función de Mathieu

En algunos usos, la función de Mathieu se refiere a las soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu para valores arbitrarios de${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$Cuando no puede surgir confusión, otros autores utilizan el término para referirse específicamente a${\displaystyle \pi }$- o${\displaystyle 2\pi }$-soluciones periódicas, que existen solo para valores especiales de${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$. ^{[ 5 ]} Más precisamente, para un (real) dado${\displaystyle q}$Tales soluciones periódicas existen para un número infinito de valores de${\displaystyle a}$, llamados números característicos , indexados convencionalmente como dos secuencias separadas${\displaystyle a_{n}(q)}$y${\displaystyle b_{n}(q)}$, para${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$Las funciones correspondientes se denotan${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, respectivamente. A veces también se las denomina funciones coseno-elípticas y seno-elípticas , o funciones de Mathieu de primer tipo .

Como resultado de suponer que${\displaystyle q}$es real, tanto los números característicos como las funciones asociadas son de valor real. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$se pueden clasificar además por paridad y periodicidad (ambos con respecto a${\displaystyle x}$), de la siguiente manera: ^{[ 5 ]}

La indexación con el entero${\displaystyle n}$, además de servir para ordenar los números característicos en orden ascendente, es conveniente porque${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$volverse proporcional a${\displaystyle \cos nx}$y${\displaystyle \sin nx}$como${\displaystyle q\rightarrow 0}$. Con${\displaystyle n}$al ser un número entero , esto da lugar a la clasificación de${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$como funciones de Mathieu (de primera especie) de orden entero. Para general${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$Además de estas, se pueden definir otras soluciones, incluidas funciones de Mathieu de orden fraccionario, así como soluciones no periódicas.

Estrechamente relacionadas están las funciones de Mathieu modificadas , también conocidas como funciones de Mathieu radiales, que son soluciones de la ecuación diferencial modificada de Mathieu.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

que puede relacionarse con la ecuación original de Mathieu tomando${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$. En consecuencia, las funciones de Mathieu modificadas de primer tipo de orden entero, denotadas por${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$, se definen a partir de ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

Estas funciones son de valor real cuando${\displaystyle x}$es real.

Una normalización común, ^{[ 8 ]} que se adoptará a lo largo de este artículo, es exigir

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

así como requerir${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$como${\displaystyle q\rightarrow 0}$.

La ecuación de Mathieu tiene dos parámetros. Para casi cualquier elección de estos parámetros, la teoría de Floquet establece que cualquier solución converge a cero o diverge al infinito.

Si la ecuación de Mathieu se parametriza como${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$, dónde${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$, entonces las regiones de estabilidad e inestabilidad están separadas por las siguientes curvas: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

Dado que la ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial de segundo orden, se pueden construir dos soluciones linealmente independientes . La teoría de Floquet dice que si${\displaystyle a}$es igual a un número característico, una de estas soluciones puede considerarse periódica y la otra no periódica. La solución periódica es una de las${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, llamada función de Mathieu de primer tipo de orden entero. La no periódica se denota como${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$, respectivamente, y se denomina función de Mathieu de segundo tipo (de orden entero). Las soluciones no periódicas son inestables, es decir, divergen como${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$. ^{[ 14 ]}

Las segundas soluciones corresponden a las funciones de Mathieu modificadas.${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$se definen naturalmente como${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$y${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$.

Las funciones de Mathieu de orden fraccionario se pueden definir como aquellas soluciones${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$,${\displaystyle p}$un no entero, que se convierte en${\displaystyle \cos px}$y${\displaystyle \sin px}$como${\displaystyle q\rightarrow 0}$. ^{[ 7 ]} Si${\displaystyle p}$es irracional, no son periódicos; sin embargo, siguen estando acotados como${\displaystyle x\rightarrow \infty }$.

Una propiedad importante de las soluciones${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$, para${\displaystyle p}$no entero, es que existen para el mismo valor de${\displaystyle a}$. Por el contrario, cuando${\displaystyle p}$es un número entero,${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$nunca ocurren para el mismo valor de${\displaystyle a}$(Véase el teorema de Ince más arriba).

Estas clasificaciones se resumen en la tabla siguiente. Las funciones de Mathieu modificadas correspondientes se definen de forma similar.

