El máximo de Martin

En la teoría de conjuntos , una rama de la lógica matemática , el máximo de Martin , introducido por Foreman, Magidor y Shelah (1988) y que recibe su nombre de Donald Martin , es una forma más fuerte del axioma de forzamiento propio , que a su vez es una forma más fuerte del axioma de Martin . Representa la clase más amplia de forzamientos para los cuales un axioma de forzamiento es consistente.

El máximo de Martin${\textstyle (\operatorname {MM} )}$establece que si D es una colección de${\displaystyle \aleph _{1}}$subconjuntos densos de una noción de forzamiento que preserva subconjuntos estacionarios de ω ₁ , entonces hay un filtro D -genérico. El forzamiento con una noción ccc de forzamiento preserva subconjuntos estacionarios de ω ₁ , por lo tanto${\estilo de texto \nombre del operador {MM} }$extiende${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _ {1})}$. Si ( P ,≤) no es una noción de forzamiento que preserve un conjunto estacionario, es decir, hay un subconjunto estacionario de ω ₁ , que se vuelve no estacionario cuando se fuerza con ( P ,≤), entonces hay una colección D de${\displaystyle \aleph _{1}}$subconjuntos densos de ( P ,≤), de modo que no exista un filtro D -genérico. Por eso${\estilo de texto \nombre del operador {MM} }$Se denomina extensión máxima del axioma de Martin.

La existencia de un cardinal supercompacto implica la consistencia del máximo de Martin. ^{[ 1 ]} La demostración utiliza las teorías de Shelah de forzamiento semipropio e iteración con soportes numerables revisados.

${\estilo de texto \nombre del operador {MM} }$implica que el valor del continuo es${\displaystyle \aleph _{2}}$^{[ 2 ]} y que el ideal deconjuntos no estacionariosen ω₁es${\displaystyle \aleph _{2}}$-saturado. ^{[ 3 ]} Además implica reflexión estacionaria, es decir, si S es un subconjunto estacionario de algún cardinal regular κ  ≥ ω ₂ y cada elemento de S tiene cofinalidad contable, entonces hay un ordinal α < κ tal que S ∩ α es estacionario en α . De hecho, S contiene un subconjunto cerrado de tipo de orden ω ₁ .       

• Número transfinito