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Modelo hiperboloide

El arco circular rojo es geodésico en el modelo del disco de Poincaré ; se proyecta sobre la geodésica marrón en el hiperboloide verde. Animación del teselado hiperbólico parcia...

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El arco circular rojo es geodésico en el modelo del disco de Poincaré ; se proyecta sobre la geodésica marrón en el hiperboloide verde.
Animación del teselado hiperbólico parcial {7,3} del hiperboloide rotado a la perspectiva de Poincaré.

En geometría , el modelo hiperboloide , también conocido como modelo de Minkowski en honor a Hermann Minkowski , es un modelo de geometría hiperbólica n- dimensional en el que los puntos se representan mediante puntos en la hoja frontal S + de un hiperboloide de dos hojas en el espacio de Minkowski ( n +1)-dimensional o mediante los vectores de desplazamiento desde el origen hasta esos puntos, y los planos m se representan mediante las intersecciones de los planos ( m +1) que pasan por el origen en el espacio de Minkowski con S + o mediante productos de cuña de m vectores. El espacio hiperbólico está incrustado isométricamente en el espacio de Minkowski; es decir, la función de distancia hiperbólica se hereda del espacio de Minkowski, de forma análoga a como la distancia esférica se hereda de la distancia euclidiana cuando la n -esfera está incrustada en el espacio euclidiano ( n +1)-dimensional.

Otros modelos de espacio hiperbólico pueden considerarse proyecciones cartográficas de S + : el modelo de Beltrami-Klein es la proyección de S + a través del origen sobre un plano perpendicular a un vector desde el origen hasta un punto específico en S +, análogo a la proyección gnomónica de la esfera; el modelo de disco de Poincaré es una proyección de S + a través de un punto en la otra hoja S− sobre un plano perpendicular , análogo a la proyección estereográfica de la esfera; el modelo de Gans es la proyección ortogonal de S + sobre un plano perpendicular a un punto específico en S + , análogo a la proyección ortográfica ; el modelo de banda del plano hiperbólico es una proyección "cilíndrica" ​​conforme, análoga a la proyección de Mercator de la esfera; las coordenadas de Lobachevsky son una proyección cilíndrica análoga a la proyección equirrectangular (longitud, latitud) de la esfera.

Forma cuadrática de Minkowski

Si ( x 0 , x 1 , ..., x n ) es un vector en el espacio de coordenadas ( n + 1) dimensional R n +1 , la forma cuadrática de Minkowski se define como

Q(incógnita0,incógnita1,…,incógnitanorte)=−incógnita02+incógnita12+…+incógnitanorte2.{\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}

Los vectores v ∈ R n +1 tales que Q ( v ) = −1 forman un hiperboloide n -dimensional S que consta de dos componentes o láminas conectadas : la lámina hacia adelante, o futura, S + , donde x 0 >0 y la lámina hacia atrás, o pasada, S − , donde x 0 <0. Los puntos del modelo hiperboloide n- dimensional son los puntos en la lámina hacia adelante S + .

La métrica en el hiperboloide esds2=Q(dincógnita0,dincógnita1,…,dincógnitanorte)=−dincógnita02+dincógnita12+…+dincógnitanorte2.{\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}La forma bilineal de Minkowski B es la polarización de la forma cuadrática de Minkowski Q ,

B(tú,v)=(Q(tú+v)−Q(tú)−Q(v))/2.{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}

(Esto a veces también se escribe utilizando la notación de producto escalar)tú⋅v.{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}) Explícitamente,

B((incógnita0,incógnita1,…,incógnitanorte),(y0,y1,…,ynorte))=−incógnita0y0+incógnita1y1+…+incógnitanorteynorte.{\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}

La distancia hiperbólica entre dos puntos u y v de S + viene dada por la fórmula

d(tú,v)=arcosh⁡(−B(tú,v)),{\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}

donde arcosh es la función inversa del coseno hiperbólico .