Las funciones de Mathieu de primer tipo se pueden representar como series de Fourier : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

Los coeficientes de expansión${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$y${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$son funciones de${\displaystyle q}$pero independiente de${\displaystyle x}$. Mediante sustitución en la ecuación de Mathieu, se puede demostrar que obedecen relaciones de recurrencia de tres términos en el índice inferior. Por ejemplo, para cada${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$uno encuentra ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

Siendo una recurrencia de segundo orden en el índice${\displaystyle 2r}$Siempre se pueden encontrar dos soluciones independientes.${\displaystyle X_{2r}}$y${\displaystyle Y_{2r}}$de tal manera que la solución general pueda expresarse como una combinación lineal de las dos:${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$Además, en este caso particular, un análisis asintótico ^{[ 17 ]} muestra que una posible elección de soluciones fundamentales tiene la propiedad

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

En particular,${\displaystyle X_{2r}}$es finito mientras que${\displaystyle Y_{2r}}$diverge. Escritura${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$, por lo tanto vemos que para que la representación en serie de Fourier de${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$converger,${\displaystyle a}$debe ser elegido de tal manera que${\displaystyle c_{2}=0.}$Estas elecciones de${\displaystyle a}$corresponden a los números característicos.

En general, sin embargo, la solución de una recurrencia de tres términos con coeficientes variables no se puede representar de manera simple y, por lo tanto, no hay una forma simple de determinarla.${\displaystyle a}$de la condición ${\displaystyle c_{2}=0}$Además, incluso si se conoce el valor aproximado de un número característico, no se puede utilizar para obtener los coeficientes.${\displaystyle A_{2r}}$iterando numéricamente la recurrencia hacia valores crecientes${\displaystyle r}$. La razón es que mientras${\displaystyle a}$solo se aproxima a un número característico,${\displaystyle c_{2}}$no es idéntica${\displaystyle 0}$y la solución divergente${\displaystyle Y_{2r}}$eventualmente domina para lo suficientemente grande${\displaystyle r}$.

Para superar estos problemas, se requieren enfoques semianalíticos/numéricos más sofisticados, por ejemplo, utilizando una expansión en fracciones continuas , ^{[ 18 ] [ 5 ]} planteando la recurrencia como un problema de valores propios de una matriz , ^{[ 19 ]} o implementando un algoritmo de recurrencia hacia atrás. ^{[ 17 ]} La complejidad de la relación de recurrencia de tres términos es una de las razones por las que existen pocas fórmulas e identidades simples que involucren funciones de Mathieu. ^{[ 20 ]}

En la práctica, las funciones de Mathieu y los números característicos correspondientes se pueden calcular utilizando software preempaquetado, como Mathematica , Maple , MATLAB y SciPy . Para valores pequeños de${\displaystyle q}$y de bajo orden${\displaystyle n}$, también pueden expresarse perturbativamente como series de potencias de${\displaystyle q}$, que puede ser útil en aplicaciones físicas. ^{[ 21 ]}

Hay varias formas de representar las funciones de Mathieu de segundo tipo. ^{[ 22 ]} Una representación es en términos de funciones de Bessel : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle n,q>0}$, y${\displaystyle J_{r}(x)}$y${\displaystyle Y_{r}(x)}$son funciones de Bessel de primera y segunda especie.

Un enfoque tradicional para la evaluación numérica de las funciones de Mathieu modificadas es a través de series de productos de funciones de Bessel. ^{[ 24 ]} Para valores grandes${\displaystyle n}$y${\displaystyle q}$, la forma de la serie debe elegirse cuidadosamente para evitar errores de resta . ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Para pequeños${\displaystyle q}$,${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$comportarse de manera similar a${\displaystyle \cos nx}$y${\displaystyle \sin nx}$. Por arbitrario${\displaystyle q}$, pueden desviarse significativamente de sus contrapartes trigonométricas; sin embargo, en general siguen siendo periódicas. Además, para cualquier real${\displaystyle q}$,${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$tener exactamente${\displaystyle m}$ceros simples en${\displaystyle 0<x<\pi }$y como${\displaystyle q\rightarrow \infty }$el grupo de ceros aproximadamente${\displaystyle x=\pi /2}$. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Para${\displaystyle q>0}$y como${\displaystyle x\rightarrow \infty }$Las funciones de Mathieu modificadas tienden a comportarse como funciones periódicas amortiguadas.

A continuación, el${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$factores de las expansiones de Fourier para${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$pueden ser referenciados (ver Representación explícita y cálculo ). Dependen de${\displaystyle q}$y${\displaystyle n}$pero son independientes de${\displaystyle x}$.

