secuencia de Mayer-Vietoris

Para la homología no reducida, la secuencia de Mayer-Vietoris establece que la siguiente secuencia es exacta: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$$$${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$$ Aquí${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X}$, y${\displaystyle l:B\hookrightarrow X}$ son mapas de inclusión y${\displaystyle \oplus }$denota la suma directa de grupos abelianos . ^{[ 13 ]}

Los mapas de límites${\displaystyle \partial _{*}}$La reducción de la dimensión se puede definir de la siguiente manera. Un elemento en${\displaystyle H_{n}(X)}$es la clase de homología de un${\displaystyle n}$-ciclo${\displaystyle x}$que, por subdivisión baricéntrica , por ejemplo, puede escribirse como la suma de dos${\displaystyle n}$-cadenas${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$cuyas imágenes yacen enteramente en${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, respectivamente. Por lo tanto${\displaystyle \partial x=\partial (u+v)=\partial u+\partial v}$. Desde${\displaystyle x}$es un ciclo,${\displaystyle \partial x=0}$, entonces${\displaystyle \partial u=-\partial v}$Esto implica que las imágenes de ambos límites${\displaystyle (n-1)}$-los ciclos están contenidos en la intersección${\displaystyle A\cap B}$. Entonces${\displaystyle \partial _{*}([x])}$puede definirse como la clase de${\displaystyle \partial u}$en${\displaystyle H_{n-1}(A\cap B)}$. Elegir otra descomposición${\displaystyle x=u'+v'}$no afecta${\displaystyle [\partial u]}$, desde${\displaystyle \partial u+\partial v=\partial x=\partial u'+\partial v'}$, lo cual implica${\displaystyle \partial u-\partial u'=\partial (v'-v)}$y por lo tanto${\displaystyle \partial u}$y${\displaystyle \partial u'}$yacer en la misma clase de homología; tampoco lo hace elegir un representante diferente.${\displaystyle x'}$, Desde entonces${\displaystyle x'-x=\partial \phi }$para algunos${\displaystyle \phi }$en${\displaystyle H_{n+1}(X)}$. Nótese que los mapas en la secuencia de Mayer-Vietoris dependen de elegir un orden para${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. En particular, el mapa de límites cambia de signo si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$se intercambian. ^{[ 14 ]}

Para homología reducida también existe una secuencia de Mayer-Vietoris, bajo el supuesto de que${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$tienen intersección no vacía . La secuencia es idéntica para dimensiones positivas y termina como: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.}$$

Existe una analogía entre la sucesión de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homología de dimensión 1) y el teorema de Seifert-van Kampen . ^{[ 16 ]} Siempre que${\displaystyle A\cap B}$es conexo por caminos , la secuencia reducida de Mayer-Vietoris produce el isomorfismo $${\displaystyle H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})}$$ donde, por exactitud, $${\displaystyle {\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).}$$ Esta es precisamente la formulación abelianizada del teorema de Seifert-van Kampen. Compárese con el hecho de que${\displaystyle H_{1}(X)}$es la abelianización del grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X)}$cuando${\displaystyle X}$está conectado por caminos. ^{[ 17 ]}

Para calcular completamente la homología de la${\displaystyle k}$-esfera${\displaystyle X=S^{k}}$, dejar${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser dos hemisferios de${\displaystyle X}$con homotopía de intersección equivalente a una${\displaystyle (k-1)}$esfera ecuatorial de -dimensiones. Dado que la${\displaystyle k}$Los hemisferios de dimensión - son homeomorfos a${\displaystyle k}$-discos, que son contraíbles , los grupos de homología para${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son triviales . La secuencia de Mayer-Vietoris para grupos de homología reducidos produce entonces $${\displaystyle \cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots }$$

La exactitud implica inmediatamente que el mapa${\displaystyle \partial _{*}}$es un isomorfismo. Usando la homología reducida de la 0-esfera (dos puntos) como caso base , se cumple que $${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k,\\0&{\mbox{if }}n\neq k,\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle \delta }$es la delta de Kronecker . ^{[ 18 ]} Una comprensión tan completa de los grupos de homología para esferas contrasta marcadamente con el conocimiento actual de los grupos de homotopía de esferas , especialmente para el caso${\displaystyle n>k}$sobre lo cual se sabe poco. ^{[ 19 ]}

Una aplicación algo más compleja de la secuencia de Mayer-Vietoris es el cálculo de los grupos de homología de la botella de Klein.${\displaystyle X}$. Se utiliza la descomposición de ${\displaystyle X}$como la unión de dos cintas de Möbius${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$pegados a lo largo de su círculo delimitador (véase la ilustración de la derecha).${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y su intersección${\displaystyle A\cap B}$son homotópicamente equivalentes a círculos, por lo que la parte no trivial de la secuencia produce ^{[ 20 ]}$${\displaystyle 0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0}$$ y la parte trivial implica una homología nula para dimensiones mayores que 2. El mapa central${\displaystyle \alpha }$envía${\displaystyle 1}$a${\displaystyle (2,-2)}$ya que el círculo límite de una banda de Möbius se enrolla dos veces alrededor del círculo central. En particular,${\displaystyle \alpha }$es inyectivo , por lo que la homología de dimensión 2 también se desvanece. Finalmente, eligiendo${\displaystyle (1,0)}$y${\displaystyle (1,-1)}$como base para${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, de ahí lo siguiente:$${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1,\\0&{\mbox{if }}n\neq 1.\end{cases}}}$$

