Polinomios de Mittag-Leffler

Los polinomios de Mittag-Leffler se definen respectivamente mediante las funciones generadoras.

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x)t^{n}:={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}}$y

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:={\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}=(1+t)^{x}(1-t)^{-x}=\exp(2x{\text{ artanh }}t).}$

También poseen la función generadora bivariada ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }g_{n}(m)x^{m}y^{n}={\frac {xy}{(1-x)(1-xy-xy)}}.}$

Los primeros polinomios se dan en la siguiente tabla. Los coeficientes de los numeradores de los${\displaystyle g_{n}(x)}$se pueden encontrar en el OEIS, ^{[ 2 ]} aunque sin ninguna referencia, y los coeficientes de la${\displaystyle M_{n}(x)}$También están en el OEIS ^{[ 3 ] .}

Las fórmulas explícitas son

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k-1}{\binom {n-1}{n-k}}{\binom {x}{k}}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}{\binom {n-1}{k}}{\binom {x}{k+1}}}$

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\binom {k+x}{n}}}$

${\displaystyle g_{n}(m)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n-1+m-k}{m-1}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\min(n,m)}{\frac {m}{n+m-k}}{\binom {n+m-k}{k,n-k,m-k}}}$

(el último se muestra inmediatamente${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$, una especie de fórmula de reflexión), y

${\displaystyle M_{n}(x)=(n-1)!\sum _{k=1}^{n}k2^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {x}{k}}}$, que también se puede escribir como

${\displaystyle M_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}}$, dónde${\displaystyle (x)_{n}=n!{\binom {x}{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)}$denota el factorial descendente .

En términos de la función hipergeométrica gaussiana , tenemos ^{[ 4 ]}

${\displaystyle g_{n}(x)=x\!\cdot {}_{2}\!F_{1}(1-n,1-x;2;2).}$

Como se indicó anteriormente, para${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$Tenemos la fórmula de reflexión.${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$.

Los polinomios${\displaystyle M_{n}(x)}$puede definirse recursivamente por

${\displaystyle M_{n}(x)=2xM_{n-1}(x)+(n-1)(n-2)M_{n-2}(x)}$, comenzando con${\displaystyle M_{-1}(x)=0}$y${\displaystyle M_{0}(x)=1}$.

Otra fórmula recursiva, que produce un impar a partir de los pares precedentes y viceversa, es

${\displaystyle M_{n+1}(x)=2x\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-2k)!}}M_{n-2k}(x)}$, comenzando de nuevo con${\displaystyle M_{0}(x)=1}$.

En cuanto a la${\displaystyle g_{n}(x)}$Tenemos varias fórmulas de recursión diferentes:

${\displaystyle \displaystyle (1)\quad g_{n}(x+1)-g_{n-1}(x+1)=g_{n}(x)+g_{n-1}(x)}$

${\displaystyle \displaystyle (2)\quad (n+1)g_{n+1}(x)-(n-1)g_{n-1}(x)=2xg_{n}(x)}$

${\displaystyle (3)\quad x{\Bigl (}g_{n}(x+1)-g_{n}(x-1){\Bigr )}=2ng_{n}(x)}$

${\displaystyle (4)\quad g_{n+1}(m)=g_{n}(m)+2\sum _{k=1}^{m-1}g_{n}(k)=g_{n}(1)+g_{n}(2)+\cdots +g_{n}(m)+g_{n}(m-1)+\cdots +g_{n}(1)}$

Respecto a la fórmula de recursión (3), el polinomio${\displaystyle g_{n}(x)}$es la solución polinómica única de la ecuación en diferencias${\displaystyle x(f(x+1)-f(x-1))=2nf(x)}$, normalizado de modo que${\displaystyle f(1)=1}$. ^{[ 5 ]} Además, observe que (2) y (3) son duales entre sí en el sentido de que para${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$, podemos aplicar la fórmula de reflexión a una de las identidades y luego intercambiar${\displaystyle x}$y${\displaystyle n}$para obtener el otro. (Como el${\displaystyle g_{n}(x)}$son polinomios, la validez se extiende desde los valores naturales a todos los valores reales de${\displaystyle x}$.)

La tabla de los valores iniciales de${\displaystyle g_{n}(m)}$(estos valores también se denominan "números figurados para los politopos cruzados n-dimensionales" en la OEIS ^{[ 6 ]} ) pueden ilustrar la fórmula de recursión (1), que puede interpretarse como que cada entrada es la suma de las tres entradas vecinas: a su izquierda, arriba y arriba a la izquierda, por ejemplo${\displaystyle g_{5}(3)=51=33+8+10}$También ilustra la fórmula de reflexión.${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$con respecto a la diagonal principal , por ejemplo${\displaystyle 3\cdot 44=4\cdot 33}$.

Para${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$Se cumple la siguiente relación de ortogonalidad: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g_{n}(-iy)g_{m}(iy)}{y\sinh \pi y}}dy={\frac {1}{2n}}\delta _{mn}.}$

(Tenga en cuenta que esta no es una integral compleja. A medida que cada${\displaystyle g_{n}}$es un polinomio par o impar, los argumentos imaginarios simplemente producen signos alternos para sus coeficientes. Además, si${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$Si tienen paridad diferente, la integral se anula trivialmente. Esta ha sido una de las razones para introducir los polinomios de  Mittag-Leffler reducidos .

Al ser una secuencia de Sheffer de tipo binomial , los polinomios de Mittag-Leffler${\displaystyle M_{n}(x)}$también satisfacen la identidad binomial ^{[ 8 ]}

${\displaystyle M_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}M_{k}(x)M_{n-k}(y)}$.

Los polinomios clásicos de Mittag-Leffler${\displaystyle g_{n}(x)}$satisfacen una fórmula de Rodrigues que involucra el operador de diferencia central. Esta fórmula se puede derivar utilizando su conexión con los polinomios de Meixner-Pollaczek. ^{[ 9 ]}

Los polinomios clásicos de Mittag-Leffler${\displaystyle g_{n}(x)}$se dan mediante la fórmula de tipo Rodrigues

${\displaystyle g_{n}(x)={\frac {2^{n}n!}{x\,w(x,1)}}\,\delta ^{n}{\Bigl [}w(x,n){\Bigr ]}}$,

dónde${\displaystyle \delta }$es el operador de diferencia central definido por

${\displaystyle \delta f(z)=f\left(z+{\frac {1}{2}}\right)-f\left(z-{\frac {1}{2}}\right)}$

y poderes superiores${\displaystyle \delta ^{n}}$se obtienen mediante aplicación sucesiva. La función tipo peso es la razón Gamma.

${\displaystyle w(x,n)={\frac {\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}-x\right)}{\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}+x\right)}}}$.

Esta representación se obtiene a partir de la relación de${\displaystyle g_{n}(x)}$a los polinomios de Meixner-Pollaczek${\displaystyle P_{n}^{(1)}(ix;\pi /2)}$y la conocida fórmula de Rodrigues para esta última familia. ^{[ 9 ]}

Basándose en la representación como una función hipergeométrica, existen varias formas de representar${\displaystyle g_{n}(z)}$para${\displaystyle |z|<1}$directamente como integrales, ^{[ 10 ]} algunas de ellas incluso válidas para complejos${\displaystyle z}$, p.ej

${\displaystyle (26)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-1}^{1}t^{n-1}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{z}dt}$

${\displaystyle (27)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{uz}{\frac {(\tanh {\frac {u}{2}})^{n}}{\sinh u}}du}$

${\displaystyle (32)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\cos({\frac {\pi z}{2}})\cos(nu)du}$

${\displaystyle (33)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\sin({\frac {\pi z}{2}})\sin(nu)du}$

${\displaystyle (34)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(1+e^{it})^{z}(2+e^{it})^{n-1}e^{-int}dt}$.

Existen varias familias de integrales con expresiones analíticas en términos de valores zeta , donde los coeficientes de los polinomios de Mittag-Leffler aparecen como coeficientes. Todas estas integrales pueden escribirse en una forma que contenga un factor.${\displaystyle \tan ^{\pm n}}$o${\displaystyle \tanh ^{\pm n}}$, lo cual está estrechamente relacionado con el hecho de que las características de la función generadora${\displaystyle {\text{artanh}}}$. El grado del polinomio de Mittag-Leffler varía con${\displaystyle n}$Una forma de calcular esas integrales es obtener para ellas las fórmulas de recurrencia correspondientes, como para los polinomios de Mittag-Leffler, utilizando la integración por partes .