Debido a su paridad y periodicidad,${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$y ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$tienen propiedades simples bajo reflexiones y traslaciones por múltiplos de${\displaystyle \pi }$: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

También se pueden escribir funciones con signo negativo.${\displaystyle q}$en términos de aquellos con resultado positivo${\displaystyle q}$: ^{[ 5 ] [ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

Al igual que sus contrapartes trigonométricas${\displaystyle \cos nx}$y${\displaystyle \sin nx}$, las funciones periódicas de Mathieu${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$satisfacer relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

Además, con${\displaystyle q}$fijo y${\displaystyle a}$tratado como el valor propio, la ecuación de Mathieu es de la forma de Sturm-Liouville . Esto implica que las funciones propias${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$formar un conjunto completo, es decir, cualquier${\displaystyle \pi }$- o${\displaystyle 2\pi }$-función periódica de${\displaystyle x}$puede expandirse como una serie en${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$. ^{[ 4 ]}

Las soluciones de la ecuación de Mathieu satisfacen una clase de identidades integrales con respecto a los núcleos.${\displaystyle \chi (x,x')}$que son soluciones de

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

Más precisamente, si${\displaystyle \phi (x)}$Resuelve la ecuación de Mathieu con datos dados${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$, entonces la integral

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

dónde${\displaystyle C}$es un camino en el plano complejo , también resuelve la ecuación de Mathieu con el mismo${\displaystyle a}$y${\displaystyle q}$, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: ^{[ 30 ]}

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$resuelve${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• En las regiones consideradas,${\displaystyle \psi (x)}$existe y${\displaystyle \chi (x,x')}$es analítico
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$tiene el mismo valor en los puntos finales de${\displaystyle C}$

Utilizando un cambio de variables apropiado, la ecuación para${\displaystyle \chi }$se puede transformar en la ecuación de onda y resolverla. Por ejemplo, una solución es${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$. Ejemplos de identidades obtenidas de esta manera son ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

Las identidades de este último tipo son útiles para estudiar las propiedades asintóticas de las funciones de Mathieu modificadas. ^{[ 32 ]}

También existen relaciones integrales entre funciones de primer y segundo tipo, por ejemplo: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

válido para cualquier complejo${\displaystyle x}$y real${\displaystyle q}$.

Las siguientes expansiones asintóticas son válidas para${\displaystyle q>0}$,${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$,${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$, y${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las funciones de Mathieu modificadas decaen exponencialmente para argumentos reales grandes. Se pueden escribir expansiones asintóticas similares para${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$y${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$; estos también decaen exponencialmente para argumentos reales grandes.

Para las funciones periódicas de Mathieu pares e impares${\displaystyle ce,se}$y los números característicos asociados${\displaystyle a}$ También se pueden derivar expansiones asintóticas para valores grandes${\displaystyle q}$. ^{[ 34 ]} Para los números característicos en particular, se tiene con${\displaystyle N}$aproximadamente un número entero impar, es decir${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

Observe la simetría aquí al reemplazar${\displaystyle q^{1/2}}$y${\displaystyle N}$por${\displaystyle -q^{1/2}}$y${\displaystyle -N}$, que es una característica significativa de la expansión. Los términos de esta expansión se han obtenido explícitamente hasta el término de orden inclusive.${\displaystyle |q|^{-7/2}}$. ^{[ 35 ]} Aquí${\displaystyle N}$es solo aproximadamente un número entero impar porque en el límite de${\displaystyle q\to \infty }$todos los segmentos mínimos del potencial periódico${\displaystyle \cos 2x}$se convierten efectivamente en osciladores armónicos independientes (por lo tanto,${\displaystyle N_{0}}$un número entero impar). Al disminuir${\displaystyle q}$, atravesar las barreras se vuelve posible (en lenguaje físico), lo que lleva a una división de los números característicos.${\displaystyle a\to a_{\mp }}$(en mecánica cuántica llamados autovalores) correspondientes a funciones periódicas de Mathieu pares e impares. Esta división se obtiene con condiciones de contorno ^{[ 35 ]} (en mecánica cuántica esto proporciona la división de los autovalores en bandas de energía). ^{[ 36 ]} Las condiciones de contorno son:

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

Imponiendo estas condiciones de contorno a las funciones periódicas asintóticas de Mathieu asociadas con la expansión anterior para${\displaystyle a}$uno obtiene

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

A continuación, se obtienen los números característicos o valores propios correspondientes mediante una expansión, es decir:

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

La inserción de las expresiones apropiadas arriba produce el resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Para${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$Estos son los autovalores asociados a las autofunciones pares de Mathieu.${\displaystyle ce_{N_{0}}}$o${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$(es decir, con signo negativo superior) y funciones propias de Mathieu impares${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$o ${\displaystyle se_{N_{0}}}$(es decir, con signo más bajo). Las expansiones explícitas y normalizadas de las funciones propias se pueden encontrar en ^{[ 35 ]} o en ^{[ 36 ] .}

Se pueden obtener expansiones asintóticas similares para las soluciones de otras ecuaciones diferenciales periódicas, como para las funciones de Lamé y las funciones de onda esferoidales proladas y obladas .