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​la suma de cuñas de dos espacios${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$y supongamos además que el punto base identificado es una retracción de deformación de vecindarios abiertos${\displaystyle U\subset K}$y${\displaystyle V\subset L}$Alquiler${\displaystyle A=K\cup V}$y${\displaystyle B=U\cup L}$De ello se deduce que${\displaystyle A\cup B=X}$y${\displaystyle A\cap B=U\cup V}$, que es contraíble por construcción. La versión reducida de la secuencia produce entonces (por exactitud) $${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)}$$ para todas las dimensiones${\displaystyle n}$. ^{[ 21 ]}

Si${\displaystyle X}$es la suspensión${\displaystyle SY}$de un espacio${\displaystyle Y}$, dejar${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser los complementos en${\displaystyle X}$de los vértices superior e inferior del cono doble, respectivamente.${\displaystyle X}$es la unión${\displaystyle A\cup B}$, con${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$contraíble. Además, la intersección${\displaystyle A\cap B}$¿Es la homotopía equivalente a?${\displaystyle Y}$Por lo tanto, la secuencia de Mayer-Vietoris produce, para todos${\displaystyle n}$, ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).}$$

También existe una forma relativa de la secuencia de Mayer-Vietoris. Si${\displaystyle Y\subset X}$y es la unión de los interiores de${\displaystyle C\subset A}$y${\displaystyle D\subset B}$, entonces la secuencia exacta es: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots }$$

Los grupos de homología son naturales en el sentido de que, si${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$Si se trata de un mapa continuo , entonces existe un mapa canónico de avance de grupos de homología.${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})}$de tal manera que la composición de impulsos hacia adelante es el impulso hacia adelante de una composición: es decir,${\displaystyle (g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.}$La secuencia Mayer-Vietoris también es natural en el sentido de que si $${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}},}$$ luego el morfismo de conexión de la secuencia de Mayer-Vietoris,${\displaystyle \partial _{*}}$, viaja diariamente con${\displaystyle f_{*}}$. ^{[ 24 ]} Es decir, el siguiente diagrama conmuta (los mapas horizontales son los habituales): ^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}}$$

La sucesión exacta larga de Mayer-Vietoris para grupos de cohomología singulares con grupo de coeficientes G es dual a la versión homológica. Es la siguiente: $${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots }$$ donde los mapas que preservan la dimensión son mapas de restricción inducidos por inclusiones, y los mapas de (co)frontera se definen de manera similar a la versión homológica. También existe una formulación relativa. ^{[ 26 ]}

Como un caso especial importante cuando${\displaystyle G}$es el grupo de los números reales , y el espacio topológico subyacente tiene la estructura adicional de una variedad diferenciable , la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de de Rham es $${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots }$$ dónde${\displaystyle \{U,V\}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle X}$,${\displaystyle \rho }$denota el mapa de restricciones y${\displaystyle \Delta }$esa es la diferencia. El mapa${\displaystyle d^{*}}$se define de forma similar al mapa${\displaystyle \partial _{*}}$desde arriba. Se puede describir brevemente de la siguiente manera. Para una clase de cohomología representada por un conjunto cerrado${\displaystyle p}$-forma${\displaystyle \omega }$en${\displaystyle U\cap V}$, elige una partición de la unidad${\displaystyle \rho _{U}+\rho _{V}=1}$subordinado a la cubierta abierta${\displaystyle \{U,V\}}$, con${\displaystyle \rho _{U}}$apoyado en${\displaystyle U}$y${\displaystyle \rho _{V}}$apoyado en${\displaystyle V}$. Entonces${\displaystyle \rho _{V}\omega }$se extiende en cero a un${\displaystyle p}$-formulario en${\displaystyle U}$, y${\displaystyle \rho _{U}\omega }$se extiende en cero a un${\displaystyle p}$-formulario en${\displaystyle V}$. El${\displaystyle (p+1)}$-formularios${\displaystyle -\,d\rho _{V}\wedge \omega }$en${\displaystyle U}$y${\displaystyle d\rho _{U}\wedge \omega }$en${\displaystyle V}$acordar${\displaystyle U\cap V}$, porque${\displaystyle d\rho _{U}=-\,d\rho _{V}}$allí. Por lo tanto, se adhieren a un sistema global.${\displaystyle (p+1)}$-formulario en${\displaystyle X=U\cup V}$, que está cerrado porque es localmente exacto (localmente ya sea como${\displaystyle -d(\rho _{V}\omega )}$o${\displaystyle d(\rho _{U}\omega )}$). El homomorfismo de conexión${\displaystyle d^{*}}$envía${\displaystyle [\omega ]}$a la clase de cohomología de de Rham de esta forma global. ^{[ 27 ]}

