Análisis microlocal

El análisis microlocal es una rama del análisis matemático que estudia funciones, funciones generalizadas y ecuaciones diferenciales parciales localizándolas tanto en posición como en frecuencia. La idea principal es describir una singularidad no solo por el punto en el que ocurre, sino también por la dirección cotangente en la que ocurre. El término microlocal se refiere a la localización a pequeña escala en el espacio de fases : localmente cerca de un punto.${\displaystyle x}$de una variedad y simultáneamente cerca de un covector no nulo${\displaystyle \xi }$en ese punto. Esto es más fino que el análisis local ordinario, que solo distingue si una función o distribución es regular cerca${\displaystyle x}$La información de posición y covector en el que se produce una singularidad está codificada por el conjunto de frentes de onda de una distribución, un subconjunto cónico del fibrado cotangente con la sección cero eliminada. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El análisis microlocal se desarrolló entre las décadas de 1950 y 1970 en relación con las ecuaciones diferenciales parciales lineales , los métodos de transformada de Fourier , las hiperfunciones y los operadores pseudodiferenciales . Se ocupa de la regularidad elíptica , la propagación de singularidades, los operadores integrales de Fourier , la óptica geométrica , la teoría de la dispersión , la teoría espectral , el análisis semiclasico y los problemas inversos . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Una idea clave en el análisis microlocal es la de suavidad. En${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, esto se expresa utilizando la transformada de Fourier . Si${\displaystyle u}$es una distribución y${\displaystyle \phi }$es una función de corte suave admitida cerca de un punto${\displaystyle x_{0}}$, la desintegración de la transformada de Fourier${\displaystyle {\widehat {\phi u}}(\xi)}$como${\displaystyle |\xi |\to \infty }$detecta si${\displaystyle u}$es suave cerca${\displaystyle x_{0}}$El análisis microlocal considera esta decadencia solo en un entorno cónico de una dirección.${\displaystyle \xi _{0}\neq 0}$. Si la rápida decadencia se mantiene en ese entorno cónico, entonces${\displaystyle u}$Se dice que es microlocalmente suave en${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$. ^{[ 1 ]}

Por lo tanto, la suavidad microlocal es una noción más débil que la suavidad ordinaria: una distribución puede ser microlocalmente suave en algunas direcciones en un punto y no en otras.

Uno de los resultados básicos en el área es la regularidad elíptica microlocal. Si${\displaystyle P}$es un operador pseudodiferencial que es elíptico cerca${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$, entonces${\displaystyle u}$es microlocalmente suave en${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$cuando sea${\displaystyle Pu}$es microlocalmente suave allí. De manera equivalente, singularidades de una solución${\displaystyle u}$a una ecuación${\displaystyle Pu=f}$puede ocurrir lejos del conjunto de frentes de onda${\displaystyle f}$solo en el conjunto característico de${\displaystyle P}$. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

El frente de onda se estableció${\displaystyle WF(u)}$de una distribución${\displaystyle u}$en un colector liso${\displaystyle X}$es el conjunto de pares${\displaystyle (x,\xi )}$, con${\displaystyle \xi \neq 0}$, en el cual${\displaystyle u}$no es microlocalmente suave. Es un subconjunto cónico cerrado de${\displaystyle T^{*}X\setminus 0}$, lo que significa que si${\displaystyle (x,\xi )}$pertenece a${\displaystyle WF(u)}$, entonces también lo hace${\displaystyle (x,\lambda \xi )}$por cada${\displaystyle \lambda >0}$. ^{[ 1 ]}

La proyección de${\displaystyle WF(u)}$a${\displaystyle X}$es el apoyo singular de${\displaystyle u}$. Por lo tanto, el conjunto del frente de onda contiene la ubicación ordinaria de las singularidades, pero también registra sus direcciones. ^{[ 2 ]}

El conjunto de frentes de onda de una distribución delta de Dirac${\displaystyle \delta _{x_{0}}}$en un punto${\displaystyle x_{0}}$, por ejemplo, consiste en todas las direcciones cotangentes distintas de cero en${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle WF(\delta _{x_{0}})=\{(x_{0},\xi ):\xi \in T_{x_{0}}^{*}X,\ \xi \neq 0\}.}$

Si una distribución tiene una discontinuidad de salto a través de una hipersuperficie suave${\displaystyle S}$, su conjunto de frentes de onda está contenido en el fibrado conormal de${\displaystyle S}$Por lo tanto, la singularidad se concentra en direcciones normales a la hipersuperficie.

