distancia de Melnikov

En matemáticas, el método de Melnikov es una herramienta para identificar la existencia de caos en una clase de sistemas dinámicos sometidos a perturbaciones periódicas.

El método de Melnikov se utiliza en muchos casos para predecir la aparición de órbitas caóticas en sistemas no lineales suaves no autónomos sometidos a perturbaciones periódicas. Según este método, es posible construir una función denominada "función de Melnikov", que permite predecir el comportamiento regular o caótico de un sistema dinámico. De este modo, la función de Melnikov se utiliza para determinar la distancia entre variedades estables e inestables en el mapa de Poincaré . Además, cuando esta distancia es igual a cero, según el método, dichas variedades se cruzan transversalmente y, a partir de ese cruce, el sistema se vuelve caótico.

Este método apareció en 1890 por H. Poincaré ^{[ 1 ]} y por V. Melnikov en 1963 ^{[ 2 ]} y podría llamarse el "Método de Poincaré-Melnikov". Además, fue descrito en varios libros de texto como Guckenheimer y Holmes, ^{[ 3 ]} Kuznetsov, ^{[ 4 ]} S. Wiggins, ^{[ 5 ]} Awrejcewicz y Holicke ^{[ 6 ]} y otros. Hay muchas aplicaciones para la distancia de Melnikov, ya que puede usarse para predecir vibraciones caóticas. ^{[ 7 ]} En este método, la amplitud crítica se encuentra estableciendo la distancia entre órbitas homoclinas y variedades estables igual a cero. Al igual que en Guckenheimer y Holmes, quienes fueron los primeros que, basándose en el teorema KAM , determinaron un conjunto de parámetros de sistemas hamiltonianos perturbados relativamente débiles de dos grados de libertad, en los que ocurrió la bifurcación homoclina .

Consideremos la siguiente clase de sistemas dada por

$${\displaystyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {x}}&=&{\frac {\partial H}{\partial y}}(x,y)+\epsilon g_{1}(x,y,t,\epsilon )\\{\dot {y}}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x}}(x,y)+\epsilon g_{2}(x,y,t,\epsilon ),\end{array}}{(1)}}}$$o en forma vectorial$${\displaystyle {{\dot {q}}=JDH(q)+\epsilon g(q,t,\epsilon )~\ ~\ {(2)}}}$$

dónde${\displaystyle q=(x,y)}$,${\displaystyle DH=\left({\frac {\partial H}{\partial x}},{\frac {\partial H}{\partial y}}\right)}$,${\displaystyle g=(g_{1},g_{2})}$y

${\displaystyle J=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\\\end{array}}\right).}$

Supongamos que el sistema (1) es suave en la región de interés ,${\displaystyle \epsilon }$es un pequeño parámetro de perturbación y${\displaystyle g}$es una función vectorial periódica en${\displaystyle t}$con el período${\displaystyle T={\dfrac {2\pi }{\omega }}}$.

Si${\displaystyle \epsilon =0}$Entonces, existe un sistema no perturbado.

${\displaystyle {{\dot {q}}=JDH(q).~\ ~\ {(3)}}}$

A partir de este sistema (3), observando el espacio de fases en la Figura 1, considere las siguientes suposiciones:

• A1 - El sistema tiene un punto fijo hiperbólico${\displaystyle p_{0}}$, conectada a sí misma por una órbita homoclinica  ${\displaystyle q_{0}(t)=(x_{0}(t),y_{0}(t));}$
• A2 - El sistema está lleno por dentro${\ Displaystyle \ Gamma _ {p_ {0}}}$mediante una familia continua de órbitas periódicas${\displaystyle q^{\alpha }(t)}$del período${\displaystyle T^{\alpha }}$con${\displaystyle \alpha \in (-1,0),}$dónde${\displaystyle \Gamma _{p_{0}}=\{q\in \mathbb {R} ^{2}|q=q_{0}(t),t\in \mathbb {R} \}=W^{s}(p_{0})\cap W^{u}(p_{0})\cup \{p_{0}\}.}$

