Formulación matemática del Modelo Estándar

Una descomposición independiente de ψ es aquella en componentes de quiralidad :

dónde${\displaystyle \gamma _{5}}$es la quinta matriz gamma . Esto es muy importante en el Modelo Estándar porque los componentes de quiralidad izquierda y derecha son tratados de manera diferente por las interacciones de calibre .

En particular, bajo transformaciones SU(2) de isospín débil , las partículas levógiras son dobletes de isospín débil, mientras que las dextrógiras son singletes ; es decir, el isospín débil de ψ _R es cero. Dicho de forma más sencilla, la interacción débil podría rotar, por ejemplo, un electrón levógiro en un neutrino levógiro (con emisión de un W ⁻ ), pero no podría hacerlo con las mismas partículas dextrógiras. Cabe mencionar que el neutrino dextrógiro no existía originalmente en el modelo estándar , pero el descubrimiento de la oscilación de neutrinos implica que los neutrinos deben tener masa , y dado que la quiralidad puede cambiar durante la propagación de una partícula masiva, los neutrinos dextrógiros deben existir en la realidad. Sin embargo, esto no altera la naturaleza quiral (demostrada experimentalmente) de la interacción débil.  

Además, U(1) actúa de manera diferente en${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}}$y${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$(porque tienen diferentes hipercargas débiles ).

Se puede establecer una distinción, por ejemplo, entre los autoestados de masa e interacción del neutrino. El primero es el estado que se propaga en el espacio libre, mientras que el segundo es el estado diferente que participa en las interacciones. ¿Cuál es la partícula "fundamental"? Para el neutrino, es convencional definir el "sabor" ( ν_e ,ν_μ oν_τ ) por el autoestado de interacción, mientras que para los quarks definimos el sabor (arriba, abajo, etc.) por el estado de masa. Podemos alternar entre estos estados usando lamatriz CKMpara los quarks, o lamatriz PMNSpara los neutrinos (los leptones cargados, por otro lado, son autoestados tanto de masa como de sabor).

Cabe mencionar que, si existe un término de fase complejo en cualquiera de estas matrices, se producirá una violación directa de CP , lo que podría explicar el predominio de la materia sobre la antimateria en nuestro universo actual. Esto se ha demostrado para la matriz CKM y se espera que ocurra también con la matriz PMNS.

Finalmente, los campos cuánticos a veces se descomponen en partes de energía "positiva" y "negativa": ψ = ψ ⁺ + ψ ⁻ . Esto no es tan común cuando se ha establecido una teoría cuántica de campos, pero suele ser un aspecto importante en el proceso de cuantización de una teoría de campos.

El término cinético para un fermión de Dirac es $${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$$ donde las notaciones se toman de secciones anteriores del artículo. ψ puede representar cualquiera o todos los fermiones de Dirac en el modelo estándar. Generalmente, como se muestra a continuación, este término se incluye dentro de los acoplamientos (creando un término "dinámico" general).

Para los campos de espín 1, primero defina el tensor de intensidad de campo.$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$$ para un campo de gauge dado (aquí usamos A ), con constante de acoplamiento de gauge g . La cantidad f ^abc es la constante de estructura del grupo de gauge particular, definida por el conmutador. $${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$$ donde t _i son los generadores del grupo. En un grupo abeliano (conmutativo) (como el U(1) que usamos aquí), las constantes de estructura se anulan, ya que los generadores t _a conmutan entre sí. Por supuesto, este no es el caso en general : el modelo estándar incluye los grupos no abelianos SU(2) y SU(3) (estos grupos dan lugar a lo que se denomina una teoría de gauge de Yang-Mills ). 

Necesitamos introducir tres campos de calibre correspondientes a cada uno de los subgrupos SU(3) × SU(2) × U(1) .

• El tensor del campo de gluones se denotará por${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$donde el índice a etiqueta los elementos de la representación 8 del color SU(3) . La constante de acoplamiento fuerte se etiqueta convencionalmente como g _s (o simplemente g cuando no hay ambigüedad). Las observaciones que llevaron al descubrimiento de esta parte del Modelo Estándar se discuten en el artículo sobre cromodinámica cuántica .
• La notación${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$se utilizará para el tensor del campo de gauge de SU(2) donde a recorre los 3 generadores de este grupo. El acoplamiento se puede denotar g _w o simplemente g . El campo de gauge se denotará por${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$.
• El tensor del campo de gauge para el U(1) de hipercarga débil se denotará por B _μν , el acoplamiento por g ′ , y el campo de gauge por B _μ .

El término cinético ahora se puede escribir como $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$$ donde las trazas están sobre los índices SU(2) y SU(3) ocultos en W y G respectivamente. Los objetos de dos índices son las intensidades de campo derivadas de W y G , los campos vectoriales. También hay dos parámetros ocultos adicionales: los ángulos theta para SU(2) y SU(3) .