Elección de la firma métrica

La forma bilinealB{\displaystyle B}También funciona como el tensor métrico sobre el espacio. En el espacio de Minkowski de n + 1 dimensiones, hay dos opciones para la métrica con signatura opuesta , en el caso de 3 dimensiones, ya sea (+, −, −) o (−, +, +).

Si se elige la signatura (−, +, +), el cuadrado escalar de las cuerdas entre puntos distintos de la misma hoja del hiperboloide será positivo, lo que se ajusta mejor a las definiciones y expectativas convencionales en matemáticas. En ese caso, el espacio hiperbólico n- dimensional es un espacio riemanniano y la distancia o longitud se puede definir como la raíz cuadrada del cuadrado escalar. Si se elige la signatura (+, −, −), el cuadrado escalar entre puntos distintos del hiperboloide será negativo, por lo que se deben ajustar varias definiciones de términos básicos, lo que puede resultar inconveniente. No obstante, la signatura (+, −, −, −) también es común para describir el espaciotiempo en física. (Véase Convención de signos#Signatura métrica ).

Líneas rectas

Una línea recta en el espacio hiperbólico n se modela mediante una geodésica en el hiperboloide. Una geodésica en el hiperboloide es la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal bidimensional (un plano que pasa por el origen) del espacio de Minkowski n + 1 dimensional. Si tomamos u y v como vectores base de ese subespacio lineal con

B(tú,tú)=1{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}
B(v,v)=−1{\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}
B(tú,v)=B(v,tú)=0{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}

y usar w como parámetro real para los puntos en la geodésica, entonces

túsinh⁡w+vaporrear⁡w{\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}

será un punto en la geodésica. [ 1 ]

De forma más general, un "plano" k -dimensional en el espacio hiperbólico n-dimensional se modelará mediante la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal k +1-dimensional (que incluye el origen) del espacio de Minkowski.

isometrías

El grupo ortogonal indefinido O(1, n ), también llamado grupo de Lorentz ( n +1)-dimensional , es el grupo de Lie de matrices reales ( n +1)×( n +1) que preservan la forma bilineal de Minkowski. En otro lenguaje, es el grupo de isometrías lineales del espacio de Minkowski . En particular, este grupo preserva el hiperboloide S. Recordemos que los grupos ortogonales indefinidos tienen cuatro componentes conexas, que corresponden a invertir o preservar la orientación en cada subespacio (aquí unidimensional y n -dimensional), y forman un grupo de Klein de cuatro dimensiones . El subgrupo de O(1, n ) que preserva el signo de la primera coordenada es el grupo de Lorentz ortócrono , denotado O + (1, n ), y tiene dos componentes, que corresponden a preservar o invertir la orientación del subespacio espacial. Su subgrupo SO + (1, n ) que consta de matrices con determinante uno es un grupo de Lie conexo de dimensión n ( n +1)/2 que actúa sobre S + mediante automorfismos lineales y preserva la distancia hiperbólica. Esta acción es transitiva y el estabilizador del vector (1,0,...,0) consta de las matrices de la forma

(10…00⋮A0){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}

DóndeA{\displaystyle A}pertenece al grupo ortogonal especial compacto SO( n ) (generalizando el grupo de rotación SO(3) para n = 3 ). De ello se deduce que el espacio hiperbólico n -dimensional puede exhibirse como el espacio homogéneo y un espacio simétrico riemanniano de rango 1,

Hnorte=SO+(1,norte)/SO(norte).{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}

El grupo SO + (1, n ) es el grupo completo de isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico n -dimensional.