Los operadores pseudodiferenciales generalizan los operadores diferenciales al permitir funciones más generales de la variable de frecuencia. Localmente, dicho operador tiene la forma

${\displaystyle Au(x)=(2\pi )^{-n}\int e^{ix\cdot \xi }a(x,\xi ){\widehat {u}}(\xi )\,d\xi ,}$

o, más generalmente, una integral oscilatoria con una amplitud${\displaystyle a(x,\xi )}$. La función${\displaystyle a}$se denomina símbolo del operador. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

La parte homogénea principal del símbolo es el símbolo principal. Controla gran parte del comportamiento microlocal del operador. Un operador es elíptico en un punto${\displaystyle (x,\xi )}$del fibrado cotangente si su símbolo principal no es cero en ese punto. El conjunto donde el símbolo principal se anula es el conjunto característico del operador.

Los operadores pseudodiferenciales son microlocales en el sentido de que no crean nuevas singularidades en direcciones arbitrarias:

${\displaystyle WF(Au)\subseteq WF(u).}$

Las declaraciones más precisas implican el apoyo esencial del símbolo de${\displaystyle A}$. Por el contrario, los operadores pseudodiferenciales elípticos pueden invertirse microlocalmente, lo que da lugar a formas microlocales de regularidad elíptica. ^{[ 2 ]}

Para operadores de tipo principal real, el análisis microlocal proporciona un teorema preciso sobre la propagación de singularidades. Sea${\displaystyle P}$tienen símbolo principal real${\displaystyle p}$El campo vectorial hamiltoniano${\displaystyle H_{p}}$en el fibrado cotangente determina curvas llamadas bicaracterísticas . El teorema de propagación de singularidades dice, aproximadamente, que el conjunto de frentes de onda de una solución a${\displaystyle Pu=f}$, fuera del conjunto de frentes de onda de${\displaystyle f}$, es invariante a lo largo del flujo bicaracterístico en el conjunto característico de${\displaystyle P}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Este teorema proporciona una versión rigurosa de la óptica geométrica . Para ecuaciones hiperbólicas, las singularidades se propagan a lo largo de los rayos determinados por el flujo hamiltoniano del símbolo principal. En el caso de la ecuación de onda en una variedad riemanniana , estos rayos están relacionados con el flujo geodésico . En geometría lorentziana , la afirmación correspondiente es que las singularidades de las soluciones de onda se propagan a lo largo de geodésicas nulas (bicaracterísticas nulas).

• Análisis algebraico
• Microfunción
• Operador microdiferencial

• Duistermaat, JJ (2011), Operadores integrales de Fourier , Clásicos modernos de Birkhäuser, Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8108-1 , ISBN 978-0-8176-8107-4.
• Hörmander, Lars (1990), Análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2.ª  ed.), Berlín: Springer, doi : 10.1007/978-3-642-61497-2 , ISBN 978-3-642-61497-2.
• Hörmander, Lars (1985), Análisis de operadores diferenciales parciales lineales III: Operadores pseudodiferenciales , Berlín: Springer.
• Kashiwara, M.; Schapira, P.; Ivorra, F.; Waschkies, I. (2006), "Microlocalization of ind-sheaves" , Progress in Mathematics , Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 171-221 , ISBN  978-0-8176-4342-3
• Taylor, Michael E. (1981), Operadores pseudodiferenciales , Princeton Mathematical Series, vol.  34, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.

• Apuntes de clase de Richard Melrose
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