Volumen mixto

En matemáticas , más específicamente, en geometría convexa , el volumen mixto es una forma de asociar un número no negativo a una tupla de cuerpos convexos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Este número depende del tamaño y la forma de los cuerpos, y de su orientación relativa entre sí.

Dejar${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$ser cuerpos convexos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y considere la función

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

dónde${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$representa el${\displaystyle n}$volumen -dimensional, y su argumento es la suma de Minkowski de los cuerpos convexos escalados${\displaystyle K_{i}}$Se puede demostrar que${\displaystyle f}$es un polinomio homogéneo de grado${\displaystyle n}$, por lo que se puede escribir como

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

donde las funciones${\displaystyle V}$son simétricas. Para una función de índice particular${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$, el coeficiente${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$se llama el volumen mixto de${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$.

• El volumen mixto está determinado de forma unívoca por las siguientes tres propiedades:

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$;
2. ${\displaystyle V}$es simétrico en sus argumentos;
3. ${\displaystyle V}$es multilineal:${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$para${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$.

• El volumen mixto es no negativo y aumenta monótonamente en cada variable:${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$para${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$.
• La desigualdad Alexandrov - Fenchel, descubierta por Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Werner Fenchel :

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

Numerosas desigualdades geométricas, como la desigualdad de Brunn-Minkowski para cuerpos convexos y la primera desigualdad de Minkowski , son casos especiales de la desigualdad de Alexandrov - Fenchel.

Dejar${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$Sea un cuerpo convexo y sea${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$Sea la bola euclidiana de radio unitario. El volumen mixto

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {nj{\text{ veces}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ veces}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

se denomina la j - ésima integral de Quermass de${\displaystyle K}$. ^{[ 1 ]}

La definición de volumen mixto da como resultado la fórmula de Steiner (que recibe su nombre de Jakob Steiner ):

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

Los volúmenes intrínsecos de${\displaystyle B^{n}}$, la unidad de bola en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, satisfacer$${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{j}\left(B^{n}\right)={\frac {\kappa _{n}}{\kappa _{n-j}}}{\binom {n}{j}},\quad j=0,\ldots ,n.\\&\kappa _{m}=\operatorname {Vol} _{m}\left(B^{m}\right)={\frac {\pi ^{m/2}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}+1\right)}}\end{aligned}}}$$Dado un cuerpo convexo n -dimensional${\textstyle K}$, el${\textstyle j}$-ésimo volumen intrínseco de${\textstyle K}$satisface la fórmula de Cauchy-Kubota ^{[ 3 ]}$${\displaystyle V_{j}(K):={\frac {\kappa _{n}}{\kappa _{j}\kappa _{n-j}}}{\binom {n}{j}}\int _{\mathrm {G} (n,j)}V_{j}\left(\operatorname {proj} _{E}K\right)\mathrm {d} E}$$Aquí,${\textstyle \kappa _{j}}$denota el${\textstyle j}$-volumen dimensional del${\textstyle j}$bola unitaria de dimensión , la integración se realiza con respecto a la medida de probabilidad de Haar en${\textstyle \mathrm {G} (n,j)}$, el grassmanniano de${\textstyle j}$subespacios -dimensionales en${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, y${\textstyle \operatorname {proj} _{E}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow E}$denota la proyección ortogonal sobre${\textstyle E\in \mathrm {G} (n,j)}$.

Burago, Yu.D. (2001) [1994], "Teoría de volúmenes mixtos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press