En términos más concretos, SO + (1, n ) se puede dividir en n ( n −1)/2 rotaciones (formadas con una matriz de rotación euclidiana regular en el bloque inferior derecho) y n traslaciones hiperbólicas, que toman la forma

(aporrear⁡αsinh⁡α0⋯sinh⁡αaporrear⁡α0⋯001⋮⋮⋱){\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}

dóndeα{\displaystyle \alpha }es la distancia trasladada (a lo largo del eje x en este caso), y la segunda fila/columna se puede intercambiar con un par diferente para cambiar a una traslación a lo largo de un eje diferente. La forma general de una traslación en 3 dimensiones a lo largo del vector(w,incógnita,y,z){\displaystyle (w,x,y,z)}es:

(wincógnitayzincógnita incógnita2w+1+1yincógnitaw+1zincógnitaw+1yincógnitayw+1y2w+1+1zyw+1zincógnitazw+1yzw+1z2w+1+1)|,{\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}

donde​w=incógnita2+y2+z2+1{\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}Esto se extiende naturalmente a más dimensiones, y también es la versión simplificada de una transformación de Lorentz cuando se eliminan los términos específicos de la relatividad.

Ejemplos de grupos de isometrías

El grupo de todas las isometrías del modelo hiperboloide es O + (1, n ). Cualquier grupo de isometrías es un subgrupo de este.

Reflexiones

Por dos puntospag,q∈Hnorte,pag≠q{\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }, hay un reflejo único que los intercambia.

Dejartú=pag−qQ(pag−q){\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}. Tenga en cuenta queQ(tú)=1{\displaystyle Q(\mathbf {u} )=1}y por lo tantotú∉Hnorte{\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}.

Entonces

incógnita↦incógnita−2B(incógnita,tú)tú{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }

es un reflejo que intercambiapag{\displaystyle \mathbf {p} }yq{\displaystyle \mathbf {q} }Esto es equivalente a la siguiente matriz:

R=I−2tútúT(−100I){\displaystyle R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}}

(nótese el uso de la notación de matriz de bloques ).

Entonces{I,R}{\displaystyle \{I,R\}}es un grupo de isometrías. Todos esos subgrupos son conjugados .

Rotaciones y reflexiones

S={(100A):A∈O(norte)}{\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}

es el grupo de rotaciones y reflexiones que preservan(1,0,…,0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}. La funciónA↦(100A){\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}es un isomorfismo de O( n ) a este grupo. Para cualquier puntopag{\displaystyle p}, siincógnita{\displaystyle X}es una isometría que mapea(1,0,…,0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}apag{\displaystyle p}, entoncesincógnitaSincógnita−1{\displaystyle XSX^{-1}}es el grupo de rotaciones y reflexiones que preservanpag{\displaystyle p}.

Traducciones

Para cualquier número realt{\displaystyle t}, hay una traducción

Lt=(aporrear⁡tsinh⁡t0sinh⁡taporrear⁡t000I)=mi(0t0t00000){\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}=e^{\begin{pmatrix}0&t&0\\t&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}

(La expresión del lado derecho es una exponencial matricial .) Esta es una traslación de distanciat{\displaystyle t}en la dirección positiva del eje x sit≥0{\displaystyle t\geq 0}o de distancia−t{\displaystyle -t}en la dirección negativa del eje x sit≤0{\displaystyle t\leq 0}Cualquier traducción de distanciat{\displaystyle t}es conjugado deLt{\displaystyle L_{t}}yL−t{\displaystyle L_{-t}}. El conjunto{Lt:t∈R}{\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}es el grupo de traslaciones a través del eje x, y un grupo de isometrías es conjugado a él si y solo si es un grupo de isometrías a través de una línea.

Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar el grupo de traducciones a través de una línea.pagq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}. Dejarincógnita{\displaystyle X}ser una isometría que mapea(1,0,…,0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}apag{\displaystyle p}y dejarY{\displaystyle Y}ser una isometría que fijapag{\displaystyle p}y mapasincógnitaLd(pag,q)[1,0,…,0]T{\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}aq{\displaystyle q}. Un ejemplo de tal cosaY{\displaystyle Y}es un intercambio de reflejosincógnitaLd(pag,q)[1,0,…,0]T{\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}yq{\displaystyle q}(suponiendo que sean diferentes), porque ambos están a la misma distancia depag{\displaystyle p}. EntoncesYincógnita{\displaystyle YX}es un mapeo de isometría(1,0,…,0){\displaystyle (1,0,\dots ,0)}apag{\displaystyle p}y un punto en el eje x positivo paraq{\displaystyle q}. (Yincógnita)Lt(Yincógnita)−1{\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}es una traducción a través de la líneapagq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}de distancia|t|{\displaystyle |t|}. Sit≥0{\displaystyle t\geq 0}, está en elpagq→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}dirección. Sit≤0{\displaystyle t\leq 0}, está en elqpag→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}dirección. {(Yincógnita)Lt(Yincógnita)−1:t∈R}{\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}es el grupo de traducciones a través depagq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}.