La naturaleza asintótica de las soluciones asintóticas de la ecuación de Mathieu se ha investigado en detalle mediante el estudio del comportamiento de alto orden de las expansiones. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Las funciones de Mathieu surgen cuando se aplica la separación de variables en coordenadas elípticas a 1) la ecuación de Laplace en 3 dimensiones y 2) la ecuación de Helmholtz en 2 o 3 dimensiones. Dado que la ecuación de Helmholtz es una ecuación prototípica para modelar la variación espacial de las ondas clásicas, las funciones de Mathieu pueden usarse para describir una variedad de fenómenos ondulatorios. Por ejemplo, en electromagnetismo computacional pueden usarse para analizar la dispersión de ondas electromagnéticas en cilindros elípticos y la propagación de ondas en guías de onda elípticas . ^{[ 39 ]} En relatividad general , una solución exacta de onda plana para la ecuación de campo de Einstein puede darse en términos de funciones de Mathieu.

Más recientemente, se han utilizado funciones de Mathieu para resolver un caso especial de la ecuación de Smoluchowski , que describe las estadísticas de estado estacionario de partículas autopropulsadas . ^{[ 40 ]}

El resto de esta sección detalla el análisis de la ecuación de Helmholtz bidimensional. ^{[ 41 ]} En coordenadas rectangulares, la ecuación de Helmholtz es

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Las coordenadas elípticas se definen por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$,${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$, y${\displaystyle c}$es una constante positiva. La ecuación de Helmholtz en estas coordenadas es

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

La constante${\displaystyle \mu }$Las curvas son elipses confocales con distancia focal${\displaystyle c}$; por lo tanto, estas coordenadas son convenientes para resolver la ecuación de Helmholtz en dominios con fronteras elípticas. Separación de variables mediante${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$produce las ecuaciones de Mathieu

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle a}$es una constante de separación.

Como ejemplo físico específico, la ecuación de Helmholtz puede interpretarse como la descripción de los modos normales de una membrana elástica bajo tensión uniforme . En este caso, se imponen las siguientes condiciones físicas: ^{[ 42 ]}

• Periodicidad con respecto a${\displaystyle \nu }$, es decir${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Continuidad del desplazamiento a través de la línea interfocal:${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Continuidad de la derivada a través de la línea interfocal:${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

Por lo dado${\displaystyle k}$, esto restringe las soluciones a aquellas de la forma${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$y${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$, dónde${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$. Esto es lo mismo que restringir los valores permitidos de${\displaystyle a}$, para dado${\displaystyle k}$. Restricciones en${\displaystyle k}$entonces surgen debido a la imposición de condiciones físicas sobre alguna superficie límite, como un límite elíptico definido por${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$. Por ejemplo, sujetar la membrana en${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$impone${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$, lo cual a su vez requiere

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

Estas condiciones definen los modos normales del sistema.

En problemas dinámicos con fuerzas que varían periódicamente, la ecuación de movimiento a veces adopta la forma de la ecuación de Mathieu. En tales casos, el conocimiento de las propiedades generales de la ecuación de Mathieu —en particular con respecto a la estabilidad de las soluciones— puede ser esencial para comprender las características cualitativas de la dinámica física. ^{[ 43 ]} Un ejemplo clásico en este sentido es el péndulo invertido . ^{[ 44 ]} Otros ejemplos son

• vibraciones de una cuerda con tensión que varía periódicamente ^{[ 43 ]}
• estabilidad de los rieles del ferrocarril cuando los trenes circulan sobre ellos
• dinámica poblacional forzada estacionalmente
• El fenómeno de resonancia paramétrica en osciladores forzados
• movimiento de iones en una trampa de iones cuadrupolar ^{[ 45 ]}
• el efecto Stark para un dipolo eléctrico giratorio
• La teoría de Floquet sobre la estabilidad de los ciclos límite.
• soluciones analíticas de onda viajera de la ecuación de crecimiento de la interfaz de Kardar-Parisi-Zhang con término de ruido periódico ^{[ 46 ]}

Las funciones de Mathieu desempeñan un papel importante en ciertos sistemas mecánicos cuánticos, en particular en aquellos con potenciales espacialmente periódicos, como el péndulo cuántico y las redes cristalinas .

La ecuación de Mathieu modificada también surge al describir la mecánica cuántica de potenciales singulares. Para el potencial singular particular${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$la ecuación de Schrödinger radial

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

se puede convertir en la ecuación

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

La transformación se logra con las siguientes sustituciones:

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Al resolver la ecuación de Schrödinger (para este potencial en particular) en términos de soluciones de la ecuación de Mathieu modificada, se pueden obtener propiedades de dispersión tales como la matriz S y la absortividad . ^{[ 47 ]}

Originalmente, la ecuación de Schrödinger con función coseno fue resuelta en 1928 por Strutt. ^{[ 48 ]}