El sector electrodébil interactúa con el grupo de simetría U(1) × SU(2) _L , donde el subíndice L indica acoplamiento solo a fermiones zurdos. $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$$ donde B _μ es el campo de gauge U(1) ; Y _W es la hipercarga débil (el generador del grupo U(1) ); W _μ es el campo de gauge SU(2) de tres componentes ; y las componentes de τ son las matrices de Pauli (generadores infinitesimales del grupo SU(2) ) cuyos autovalores dan el isospín débil. Nótese que tenemos que redefinir una nueva simetría U(1) de la hipercarga débil , diferente de la QED, para lograr la unificación con la fuerza débil. La carga eléctrica Q , la tercera componente del isospín débil T ₃ (también llamada T _z , I ₃ o I _z ) y la hipercarga débil Y _W están relacionadas por $${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$$ (o mediante la convención alternativa Q = T ₃ + Y _W ). La primera convención, utilizada en este artículo, es equivalente a la fórmula anterior de Gell-Mann-Nishijima . Esta establece que la hipercarga es el doble de la carga promedio de un isomultiplete dado.

Entonces se puede definir la corriente conservada para el isospín débil como $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$$ y para hipercarga débil como $${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$$ dónde${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$es la corriente eléctrica y${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$la tercera corriente de isospín débil. Como se explicó anteriormente , estas corrientes se mezclan para crear los bosones observados físicamente, lo que también da lugar a relaciones comprobables entre las constantes de acoplamiento.

Para explicar esto de una manera más sencilla, podemos ver el efecto de la interacción electrodébil seleccionando términos del lagrangiano. Vemos que la simetría SU(2) actúa sobre cada doblete de fermiones (levógiro) contenido en ψ , por ejemplo $${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$$ donde se entiende que las partículas son zurdas, y donde $${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

Esta es una interacción que corresponde a una "rotación en el espacio de isospín débil" o, en otras palabras, una transformación entre e _L y ν _eL mediante la emisión de un bosón W ⁻ . La simetría U(1) , por otro lado, es similar al electromagnetismo, pero actúa sobre todos los fermiones " débiles hipercargados " (tanto levógiros como dextrógiros) a través del Z ⁰ neutro , así como sobre los fermiones cargados a través del fotón.

El sector de la cromodinámica cuántica (QCD) define las interacciones entre quarks y gluones , con simetría SU(3) , generadas por T _a . Dado que los leptones no interactúan con los gluones, no se ven afectados por este sector. El lagrangiano de Dirac de los quarks acoplados a los campos de gluones viene dado por $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$$ donde U y D son los espinores de Dirac asociados con los quarks de tipo arriba y abajo, y las demás notaciones se continúan de la sección anterior.

El término de masa que surge del lagrangiano de Dirac (para cualquier fermión ψ ) es${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$, lo cual no es invariante bajo la simetría electrodébil. Esto se puede ver escribiendo ψ en términos de componentes levógiras y dextrógiras (omitiendo el cálculo real): $${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$$ es decir, contribución de${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$y${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$Los términos no aparecen. Vemos que la interacción generadora de masa se logra mediante el cambio constante de la quiralidad de la partícula. Las partículas de espín 1/2 no tienen un par de quiralidad derecha/izquierda con las mismas representaciones SU(2) y cargas débiles iguales y opuestas, por lo que, suponiendo que estas cargas de gauge se conservan en el vacío, ninguna de las partículas de espín 1/2 podría intercambiar quiralidad y debe permanecer sin masa. Además, sabemos experimentalmente que los bosones W y Z son masivos, pero un término de masa de bosón contiene la combinación eg A ^μ A _μ , que claramente depende de la elección del gauge. Por lo tanto, ninguno de los fermiones o bosones del modelo estándar puede "comenzar" con masa, sino que debe adquirirla por algún otro mecanismo.

La solución a ambos problemas proviene del mecanismo de Higgs , que involucra campos escalares (cuyo número depende de la forma exacta del mecanismo de Higgs) que (para dar la descripción más breve posible) son "absorbidos" por los bosones masivos como grados de libertad, y que se acoplan a los fermiones a través del acoplamiento de Yukawa para crear lo que parecen términos de masa.

En el Modelo Estándar, el campo de Higgs es un campo escalar complejo del grupo SU(2) _L : $${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$$ donde los superíndices + y 0 indican la carga eléctrica ( Q ) de los componentes. La hipercarga débil ( Y _W ) de ambos componentes es 1 .