Simetrías de horósferas

Sea H una horosfera tal que puntos de la forma(w,incógnita,0,…,0){\displaystyle (w,x,0,\dots,0)}están dentro de él para x arbitrariamente grande . Para cualquier vector b enRnorte−1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}

(1+12‖b‖2−12‖b‖2bT12‖b‖21−12‖b‖2bTb−bI)=mi(00bT00bTb−b0){\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}=e^{\begin{pmatrix}0&0&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\0&0&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &0\end{pmatrix}}}

es una hororrotación que mapea H sobre sí misma. El conjunto de tales hororrotaciones es el grupo de hororrotaciones que preservan H. Todas las hororrotaciones son conjugadas entre sí.

Para cualquierA{\displaystyle A}en O( n −1)

(10001000A){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}

Es una rotación o reflexión que preserva H y el eje x. Estas hororrotaciones, rotaciones y reflexiones generan el grupo de simetrías de H. El grupo de simetría de cualquier horósfera es conjugado a él. Son isomorfos al grupo euclidiano E( n -1).

Historia

En varios artículos entre 1878 y 1885, Wilhelm Killing [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] utilizó la representación que atribuyó a Karl Weierstrass para la geometría lobachevskiana . En particular, analizó formas cuadráticas comok2t2+tú2+v2+w2=k2{\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}o en dimensiones arbitrariask2incógnita02+incógnita12+⋯+incógnitanorte2=k2{\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}, dóndek{\displaystyle k}es la medida recíproca de la curvatura,k2=∞{\displaystyle k^{2}=\infty }denota geometría euclidiana ,k2>0{\displaystyle k^{2}>0}geometría elíptica yk2<0{\displaystyle k^{2}<0}geometría hiperbólica.

Según Jeremy Gray (1986), [ 5 ] Poincaré utilizó el modelo hiperboloide en sus notas personales en 1880. Poincaré publicó sus resultados en 1881, en los que discutió la invariancia de la forma cuadrática.ξ2+η2−ζ2=−1{\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}. [ 6 ] Gray muestra dónde el modelo hiperboloide está implícito en escritos posteriores de Poincaré. [ 7 ]

Asimismo, Homersham Cox en 1882 [ 8 ] [ 9 ] utilizó coordenadas de Weierstrass (sin usar este nombre) que satisfacen la relaciónz2−incógnita2−y2=1{\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}así comow2−incógnita2−y2−z2=1{\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}.

Alfred Clebsch y Ferdinand Lindemann dieron mayor difusión al modelo en 1891 al discutir la relaciónincógnita12+incógnita22−4k2incógnita32=−4k2{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}yincógnita12+incógnita22+incógnita32−4k2incógnita42=−4k2{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}. [ 10 ]

Las coordenadas de Weierstrass también fueron utilizadas por Gérard (1892), [ 11 ] Felix Hausdorff (1899), [ 12 ] Frederick S. Woods (1903)], [ 13 ] Heinrich Liebmann (1905). [ 14 ]

El hiperboloide fue explorado como un espacio métrico por Alexander Macfarlane en sus Papers in Space Analysis (1894). Observó que los puntos en el hiperboloide podían escribirse como

aporrear⁡A+αsinh⁡A,{\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}

donde α es un vector base ortogonal al eje del hiperboloide. Por ejemplo, obtuvo la ley hiperbólica de los cosenos mediante el uso de su Álgebra de la Física . [ 1 ]