Para obtener la función de Melnikov, se deben utilizar algunos trucos, por ejemplo, para eliminar la dependencia del tiempo y para obtener ventajas geométricas se debe utilizar un nuevo sistema de coordenadas.${\displaystyle \phi }$que es de tipo cíclico dado por${\displaystyle \phi =\omega t+\phi _{0}.}$Entonces, el sistema (1) podría reescribirse en forma vectorial de la siguiente manera:

${\textstyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {q}}&=&JDH(q)+\epsilon g(q,\phi ,\epsilon )\\{\dot {\phi }}&=&\omega .\end{array}}~\ ~\ {(4)}}}$

Por lo tanto, observando la Figura 2, el espacio de fase tridimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1},}$dónde${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{2}}$y${\displaystyle \phi \in \mathbb {S} ^{1}}$tiene punto fijo hiperbólico${\displaystyle p_{0}}$del sistema no perturbado convirtiéndose en una órbita periódica${\displaystyle \gamma (t)=(p_{0},\phi (t)).}$Las variedades estables e inestables bidimensionales de${\displaystyle \gamma (t)}$por${\displaystyle W^{s}(\gamma (t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma (t))}$se denotan, respectivamente. Por la suposición${\displaystyle A1,}$${\displaystyle W^{s}(\gamma (t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma (t))}$coinciden a lo largo de una variedad homoclinica bidimensional. Esto se denota por${\displaystyle \Gamma _{\gamma }=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}|q=q_{0}(-t_{0}),t_{0}\in \mathbb {R}$ ;\phi =\phi _{0}\in (0,2\pi ]\},} donde${\displaystyle t_{0}}$es el tiempo de vuelo desde un punto${\displaystyle q_{0}(-t_{0})}$hasta el punto${\displaystyle q_{0}(0)}$sobre la conexión homoclinica .

En la Figura 3, para cualquier punto${\displaystyle p\equiv (q_{0}(-t_{0}),\phi _{0}),}$Se construye un vector${\displaystyle \pi _{p}}$, normal a la${\displaystyle \Gamma _ {\gamma }}$como sigue${\displaystyle \pi _{p}\equiv (DH(q_{0}(-t_{0}),0).}$Por lo tanto, variando${\displaystyle t_{0}}$y${\displaystyle \phi _{0}}$servir para moverse${\displaystyle \pi _{p}}$a cada punto en${\displaystyle \Gamma _{\gamma }.}$

Si${\displaystyle \epsilon \neq 0}$es suficientemente pequeño, que es el sistema (2), entonces${\displaystyle \gamma (t)}$se convierte${\displaystyle \gamma _{\epsilon }(t),}$${\displaystyle \Gamma _ {\gamma }}$se convierte${\displaystyle \Gamma _ {\gamma _ {\epsilon }},}$y las variedades estables e inestables se vuelven diferentes entre sí. Además, para este suficientemente pequeño${\displaystyle \epsilon }$en un barrio${\displaystyle {\mathcal {N}}(\epsilon _ {0}),}$la órbita periódica${\displaystyle \gamma (t)}$del campo vectorial no perturbado (3) persiste como una órbita periódica,${\displaystyle \gamma _{\epsilon }(t)=\gamma (t)+{\mathcal {O}}(\epsilon ).}$Además,${\displaystyle W_{loc}^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$y${\displaystyle W_{loc}^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$son${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle \epsilon }$-cerca de${\displaystyle W_{loc}^{s}(\gamma (t))}$y${\displaystyle W_{loc}^{u}(\gamma (t))}$respectivamente.

Consideremos la siguiente sección transversal del espacio de fases.${\displaystyle \Sigma ^{\phi _{0}}=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}|\phi =\phi _{0}\},}$entonces${\displaystyle (q(t),\phi (t))}$y${\displaystyle (q_{\epsilon }(t),\phi (t))}$son las trayectorias de la

campos vectoriales no perturbados y perturbados, respectivamente. Las proyecciones de estas trayectorias sobre${\displaystyle \Sigma ^{\phi _{0}}}$son dados por${\displaystyle (q(t),\phi _{0}(t))}$y${\displaystyle (q_{\epsilon }(t),\phi _{0}(t)).}$Al observar la Figura 4, la división de${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t)),}$se define por lo tanto, consideremos los puntos que se intersecan${\displaystyle \pi _{p}}$transversalmente como ${\displaystyle p_{\epsilon }^{s}}$y${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}}$, respectivamente. Por lo tanto, es natural definir la distancia entre${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$en ese punto${\displaystyle p,}$denotado por${\displaystyle d(p,\epsilon )\equiv |p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u}|}$y se puede reescribir como${\displaystyle d(p,\epsilon )={\dfrac {(p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u})\cdot (DH(q_{0}(-t_{0}),0)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}),0)\parallel }}.}$Desde${\displaystyle p_{\epsilon }^{s}}$y${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}}$tumbarse en${\displaystyle \pi _{p},p_{\epsilon }^{s}=(q_{\epsilon }^{s},\phi _{0})}$y${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}=(q_{\epsilon }^{u},\phi _{0}),}$y luego${\displaystyle d(p,\epsilon )}$puede ser reescrito por

${\textstyle {d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot (q_{\epsilon }^{u}-q_{\epsilon }^{s})}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.~\ ~\ {(5)}}}$

Los colectores${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$pueden intersecarse${\displaystyle \pi _{p}}$en más de un punto como se muestra en la Figura 5. Para que sea posible, después de cada intersección,${\displaystyle \epsilon }$suficientemente pequeña, la trayectoria debe pasar por${\displaystyle {\mathcal {N}}(\epsilon _{0})}$de nuevo.

Desarrollando en serie de Taylor la ecuación (5) sobre${\displaystyle \epsilon =0,}$nos da${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=d(t_{0},\phi _{0},0)+\epsilon {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2}),}$dónde${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},0)=0}$y${\displaystyle {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.}$

Cuando${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=0,}$Entonces la función de Melnikov se define como

${\displaystyle {M(t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right),~\ ~\ {(6)}}}$

desde${\displaystyle DH(q_{0}(-t_{0}))=\left({\dfrac {\partial H}{\partial x}}(q_{0}(-t_{0})),{\dfrac {\partial H}{\partial y}}(q_{0}(-t_{0}))\right)}$no es cero en${\displaystyle q_{0}(-t_{0})}$, considerando${\displaystyle t_{0}}$finito y${\displaystyle M(t_{0},\phi _{0})=0\Rightarrow {\dfrac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0})=0.}$

Utilizando la ecuación (6) será necesario conocer la solución del problema perturbado. Para evitar esto, Melnikov definió una función de Melnikov dependiente del tiempo.

${\displaystyle {M(t;t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)~\ ~\ {(7)}}}$

Dónde${\displaystyle q_{\epsilon }^{u}(t)}$y${\displaystyle q_{\epsilon }^{s}(t)}$son las trayectorias que comienzan en${\displaystyle q_{\epsilon }^{u}}$y${\displaystyle q_{\epsilon }^{s}}$respectivamente. Tomar la derivada temporal de esta función permite algunas simplificaciones. La derivada temporal de uno de los términos de la ecuación (7) es$${\displaystyle {{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=\left(D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}){\dot {q_{0}}}(t-t_{0}))\right)\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}.~\ ~\ {(8)}}}$$ A partir de la ecuación de movimiento,${\displaystyle {\dot {q}}_{\epsilon }^{u,s}(t)=JDH(q_{\epsilon }^{u,s}(t))+\epsilon g(q_{\epsilon }^{u,s}(t),t,\epsilon ),}$ entonces $${\displaystyle {{\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}=JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+g(q_{0}(t-t_{0}),t,0)~\ ~\ {(9)}}}$$Sustituyendo las ecuaciones (2) y (9) en (8) se obtiene $${\displaystyle {{\begin{aligned}{ll}{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=&D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}))JDH(q_{0}(t-t_{0})\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\phi (t),0)\end{aligned}}~\ ~\ {(10)}}}$$ Se puede comprobar que los dos primeros términos del lado derecho se cancelan evaluando explícitamente las multiplicaciones de matrices y los productos escalares .${\displaystyle g(q,t,\epsilon )}$ha sido reparametrizado a${\displaystyle g(q,\phi ,\epsilon )}$.