La parte de Higgs del lagrangiano es $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$$ donde λ > 0 y μ ² > 0 , de modo que se puede utilizar el mecanismo de ruptura espontánea de simetría . Hay un parámetro aquí, inicialmente oculto dentro de la forma del potencial, que es muy importante. En un calibre de unitariedad se puede establecer${\displaystyle \phi ^{+}=0}$y hacer${\displaystyle \phi ^{0}}$real. Entonces${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$es el valor esperado del vacío no nulo del campo de Higgs.${\displaystyle v}$Tiene unidades de masa y es el único parámetro del Modelo Estándar que no es adimensional. También es mucho menor que la escala de Planck y aproximadamente el doble de la masa del bosón de Higgs, estableciendo la escala para la masa de todas las demás partículas del Modelo Estándar. Este es el único ajuste fino real a un valor pequeño distinto de cero en el Modelo Estándar. Surgen términos cuadráticos en W _μ y B _μ , que dan masas a los bosones W y Z: $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$$

La masa del bosón de Higgs viene dada por${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

Los términos de interacción de Yukawa son $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{\text{u}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{d}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}\varphi (d_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{e}})_{mn}({\bar {L}}_{\text{L}})_{m}\varphi (e_{\text{R}})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$ dónde${\displaystyle Y_{\text{u}}}$,${\displaystyle Y_{\text{d}}}$, y${\displaystyle Y_{\text{e}}}$son matrices de 3 × 3 de acoplamientos de Yukawa, donde el término mn da el acoplamiento de las generaciones m y n , y hc significa el conjugado hermitiano de los términos precedentes. Los campos${\displaystyle q_{\text{L}}}$y${\displaystyle L_{\text{L}}}$son dobletes de quarks y leptones zurdos. Asimismo,${\displaystyle u_{\text{R}}}$,${\displaystyle d_{\text{R}}}$y${\displaystyle e_{\text{R}}}$son singletes de quarks de tipo up diestros, quarks de tipo down y leptones. Finalmente${\displaystyle \varphi }$es el doblete de Higgs y${\displaystyle {\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}}$

Como se mencionó anteriormente, la evidencia muestra que los neutrinos deben tener masa. Pero dentro del modelo estándar, el neutrino diestro no existe, por lo que incluso con un acoplamiento de Yukawa los neutrinos permanecen sin masa. Una solución obvia ^{[ 4 ]} es simplemente agregar un neutrino diestro νR , lo que requiere la adición de un nuevo término de masa de Dirac en el sector de Yukawa _:$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

Este campo, sin embargo, debe ser un neutrino estéril , ya que al ser diestro, experimentalmente pertenece a un singlete de isospín ( _T3 = 0 ) y también tiene carga Q = 0 , lo que implica YW = 0 (véase más arriba ), es decir _, ni siquiera participa en la interacción débil. La evidencia experimental de neutrinos estériles es actualmente inconclusa. ^{[ 5 ]}

Otra posibilidad a considerar es que el neutrino satisfaga la ecuación de Majorana , lo cual en un principio parece posible debido a su carga eléctrica nula. En este caso, se añade un nuevo término de masa de Majorana al sector de Yukawa: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$$ donde C denota una partícula conjugada con carga (es decir, anti-) y la${\displaystyle \nu }$Los términos son consistentemente todos de quiralidad izquierda (o todos de quiralidad derecha) (nótese que una proyección de quiralidad izquierda de una antipartícula es un campo de quiralidad derecha; se debe tener cuidado aquí debido a las diferentes notaciones que a veces se usan). Aquí estamos esencialmente alternando entre neutrinos de quiralidad izquierda y antineutrinos de quiralidad derecha (además es posible pero no necesario que los neutrinos sean su propia antipartícula, por lo que estas partículas son la misma). Sin embargo, para los neutrinos de quiralidad izquierda, este término cambia la hipercarga débil en 2  unidades , lo cual no es posible con la interacción de Higgs estándar, que requiere que el campo de Higgs se extienda para incluir un triplete adicional con hipercarga débil  =  2 ^{[ 4 ]} , mientras que para los neutrinos de quiralidad derecha, no son necesarias extensiones de Higgs. Para ambos casos de quiralidad izquierda y derecha, los términos de Majorana violan el número leptónico , pero posiblemente a un nivel que supera la sensibilidad actual de los experimentos para detectar tales violaciones.

Es posible incluir términos de masa de Dirac y Majorana en la misma teoría, lo que (a diferencia del enfoque de solo masa de Dirac) puede proporcionar una explicación “natural” para la pequeñez de las masas de neutrinos observadas, al vincular los neutrinos diestros con una física aún desconocida alrededor de la escala GUT ^{[ 6 ]} (ver mecanismo de balancín ).

Dado que en cualquier caso es necesario postular nuevos campos para explicar los resultados experimentales, los neutrinos constituyen una puerta de entrada obvia para la búsqueda de física más allá del Modelo Estándar .