El destino de Minkowski

En teoría algebraica de números , la cota de Minkowski proporciona una cota superior de la norma de los ideales que deben comprobarse para determinar el número de clases de un cuerpo numérico K. Recibe su nombre del matemático Hermann Minkowski .

Sea D el discriminante del cuerpo, n el grado de K sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, y${\displaystyle 2r_{2}=n-r_{1}}$sea ​​el número de incrustaciones complejas donde${\displaystyle r_{1}}$es el número de incrustaciones reales . Entonces, cada clase en el grupo de clases ideales de K contiene un ideal integral de norma que no excede la cota de Minkowski.

${\displaystyle M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}\ .}$

La constante de Minkowski para el campo K es esta cota M _K . ^{[ 1 ]}

Dado que el número de ideales enteros de norma dada es finito, la finitud del número de clases es una consecuencia inmediata, ^{[ 1 ]} y además, el grupo de clases de ideales está generado por los ideales primos de norma como máximo M _K .

La cota de Minkowski puede usarse para derivar una cota inferior para el discriminante de un cuerpo K dados n , r ₁ y r _2. Dado que un ideal integral tiene norma al menos uno, tenemos 1 ≤ M _K , de modo que

${\displaystyle {\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .}$

Para n al menos 2, es fácil demostrar que la cota inferior es mayor que 1, por lo que obtenemos el Teorema de Minkowski , que establece que el discriminante de todo cuerpo numérico, excepto Q , no es trivial. Esto implica que el cuerpo de los números racionales no tiene extensión no ramificada .

El resultado es una consecuencia del teorema de Minkowski .

• Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Math. Sci. Vol.  62 (2.ª reimpresión de la 1.ª  ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 . 
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  110 (segunda  ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94225-4. Zbl 0811.11001 . 
• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algebraica algorítmica de números . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol.  30. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001 . 

• "Uso de la constante de Minkowski para hallar un número de clase" . PlanetMath .
• Stevenhagen, Peter. Anillos de números .
• El encuentro con Minkowski en el Seminario Secreto de Blogueo