Al integrar el término restante, la expresión para los términos originales no depende de la solución del problema perturbado.

${\displaystyle {{\begin{array}{lcl}DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{-\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\\DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{s}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\end{array}}~\ ~\ {(11)}}}$

El límite inferior de integración se ha elegido como el tiempo donde${\displaystyle q_{\epsilon }^{u,s}(t)=\gamma (t)}$, de modo que${\displaystyle {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}=0}$y por lo tanto los términos de frontera son cero.

Combinando estos términos y estableciendo${\displaystyle \tau =0,}$La forma final de la distancia de Melnikov se obtiene mediante

${\displaystyle {M(t_{0},\phi _{0})=\int _{-\infty }^{+\infty }DH(q_{0}(t))\cdot g(q_{0}(t),\omega t+\omega t_{0}+\phi _{0},0)dt.~\ ~\ {(12)}}}$

Luego, utilizando esta ecuación, el siguiente teorema

Teorema 1 : Supongamos que hay un punto${\displaystyle (t_{0},\phi _{0})=({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}$de tal manera que

• i)${\displaystyle M({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})=0}$y
• ii)${\displaystyle \left.{\frac {\partial M}{\partial t_{0}}}\right|_{({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}\neq 0}$.

Entonces, para${\displaystyle \epsilon }$suficientemente pequeño,${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$se intersecan transversalmente en${\displaystyle (q_{0}(-t_{0})+{\mathcal {O}}(\epsilon ),\phi _{0}).}$Además, si${\displaystyle M(t_{0},\phi _{0})\neq 0}$a pesar de${\displaystyle (t_{0},\phi _{0})\in \mathbb {R} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$, entonces${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))\cap W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))=\emptyset .}$

Del Teorema 1, cuando hay un cero simple de la función de Melnikov, esto implica intersecciones transversales de la estable${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$y${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$variedades que dan como resultado un enredo homoclinico . Dicho enredo es una estructura muy complicada en la que las variedades estables e inestables se intersecan un número infinito de veces.

Consideremos un pequeño elemento de volumen de fase, que parte de la vecindad de un punto cercano a la intersección transversal, a lo largo de la variedad inestable de un punto fijo. Claramente, cuando este elemento de volumen se aproxima al punto fijo hiperbólico, se distorsionará considerablemente debido a las intersecciones infinitas repetitivas y al estiramiento (y plegado) asociados con los conjuntos invariantes relevantes. Por lo tanto, es razonable esperar que el elemento de volumen experimente una secuencia infinita de transformaciones de estiramiento y plegado como la aplicación de herradura . Esta expectativa intuitiva se confirma rigurosamente mediante un teorema que se enuncia de la siguiente manera:

Teorema 2 : Supongamos que existe un difeomorfismo${\displaystyle P:M\rightarrow M}$, dónde${\displaystyle M}$es una variedad n-dimensional, tiene un punto fijo hiperbólico${\displaystyle {\bar {x}}}$con una estabilidad${\displaystyle W^{s}({\bar {x}})}$y ${\displaystyle W^{u}({\bar {x}})}$variedad inestable que se intersecan transversalmente en algún punto${\displaystyle x_{0}\neq {\bar {x}}}$,${\displaystyle W^{s}({\bar {x}})\perp W^{u}({\bar {x}}),}$dónde${\displaystyle dimW^{s}+dimW^{u}=n.}$Entonces,${\displaystyle M}$contiene un conjunto hiperbólico${\displaystyle \Lambda }$, invariante bajo${\displaystyle P}$, en el cual${\displaystyle P}$es topológicamente conjugado a un desplazamiento en un número finito de símbolos.

Así, según el Teorema 2, implica que la dinámica con un punto homoclinico transversal es topológicamente similar al mapa de herradura y tiene la propiedad de sensibilidad a las condiciones iniciales y por lo tanto, cuando la distancia de Melnikov (10) tiene un cero simple, implica que el sistema es caótico.