Número de Milnor

En matemáticas, y en particular en la teoría de singularidades , el número de Milnor , que recibe su nombre de John Milnor , es un invariante de un germen de función .

Si f es un germen de función holomorfa de valores complejos, entonces el número de Milnor de f , denotado por μ ( f ), es un entero no negativo o infinito . Puede considerarse tanto un invariante geométrico como un invariante algebraico . Por ello, desempeña un papel importante en la geometría algebraica y la teoría de singularidades .

Consideremos un germen de función compleja holomorfa

${\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ }$

y denotar por${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$el anillo de todos los gérmenes funcionales${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$Cada nivel de una función es una hipersuperficie compleja en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, por lo tanto${\displaystyle f}$se la denomina singularidad de hipersuperficie .

Supongamos que se trata de una singularidad aislada : en el caso de aplicaciones holomorfas se dice que una singularidad de hipersuperficie${\displaystyle f}$es singular en${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$si su gradiente${\displaystyle \nabla f}$es cero en${\displaystyle 0}$y se dice que${\displaystyle 0}$es un punto singular aislado si es el único punto singular en un entorno suficientemente pequeño de${\displaystyle 0}$. En particular, la multiplicidad del gradiente

${\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f}$

es finito mediante una aplicación de Nullstellensatz de Rückert . este numero${\displaystyle \mu (f)}$es el número de Milnor de singularidad${\displaystyle f}$en${\displaystyle 0}$.

Nótese que la multiplicidad del gradiente es finita si y solo si el origen es un punto crítico aislado de f .

Milnor originalmente ^{[ 1 ]} introdujo${\displaystyle \mu (f)}$en términos geométricos de la siguiente manera. Todas las fibras${\displaystyle f^{-1}(c)}$para valores${\displaystyle c}$cerca de${\displaystyle 0}$son variedades no singulares de dimensión real${\displaystyle 2(n-1)}$Su intersección con un pequeño disco abierto${\displaystyle D_{\epsilon }}$centrado en${\displaystyle 0}$es un colector liso${\displaystyle F}$llamada fibra de Milnor. Hasta el difeomorfismo.${\displaystyle F}$no depende de${\displaystyle c}$o${\displaystyle \epsilon }$si son lo suficientemente pequeños. También es difeomorfo a la fibra del mapa de fibración de Milnor .

La fibra Milnor${\displaystyle F}$es una variedad suave de dimensión${\displaystyle 2(n-1)}$y tiene el mismo tipo de homotopía que un ramo de${\displaystyle \mu (f)}$esferas${\displaystyle S^{n-1}}$Esto quiere decir que su número Betti medio${\displaystyle b_{n-1}(F)}$es igual al número de Milnor y tiene homología de un punto en dimensión menor que${\displaystyle n-1}$Por ejemplo, una curva plana compleja cerca de cada punto singular.${\displaystyle z_{0}}$tiene su fibra de Milnor homotópica a una cuña de${\ Displaystyle \ mu _ {z_ {0}} (f)}$círculos (el número de Milnor es una propiedad local, por lo que puede tener valores diferentes en distintos puntos singulares).

Por lo tanto, se cumplen las siguientes igualdades:

Número de Milnor = número de esferas en la cuña = número medio de Betti${\displaystyle F}$= grado del mapa${\displaystyle z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}}$en ${\displaystyle S_{\epsilon }}$= multiplicidad del gradiente${\displaystyle \nabla f}$

Otra forma de ver el número de Milnor es mediante la perturbación . Se dice que un punto es un punto singular degenerado, o que f tiene una singularidad degenerada, en${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$si${\displaystyle z_{0}}$es un punto singular y la matriz hessiana de todas las derivadas parciales de segundo orden tiene determinante cero en${\displaystyle z_{0}}$:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.}$

Se supone que f tiene una singularidad degenerada en 0. La multiplicidad de esta singularidad degenerada puede considerarse al pensar en cuántos puntos están unidos infinitesimalmente . Si la imagen de f se perturba de una manera estable, la singularidad degenerada aislada en 0 se dividirá en otras singularidades aisladas no degeneradas. El número de estas singularidades aisladas no degeneradas será igual al número de puntos que han sido unidos infinitesimalmente.

Precisamente, se toma otro germen de función g que no es singular en el origen y se considera el nuevo germen de función h  := f + εg donde ε es muy pequeño. Cuando ε = 0 entonces h = f . La función h se llama la morsificación de f . Es muy difícil calcular las singularidades de h , e incluso puede ser computacionalmente imposible. Este número de puntos que han sido pegados infinitesimalmente , esta multiplicidad local de f , es exactamente el número de Milnor de f .

Otras contribuciones ^{[ 2 ]} dan significado al número de Milnor en términos de la dimensión del espacio de deformaciones versales , es decir, el número de Milnor es la dimensión mínima del espacio de parámetros de deformaciones que contienen toda la información sobre la singularidad inicial.

A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos de polinomios con dos variables. Trabajar con una sola variable es demasiado simple y no ilustra adecuadamente las técnicas, mientras que trabajar con tres variables puede resultar engorroso. Cabe destacar que si f es holomorfa y no un polinomio, se puede utilizar su desarrollo en serie de potencias .

Sea f un número de Milnor finito μ , y sea${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\mu }}$sea ​​una base para el álgebra local, considerada como un espacio vectorial. Entonces, una deformación miniversal de f viene dada por

${\displaystyle F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),}$

${\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}$

dónde${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }}$Estas deformaciones (o despliegues ) son de gran interés en gran parte de la ciencia.

Los gérmenes de función se pueden agrupar para construir clases de equivalencia . Una equivalencia estándar es la A -equivalencia . Se dice que dos gérmenes de función${\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$son A -equivalentes si existen gérmenes de difeomorfismo${\displaystyle \phi$ :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)} y${\displaystyle \psi$ :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)} tal que${\displaystyle f\circ \phi =\psi \circ g}$: existe un cambio difeomórfico de variable tanto en el dominio como en el rango que lleva f a g . Si f y g son A- equivalentes, entonces μ ( f ) = μ ( g ).

Sin embargo, el número de Milnor no ofrece un invariante completo para los gérmenes de funciones, es decir, lo contrario es falso: existen gérmenes de funciones f y g con μ ( f ) = μ ( g ) que no son A- equivalentes. Para ver esto, consideremos${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}}$y${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{5}}$Esto produce${\displaystyle \mu (f)=\mu (g)=4}$pero f y g claramente no son A -equivalentes ya que la matriz hessiana de f es igual a cero mientras que la de g no lo es (y el rango de la hessiana es un A- invariante, como es fácil de ver).

• Arnoldo, VI ; Gusein-Zade, SM; Varchenko, AN (1985). Singularidades de mapas diferenciables . vol.  1. Birkhäuser .
• Gibson, Christopher G. (1979). Puntos singulares de aplicaciones suaves . Notas de investigación en matemáticas. Pitman.
• Milnor, John (1963). Teoría de Morse . Anales de Estudios Matemáticos. Princeton University Press .
• Milnor, John (1969). Puntos singulares de hipersuperficies complejas . Anales de estudios matemáticos. Princeton University Press .