Para la cohomología de De Rham con soportes compactos, existe una versión "invertida" de la secuencia anterior: $${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots }$$ dónde${\displaystyle U}$,${\displaystyle V}$,${\displaystyle X}$son como arriba,${\displaystyle \delta }$es el mapa de inclusión firmado${\displaystyle \delta$ :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )} donde${\displaystyle i^{U}}$extiende un formulario con soporte compacto a un formulario en${\displaystyle U}$por cero y${\displaystyle \Sigma }$es la suma. El colímite de conexión${\displaystyle d^{*}}$surge al escribir un soporte compacto${\displaystyle p}$-forma${\displaystyle \omega }$sobre la unión${\displaystyle X=U\cup V}$como la suma${\displaystyle \omega =\omega _{U}+\omega _{V}}$de un soporte compacto${\displaystyle p}$-forma${\displaystyle \omega _{U}}$en${\displaystyle U}$y uno en${\displaystyle V}$. Porque${\displaystyle d\omega _{U}+d\omega _{V}=0}$en la superposición, la forma${\displaystyle \xi }$eso es${\displaystyle d\omega _{U}}$en${\displaystyle U}$y${\displaystyle -d\omega _{V}}$en${\displaystyle V}$es un sistema global cerrado${\displaystyle (p+1)}$-forma y${\displaystyle d^{*}[\omega ]}$se define como${\displaystyle [\xi ]}$. ^{[ 27 ]}

Consideremos la secuencia exacta larga asociada a las secuencias exactas cortas de grupos de cadenas (grupos constituyentes de complejos de cadenas ). $${\displaystyle 0\to C_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\alpha } \,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,\xrightarrow {\beta } \,C_{n}(A+B)\to 0,}$$ dónde${\displaystyle \alpha (x)=(x,-x)}$,${\displaystyle \beta (x,y)=x+y}$, y${\displaystyle C_{n}(A+B)}$es el grupo de cadenas que consiste en sumas de cadenas en${\displaystyle A}$y cadenas en${\displaystyle B}$. ^{[ 13 ]} Es un hecho que el singular${\displaystyle n}$-símplices de${\displaystyle X}$cuyas imágenes están contenidas en cualquiera de los dos${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$generar todo el grupo de homología${\displaystyle H_{n}(X)}$. En otras palabras,${\displaystyle H_{n}(A+B)}$es isomorfo a${\displaystyle H_{n}(X)}$. Esto da la secuencia de Mayer-Vietoris para homología singular. ^{[ 28 ]}

El mismo cálculo se aplicó a las secuencias exactas cortas de espacios vectoriales de formas diferenciales.$${\displaystyle 0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0}$$ produce la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de de Rham. ^{[ 29 ]}

Desde un punto de vista formal, la secuencia de Mayer-Vietoris se puede derivar de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para teorías de homología utilizando la secuencia exacta larga en homología . ^{[ 30 ]}

La derivación de la secuencia de Mayer-Vietoris a partir de los axiomas de Eilenberg-Steenrod no utiliza el axioma de dimensión . ^{[ 31 ]} En consecuencia, la secuencia se extiende desde teorías ordinarias hasta teorías de (co)homología extraordinarias o generalizadas, como la K-teoría topológica y el cobordismo . ^{[ 32 ]}

En la teoría de homotopía estable moderna , esto se explica por la representabilidad de Brown : una teoría de cohomología generalizada reducida se representa mediante un espectro.${\displaystyle E}$. Esquemáticamente, se puede escribir $${\displaystyle {\widetilde {E}}^{n}(X)\cong [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{n}E],}$$ dónde${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$es el espectro de suspensión de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \Sigma ^{n}E}$es el${\displaystyle n}$-suspensión plegable (desplazamiento) de${\displaystyle E}$. ^{[ 33 ]} En este lenguaje, la secuencia de Mayer-Vietoris refleja el hecho de que el mismo patrón de pegado selectivo de espacios subyace a cada teoría; lo que varía de una teoría a otra es el espectro de representación. ^{[ 34 ]}

Desde el punto de vista de la cohomología de haces , la secuencia de Mayer-Vietoris está relacionada con la cohomología de Čech . Específicamente, surge de la degeneración de la secuencia espectral que relaciona la cohomología de Čech con la cohomología de haces (a veces llamada secuencia espectral de Mayer-Vietoris) en el caso en que la cubierta abierta utilizada para calcular la cohomología de Čech consta de dos conjuntos abiertos. ^{[ 35 ]} Esta secuencia espectral existe en topoi arbitrarios . ^{[ 36 ]}