1. Por ejemplo, ^{[ 11 ]} definimos para${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle I(n,m):=\int _{0}^{1}{\dfrac {{\text{artanh}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{0}^{1}\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {1+x}{1-x}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\coth ^{m-2}z}{\sinh ^{2}z}}dz.}$

Estas integrales tienen la forma cerrada.

${\displaystyle (1)\quad I(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\zeta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\zeta }})}$

en notación umbral, lo que significa que después de expandir el polinomio en${\displaystyle \zeta }$, cada poder${\displaystyle \zeta ^{k}}$debe ser reemplazado por el valor zeta${\displaystyle \zeta (k)}$Por ejemplo, de ${\displaystyle g_{6}(x)={\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})\ }$ obtenemos ${\displaystyle \ I(n,7)={\frac {n!}{2^{n-1}}}{\frac {23~\zeta (n-1)+20~\zeta (n-3)+2~\zeta (n-5)}{45}}\ }$para${\displaystyle n\geqslant 7}$.

2. Asimismo, tome por${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle J(n,m):=\int _{1}^{\infty }{\dfrac {{\text{arcoth}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{1}^{\infty }\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {x+1}{x-1}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\tanh ^{m-2}z}{\cosh ^{2}z}}dz.}$

En notación umbral, donde después de expandir,${\displaystyle \eta ^{k}}$debe ser reemplazado por la función eta de Dirichlet${\displaystyle \eta (k):=\left(1-2^{1-k}\right)\zeta (k)}$, esos tienen la forma cerrada

${\displaystyle (2)\quad J(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\eta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\eta }})}$.

3. Lo siguiente ^{[ 12 ]} es válido para${\displaystyle n\geqslant m}$con la misma notación umbral para${\displaystyle \zeta }$y${\displaystyle \eta }$y completando por continuidad${\displaystyle \eta (1):=\ln 2}$.

${\displaystyle (3)\quad \int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx=\cos {\Bigl (}{\frac {m}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {(\pi /2)^{n+1}}{n+1}}+\cos {\Bigl (}{\frac {m-n-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m}{2^{n}}}\zeta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\zeta }})+\sum \limits _{v=0}^{n}\cos {\Bigl (}{\frac {m-v-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m~\pi ^{n-v}}{(n-v)!~2^{n}}}\eta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\eta }}).}$

Tenga en cuenta que para${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$, esto también produce una forma cerrada para las integrales

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan ^{n}x}{x^{m}}}dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx+\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m-2}x}}dx.}$

4. Para${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$, definir ^{[ 13 ]}${\displaystyle \quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx}$.

Si${\displaystyle n+m}$es uniforme y definimos${\displaystyle h_{k}:=(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\frac {(k-1)!(2^{k}-1)\zeta (k)}{2^{k-1}\pi ^{k-1}}}}$, tenemos en notación umbral, es decir reemplazando ${\displaystyle h^{k}}$por${\displaystyle h_{k}}$,

${\displaystyle (4)\quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\dfrac {n\cdot 2^{m-1}}{(m-1)!}}(-h)^{m-1}g_{n}(h).}$

Tenga en cuenta que solo los valores zeta impares (impares)${\displaystyle k}$) ocurren aquí (a menos que los denominadores se expresen como valores zeta pares), por ejemplo

${\displaystyle K(5,3)=-{\frac {2}{3}}(3h_{3}+10h_{5}+2h_{7})=-7{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{2}}}+310{\frac {\zeta (5)}{\pi ^{4}}}-1905{\frac {\zeta (7)}{\pi ^{6}}},}$

${\displaystyle K(6,2)={\frac {4}{15}}(23h_{3}+20h_{5}+2h_{7}),\quad K(6,4)={\frac {4}{45}}(23h_{5}+20h_{7}+2h_{9}).}$

5. Si${\displaystyle n+m}$Es extraño, la misma integral es mucho más compleja de evaluar, incluyendo la inicial.${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{3}(x)}{x^{2}}}dx}$. Sin embargo, resulta que el patrón subsiste si definimos ^{[ 14 ]}${\displaystyle s_{k}:=\eta '(-k)=2^{k+1}\zeta (-k)\ln 2-(2^{k+1}-1)\zeta '(-k)}$, equivalentemente${\displaystyle s_{k}={\frac {\zeta (-k)}{\zeta '(-k)}}\eta (-k)+\zeta (-k)\eta (1)-\eta (-k)\eta (1)}$. Entonces${\displaystyle K(n,m)}$tiene la siguiente forma cerrada en notación umbral, reemplazando${\displaystyle s^{k}}$por${\displaystyle s_{k}}$:

${\displaystyle (5)\quad K(n,m)=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\frac {n\cdot 2^{m}}{(m-1)!}}(-s)^{m-2}g_{n}(s)}$, p.ej

${\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,3)=-{\frac {8}{15}}(23s_{3}+20s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,5)=-{\frac {8}{45}}(23s_{5}+20s_{7}+2s_{9}).}$

Nótese que, en virtud de la derivada logarítmica,${\displaystyle {\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}(1-s)=\log \pi -{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1-s}{2}}\right)}$de la ecuación funcional de Riemann , tomada después de aplicar la fórmula de reflexión de Euler , ^{[ 15 ]} estas expresiones en términos de la${\displaystyle s_{k}}$puede escribirse en términos de${\displaystyle {\frac {\zeta '(2j)}{\zeta (2j)}}}$, p.ej

${\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7})={\frac {1}{9}}\left\{{\frac {1643}{420}}-{\frac {16}{315}}\ln 2+3{\frac {\zeta '(4)}{\zeta (4)}}-20{\frac {\zeta '(6)}{\zeta (6)}}+17{\frac {\zeta '(8)}{\zeta (8)}}\right\}.}$

6. Para${\displaystyle n<m}$, la misma integral${\displaystyle K(n,m)}$diverge porque el integrando se comporta como${\displaystyle x^{n-m}}$para${\displaystyle x\searrow 0}$. Pero la diferencia de dos integrales de este tipo con diferencias de grado correspondientes está bien definida y presenta patrones muy similares, por ejemplo

${\displaystyle (6)\quad K(n-1,n)-K(n,n+1)=\int \limits _{0}^{\infty }\left({\dfrac {\tanh ^{n-1}(x)}{x^{n}}}-{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{n+1}}}\right)dx=-{\frac {1}{n}}+{\frac {(n+1)\cdot 2^{n}}{(n-1)!}}s^{n-2}g_{n}(s)}$.

7. Para${\displaystyle n\geq m\geq 1}$, definir ^{[ 16 ]}

${\displaystyle L(n,m):=\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}}{\operatorname {artanh} ^{m}x}}\,dx.}$

Si${\displaystyle n+m}$es incluso, deja

${\displaystyle \omega _{j}:={\frac {(2^{2j-1}-1)\zeta (2j-1)}{\pi ^{2j-2}}},}$

y escribir

${\displaystyle \nu$ :=(n+1){\bmod {2}}\en \{0,1\}.}

Entonces

${\displaystyle L(n,m)=\sum _{k=1}^{(n+m)/2}(-1)^{k-1+\lfloor m/2\rfloor }{\frac {(2k+m-1-\nu )!}{2^{\,2k-1-\nu }(m-1)!}}[x^{2k-\nu }]g_{n+1}(x)\,\omega _{k+\lceil m/2\rceil }.}$

Aquí${\displaystyle [x^{p}]g_{n+1}(x)}$denota el coeficiente de${\displaystyle x^{p}}$en el polinomio de Mittag-Leffler${\displaystyle g_{n+1}}$. Cuando${\displaystyle n}$es extraño (${\displaystyle \nu =0}$), solo coeficientes pares de${\displaystyle g_{n+1}}$contribuir; cuando${\displaystyle n}$es incluso (${\displaystyle \nu =1}$), solo contribuyen los coeficientes impares. En consecuencia, la expansión involucra solo valores impares de la zeta de Riemann. De forma equivalente, es una combinación lineal de derivadas de la función zeta de Riemann en enteros pares negativos.

Ejemplos con${\displaystyle n=4}$(incluso,${\displaystyle \nu =1}$), usando ${\displaystyle g_{5}(x)={\tfrac {1}{15}}(3x+10x^{3}+2x^{5})}$:

${\displaystyle L(4,2)={\frac {1}{15}}(-6\omega _{2}+60\omega _{3}-90\omega _{4})=-{\frac {2\cdot 7\,\zeta (3)}{5\pi ^{2}}}+{\frac {4\cdot 31\,\zeta (5)}{\pi ^{4}}}-{\frac {6\cdot 127\,\zeta (7)}{\pi ^{6}}},}$

${\displaystyle L(4,4)={\frac {1}{15}}(12\omega _{3}-300\omega _{4}+840\omega _{5})={\frac {4\cdot 31\,\zeta (5)}{5\pi ^{4}}}-{\frac {20\cdot 127\,\zeta (7)}{\pi ^{6}}}+{\frac {56\cdot 511\,\zeta (9)}{\pi ^{8}}}.}$

Ejemplos con${\displaystyle n=5}$(extraño,${\displaystyle \nu =0}$), usando ${\displaystyle g_{6}(x)={\tfrac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})}$:

${\displaystyle L(5,1)={\frac {1}{45}}(23\omega _{2}-60\omega _{3}+45\omega _{4})={\frac {23\cdot 7\,\zeta (3)}{45\pi ^{2}}}-{\frac {4\cdot 31\,\zeta (5)}{3\pi ^{4}}}+{\frac {127\,\zeta (7)}{\pi ^{6}}},}$

${\displaystyle L(5,3)={\frac {1}{15}}(-46\omega _{3}+300\omega _{4}-420\omega _{5})=-{\frac {46\cdot 31\,\zeta (5)}{15\pi ^{4}}}+{\frac {20\cdot 127\,\zeta (7)}{\pi ^{6}}}-{\frac {28\cdot 511\,\zeta (9)}{\pi ^{8}}},}$

${\displaystyle L(5,5)={\frac {1}{15}}(115\omega _{4}-1400\omega _{5}+3150\omega _{6})={\frac {23\cdot 127\,\zeta (7)}{3\pi ^{6}}}-{\frac {280\cdot 511\,\zeta (9)}{3\pi ^{8}}}+{\frac {210\cdot 2047\,\zeta (11)}{\pi ^{10}}}.}$

8. Para${\displaystyle n+m}$extraño,${\displaystyle n>m\geq 1}$, las mismas integrales ^{[ 17 ]}

${\displaystyle L(n,m)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}}{\operatorname {artanh} ^{m}x}}dx}$

implican derivadas de la función zeta de Riemann en enteros impares negativos. Sea de nuevo

${\displaystyle \nu$ :=(n+1){\bmod {2}}\en \{0,1\}.}

Entonces tenemos la forma cerrada

${\displaystyle L(n,m)=\lambda (n,m)\ln 2+(-1)^{m}\sum _{j=1}^{\lfloor (n+m)/2\rfloor +1}C(j,m)\,[x^{2j-\nu }]g_{n+1}(x)\,\zeta '{\bigl (}1-2j-2\lfloor m/2\rfloor {\bigr )},}$

dónde${\displaystyle [x^{p}]g_{n+1}(x)}$denota el coeficiente de${\displaystyle x^{p}}$en el polinomio de Mittag-Leffler${\displaystyle g_{n+1}}$, y${\displaystyle C(j,m)}$se da explícitamente por

${\displaystyle C(j,m)={\frac {2^{m+1}}{(m-1)!}}\left(4^{j+\lfloor m/2\rfloor }-1\right).}$

El último término de la suma, correspondiente a${\displaystyle j=\lfloor (n+m)/2\rfloor +1}$, desaparece idénticamente siempre${\displaystyle m\geq 2}$, Desde entonces${\displaystyle 2j-\nu >\deg g_{n+1}=n+1}$; por lo tanto, contribuye solo cuando${\displaystyle m=1}$, donde aterriza exactamente en el grado superior de${\displaystyle g_{n+1}}$.

El coeficiente de${\displaystyle \ln 2}$tiene la forma cerrada

${\displaystyle \lambda (n,m)=[t^{n+m+1}]\left({\frac {t}{\operatorname {artanh} t}}\right)^{m}=-{\frac {m}{n+1}}\,[s^{n+m+1}]{\bigl (}s\coth s{\bigr )}^{n+1},}$

donde la segunda expresión se obtiene mediante inversión de Lagrange a partir de${\displaystyle t=\tanh s}$. Escribiendo${\displaystyle B_{k}^{(r)}}$para los números de Bernoulli de orden superior (Nørlund) ^{[ 18 ]} definidos por

${\displaystyle \left({\frac {x}{e^{x}-1}}\right)^{r}=\sum _{k\geq 0}B_{k}^{(r)}\,{\frac {x^{k}}{k!}},}$

Esto se expande en la suma de forma cerrada finita.

${\displaystyle \lambda (n,m)=-{\frac {m}{n+1}}\sum _{i=0}^{n+1}{\binom {n+1}{i}}\,2^{n+m+1-i}\,{\frac {B_{n+m+1-i}^{(n+1-i)}}{(n+m+1-i)!}}.}$

Ejemplos con${\displaystyle g_{3}(x)={\tfrac {1}{3}}(x+2x^{3})}$y${\displaystyle g_{6}(x)={\tfrac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})}$:

${\displaystyle L(2,1)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\operatorname {artanh} x}}\,dx=-4\zeta '(-1)-40\zeta '(-3)-{\frac {4}{45}}\ln 2,}$

${\displaystyle L(5,2)={\frac {184}{3}}\zeta '(-3)+224\,\zeta '(-5)+{\frac {272}{3}}\zeta '(-7)-{\frac {304}{14175}}\ln 2,}$

${\displaystyle L(5,4)={\frac {2576}{15}}\zeta '(-5)+{\frac {5440}{9}}\zeta '(-7)+{\frac {10912}{45}}\zeta '(-9)+{\frac {256}{93555}}\ln 2.}$

Para referencia,

${\displaystyle C(1,m)=12,\,120,\,120,\,336,\,168,\,{\frac {272}{3}},\,{\frac {272}{9}},\,{\frac {272}{21}},\,{\frac {136}{21}},\,{\frac {18176}{315}},\,{\frac {18176}{1575}},\,{\frac {2912}{693}},\,{\frac {5824}{8316}},\,{\frac {87376}{2027025}}}$

para${\displaystyle m=1,\dots ,14}$.

Los polinomios reducidos de Mittag-Leffler${\displaystyle \phi _{n}(x)}$para${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$se definen como

${\displaystyle \phi _{n}(x)={\frac {g_{n+1}(ix)}{i^{n+1}x}}}$.

dónde${\displaystyle g_{n}(x)}$son los polinomios clásicos de Mittag-Leffler que satisfacen la función generatriz

${\displaystyle \left({\frac {1+t}{1-t}}\right)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x)t^{n}\quad (|t|<1)}$,

con condiciones iniciales${\displaystyle g_{0}(x)=1}$y${\displaystyle g_{1}(x)=2x}$Obedecen la relación de recurrencia de tres términos.

${\displaystyle (n+2)\phi _{n+1}(x)=2x\phi _{n}(x)-n\phi _{n-1}(x)\quad (n\in \mathbb {N} )}$,

con valores iniciales

${\displaystyle \phi _{0}(x)=2,\phi _{1}(x)=2x}$.

Los polinomios satisfacen la relación de paridad.

${\displaystyle \phi _{n}(-x)=(-1)^{n}\phi _{n}(x)}$.

Los polinomios de Mittag-Leffler reducidos mónicos asociados vienen dados por

${\displaystyle {\hat {\phi }}_{n}(x)={\frac {(n+1)!}{2^{n+1}}}\phi _{n}(x)}$,

que satisfacen la recurrencia mónica

${\displaystyle {\hat {\phi }}_{n+1}(x)=x{\hat {\phi }}_{n}(x)-{\frac {n(n+1)}{4}}{\hat {\phi }}_{n-1}(x)\quad (n\in \mathbb {N} )}$,

con${\displaystyle {\hat {\phi }}_{0}(x)=1}$y${\displaystyle {\hat {\phi }}_{1}(x)=x}$.

Los primeros polinomios reducidos mónicos son:

• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{0}(x)=1}$
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{1}(x)=x}$
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{2}(x)=x^{2}-{\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{3}(x)=x^{3}-2x}$
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}(x)=x^{4}-5x^{2}+{\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+{\frac {23}{2}}x}$

Los polinomios reducidos de Mittag-Leffler${\displaystyle \{\phi _{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$son ortogonales en la recta real con función de peso${\displaystyle {\frac {x}{\sinh(\pi x)}}}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi _{n}(x)\phi _{m}(x){\frac {x}{\sinh(\pi x)}}\,dx={\frac {2}{n+1}}\delta _{mn}\quad (n,m\in \mathbb {N} _{0})}$.

Todos los ceros de${\displaystyle \phi _{n}(x)}$(y por lo tanto de${\displaystyle {\hat {\phi }}_{n}(x)}$) son reales. ^{[ 9 ]}

Cada polinomio reducido mónico${\displaystyle {\hat {\phi }}_{n}(x)}$satisface una ecuación diferencial ordinaria de orden finito de orden${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(\alpha _{k}+\beta _{k}x){\frac {{\hat {\phi }}_{n}^{(k)}(x)}{k!}}-n{\hat {\phi }}_{n}(x)=0}$,

donde los coeficientes son

${\displaystyle \alpha _{k}=\cos {\frac {k\pi }{2}},\quad \beta _{k}=\sin {\frac {k\pi }{2}}}$.

Por ejemplo, para${\displaystyle n=4}$, tenemos${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}(x)=x^{4}-5x^{2}+{\frac {3}{2}}}$Los coeficientes son:

${\displaystyle \alpha _{1}=0,\beta _{1}=1;\quad \alpha _{2}=-1,\beta _{2}=0;\quad \alpha _{3}=0,\beta _{3}=-1;\quad \alpha _{4}=1,\beta _{4}=0}$.

La ecuación diferencial se convierte en:

${\displaystyle x{\hat {\phi }}_{4}'(x)-{\frac {1}{2}}{\hat {\phi }}_{4}''(x)-{\frac {x}{6}}{\hat {\phi }}_{4}'''(x)+{\frac {1}{24}}{\hat {\phi }}_{4}^{(4)}(x)-4{\hat {\phi }}_{4}(x)=0}$.

Esto se puede verificar calculando las derivadas:${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}'(x)=4x^{3}-10x}$,${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}''(x)=12x^{2}-10}$,${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}'''(x)=24x}$,${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}^{(4)}(x)=24}$y sustituyendo en la ecuación.

Además, satisfacen la ecuación diferencial (de operador) de orden infinito.

${\displaystyle (\cos D+x\sin D-(n+1)I){\hat {\phi }}_{n}(x)=0\quad \left(D={\frac {d}{dx}},\ I={\text{identity operator}}\right)}$,

significado${\displaystyle {\hat {\phi }}_{n}(x)}$es una autofunción del operador${\displaystyle \cos D+x\sin D-I}$con valor propio${\displaystyle n}$.

Los operadores${\displaystyle \sin D}$y${\displaystyle \cos D}$actúan sobre las funciones a través de sus series de Taylor . Por ejemplo, para${\displaystyle {\hat {\phi }}_{4}(x)=x^{4}-5x^{2}+{\frac {3}{2}}}$:

${\displaystyle \cos D\,{\hat {\phi }}_{4}(x)={\hat {\phi }}_{4}(x)-{\frac {1}{2!}}{\hat {\phi }}_{4}''(x)+{\frac {1}{4!}}{\hat {\phi }}_{4}^{(4)}(x)=x^{4}-5x^{2}+{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}(12x^{2}-10)+{\frac {1}{24}}(24)=x^{4}-11x^{2}+9}$,

${\displaystyle \sin D\,{\hat {\phi }}_{4}(x)={\hat {\phi }}_{4}'(x)-{\frac {1}{3!}}{\hat {\phi }}_{4}'''(x)=4x^{3}-10x-{\frac {1}{6}}(24x)=4x^{3}-14x}$,

${\displaystyle x\sin D\,{\hat {\phi }}_{4}(x)=x(4x^{3}-14x)=4x^{4}-14x^{2}}$.