Grupo metabeliano

En matemáticas , un grupo metabeliano es un grupo cuyo subgrupo conmutador es abeliano . De forma equivalente, un grupo G es metabeliano si y solo si existe un subgrupo normal abeliano A tal que el grupo cociente G/A es abeliano.

Los subgrupos de grupos metabelianos son metabelianos, al igual que las imágenes de grupos metabelianos sobre homomorfismos de grupos .

Los grupos metabelianos son resolubles . De hecho, son precisamente los grupos resolubles de longitud derivada como máximo 2.

• Cualquier grupo abeliano es metabeliano.
• Cualquier grupo diedral es metabeliano, ya que posee un subgrupo normal cíclico de índice 2. De forma más general, cualquier grupo diedral generalizado es metabeliano, ya que posee un subgrupo normal abeliano de índice 2.
• Cualquier grupo metacíclico es metabeliano.
• Si F es un cuerpo , el grupo Aff( F ) de mapeos afines es${\displaystyle x\mapsto ax+b}$(donde a ≠ 0) que actúa sobre F es metabeliano. Aquí, el subgrupo normal abeliano es el grupo de traslaciones puras.${\displaystyle x\mapsto x+b}$y el grupo cociente abeliano es isomorfo al grupo de homotecias${\displaystyle x\mapsto ax}$. Si F es un cuerpo finito con q elementos, este grupo metabeliano es de orden q ( q − 1).
• El grupo de isometrías directas del plano euclidiano es metabeliano. Esto es similar al ejemplo anterior, ya que los elementos son nuevamente aplicaciones afines. Las traslaciones del plano forman un subgrupo normal abeliano del grupo, y el cociente correspondiente es el grupo del círculo .
• El grupo de Heisenberg finito H _{3, p} de orden p ³ es metabeliano. Lo mismo ocurre con cualquier grupo de Heisenberg definido sobre un anillo (grupo de matrices triangulares superiores de 3 × 3 con entradas en un anillo conmutativo ).
• Todos los grupos nilpotentes de clase 3 o inferior son metabelianos.
• El grupo de los faroleros es metabeliano.
• Todos los grupos de orden p ⁵ son metabelianos (para p prima ). ^{[ 1 ]}
• Todos los grupos, G , con subgrupos abelianos A y B tales que G=AB son metabelianos.
• Todos los grupos de orden inferior a 24 son metabelianos.

En contraste con este último ejemplo, el grupo simétrico S _{4 de orden 24 no es metabeliano, ya que su subgrupo conmutador es el} grupo alternante no abeliano A ₄ .

• Robinson, Derek JS (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6

• Ryan Wisnesky , Grupos resolubles (subsección Grupos metabelianos )
• Groupprops, la wiki de propiedades de grupo Grupo metabeliano