H. Jansen convirtió el modelo hiperboloide en el foco explícito de su artículo de 1909 «Representación de la geometría hiperbólica en un hiperboloide de dos hojas». [ 15 ] En 1993, WF Reynolds relató parte de la historia temprana del modelo en su artículo en el American Mathematical Monthly . [ 16 ]

Siendo un modelo común en el siglo XX, Hermann Minkowski lo identificó con los Geschwindigkeitsvectoren (vectores de velocidad) en su conferencia de 1907 en Göttingen, «El principio de relatividad». Scott Walter, en su artículo de 1999 «El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana» [ 17 ], recuerda que Minkowski ya lo sabía, pero atribuye el origen del modelo a Hermann Helmholtz en lugar de a Weierstrass y Killing.

En los primeros años de la relatividad, Vladimir Varićak utilizó el modelo hiperboloide para explicar la física de la velocidad. En su discurso ante la Unión Matemática Alemana en 1912, se refirió a las coordenadas de Weierstrass. [ 18 ]

Véase también

Notas y referencias

  1. 1 2 Alexander Macfarlane (1894) Papers on Space Analysis , B. Westerman, Nueva York, enlace web desde archive.org
  2. ^ Matar, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 86 : 72-83 .
  3. ^ Matar, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 89 : 265-287 .
  4. ^ Matar, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . Leipzig.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  5. ↑ Ecuaciones diferenciales lineales y teoría de grupos de Riemann a Poincaré (páginas 271,2)
  6. ^ Poincaré, H. (1881). "Sobre las aplicaciones de la geometría no euclidiana a la teoría de las formas cuadradas" (PDF) . Asociación Francesa para el Avance de las Ciencias . 10 : 132-138 .
  7. ↑ Véase también Poincaré: Sobre las hipótesis fundamentales de la geometría 1887 Obras completas vol. 11, 71-91 y citado en el libro de BA Rosenfeld Una historia de la geometría no euclidiana p. 266 en la versión en inglés (Springer 1988).
  8. ↑ Cox, H. (1881). "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (70): 178– 192.
  9. ↑ Cox, H. (1882) [1881]. "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas (continuación)" . The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (71): 193– 215.
  10. ^ Lindemann, F. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II . Leipzig. pag. 524 . {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  11. ^ Gerard, L. (1892). Sur la géométrie non-Euclidienne . París: Gauthier-Villars.
  12. ^ Hausdorff, F. (1899). "Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Matemáticas-Física. Berichte . 51 : 161– 214. hdl : 2027/hvd.32044092889328 .
  13. ↑ Woods, FS (1905) [1903]. "Formas del espacio no euclidiano" . El Coloquio de Boston: Conferencias de Matemáticas del Año 1903 : 31–74 .
  14. ^ Liebmann, H. (1905) [1904]. Nichteuklidische Geometrie . Leipzig: Göschen.
  15. ^ Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Matemáticas. Gesellsch Hamburgo 4:409 – 440.
  16. ↑ Reynolds, William F. (1993) "Geometría hiperbólica en un hiperboloide", American Mathematical Monthly 100:442 – 55, enlace a Jstor
  17. ↑ Walter, Scott A. (1999), "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana" , en J. Gray (ed.), El universo simbólico: geometría y física 1890-1930 , Oxford University Press, pp . 91–127 
  18. ^ Varićak, V. ( 1912), "Sobre la interpretación no euclidiana de la teoría de la relatividad" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103-127 
  • Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometría de espacios de curvatura constante , Enciclopedia de ciencias matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
  • Anderson, James (2005), Geometría hiperbólica , Springer Undergraduate Mathematics Series (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
  • Ratcliffe, John G. (1994), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0Capítulo 3
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  • Parkkonen, Jouni. «GEOMETRÍA HIPERBÓLICA» (PDF) . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .