza, por ejemplo, con (1, 5, 13) obtenemos sus tres vecinos (5, 13, 194) , (1, 13, 34) y (1, 2, 5) en el árbol de Markov si z se establece en 1, 5 y 13, respectivamente. Por ejemplo, comenzando con (1, 1, 2) e intercambiando y y z antes de cada iteración de la transformación, se obtienen triples de Markov con números de Fibonacci . Comenzando con ese mismo triplete e intercambiando x y z antes de cada iteración, se obtienen los triples con números de Pell .

Todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 2 son números de Pell de índice impar (o números n tales que 2 n ²  − 1 es un cuadrado , OEIS : A001653 ), y todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 1 son números de Fibonacci de índice impar ( OEIS : A001519 ). Por lo tanto, hay infinitos triples de Markov de la forma

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

donde F _k es el k- ésimo número de Fibonacci . Asimismo, existen infinitos triples de Markov de la forma

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

donde P _k es el k- ésimo número de Pell . ^[2]

Aparte de los dos triples singulares más pequeños (1, 1, 1) y (1, 1, 2), cada triple de Markov consta de tres números enteros distintos. ^[3]

La conjetura de unicidad , como señaló Frobenius en 1913, ^[4] establece que para un número de Markov dado c , hay exactamente una solución normalizada que tiene c como su elemento más grande: se han afirmado pruebas de esta conjetura , pero ninguna parece ser correcta. ^[5] Martin Aigner ^[6] examina varias variantes más débiles de la conjetura de unicidad. Su conjetura del numerador fijo fue demostrada por Rabideau y Schiffler en 2020, ^[7] mientras que la conjetura del denominador fijo y la conjetura de la suma fija fueron demostradas por Lee, Li, Rabideau y Schiffler en 2023. ^[8]

Ninguno de los divisores primos de un número de Markov es congruente con 3 módulo 4, lo que implica que un número de Markov impar es 1 más que un múltiplo de 4. ^[9] Además, si es un número de Markov entonces ninguno de los divisores primos de es congruente con 3 módulo 4. Un número de Markov par es 2 más que un múltiplo de 32. ^[10]${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización 9m^{2}-4}$

En su artículo de 1982, Don Zagier conjeturó que el n -ésimo número de Markov está dado asintóticamente por

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{con }}C=2,3523414972\ldots \,.}$

El error se representa gráficamente a continuación. ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$

Además, señaló que , una aproximación de la ecuación diofántica original, es equivalente a con f ( t ) = arcosh (3 t /2). ^[11] La conjetura fue demostrada ^{[ disputada – discutida ]} por Greg McShane e Igor Rivin en 1995 utilizando técnicas de geometría hiperbólica . ^[12]${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$

El n -ésimo número de Lagrange se puede calcular a partir del n -ésimo número de Markov con la fórmula

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \sobre {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Los números de Markov son sumas de pares de cuadrados (no únicos).

Markoff (1879, 1880) demostró que si

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

es una forma cuadrática binaria indefinida con coeficientes reales y discriminante , entonces hay números enteros x ,  y para los cuales f toma un valor distinto de cero de valor absoluto como máximo $Estilo de visualización D=b^{2}-4ac$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

a menos que f sea una forma de Markov : ^[13] una constante multiplicada por una forma

$Estilo de visualización px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

de tal manera que

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

donde ( p ,  q ,  r ) es un triple de Markov.

Sea tr la función traza sobre las matrices . Si X e Y están en SL ₂ ( ), entonces ${\displaystyle \mathbb {C}}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

Así que si entonces ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

En particular, si X e Y también tienen entradas enteras, entonces tr( X )/3, tr( Y )/3 y tr( XY )/3 son una terna de Markov. Si X ⋅ Y ⋅ Z  =  I entonces tr( XtY ) = tr( Z ), por lo que, de manera más simétrica, si X , Y y Z están en SL ₂ ( ) con X ⋅ Y ⋅ Z  = I y el conmutador de dos de ellos tiene traza −2, entonces sus trazas/3 son una terna de Markov. ^[14]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Espectro de Markov

• Aigner, Martin (29 de julio de 2013). El teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad: un viaje matemático desde los números irracionales hasta las correspondencias perfectas . Cham Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5.Sr. 3098784  .
• Cassels, JWS (1957). Introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press . Zbl  0077.04801.
• Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange . Encuestas y monografías de matemáticas. Vol. 30. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-1531-8.Zbl 0685.10023  .
• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Springer-Verlag . Págs. 263-265. ISBN. 0-387-20860-7.Zbl 1058.11001  .
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Problema del espectro de Markov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Annalen Matemáticas . Springer Berlín/Heidelberg. ISSN  0025-5831.

Markoff, A. (1879). "Primera memoria". Annalen Matemáticas . 15 (3–4): 381–406. doi :10.1007/BF02086269. S2CID  179177894.

Markoff, A. (1880). "Segunda memoria". Annalen Matemáticas . 17 (3): 379–399. doi :10.1007/BF01446234. S2CID  121616054.