Monodromía

En matemáticas , la monodromía es el estudio de cómo se comportan los objetos del análisis matemático , la topología algebraica , la geometría algebraica y la geometría diferencial al "recorrer" una singularidad . Como su nombre indica, el significado fundamental de monodromía proviene de "recorrer individualmente". Está estrechamente relacionada con las aplicaciones de recubrimiento y su degeneración en ramificación ; el aspecto que da origen a los fenómenos de monodromía es que ciertas funciones que deseamos definir no son unívocas al "recorrer" una trayectoria que rodea una singularidad. El fallo de la monodromía se puede medir definiendo un grupo de monodromía : un grupo de transformaciones que actúan sobre los datos y que codifican lo que sucede al "recorrer" en una dimensión. La falta de monodromía a veces se denomina polidromía . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico basado en conexo y localmente simplemente conexo con punto base${\displaystyle x}$y dejar${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ser un revestimiento . Defina su fibra base${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$.

Cualquier bucle${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to X} basado en${\displaystyle x}$, se puede levantar a través del mapa de cobertura. Cualquier punto${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$corresponde a un ascensor diferente${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$al establecer${\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {\gamma }}(0)}$Denotemos por${\displaystyle \gamma \cdot {\tilde {x}}}$el punto final${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$, que generalmente es diferente de${\displaystyle {\tilde {x}}}$.

Dados dos cualesquiera${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$que representan el mismo elemento en el grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$La propiedad de homotopía de recubrimiento muestra que definen la misma acción.${\displaystyle \gamma \cdot {\tilde {x}}=\gamma '\cdot {\tilde {x}}}$Por lo tanto, podemos escribir sin ambigüedad${\displaystyle [\gamma ]\cdot {\tilde {x}}}$, dónde${\displaystyle [\gamma ]\in \pi _{1}(X,x)}$es la clase de bucles que son homotópicamente equivalentes a${\displaystyle \gamma }$.

Esta construcción proporciona una acción de grupo izquierda bien definida del grupo fundamental.${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$en la fibra base${\displaystyle F_{x}}$, definido por${\displaystyle {\tilde {x}}\mapsto [\gamma ]\cdot {\tilde {x}}}$Esta es la acción monodromía en${\displaystyle F_{x}}$. El estabilizador de${\displaystyle {\tilde {x}}}$es${\displaystyle p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)}$; es decir, un elemento${\displaystyle [\gamma ]}$correcciones${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$si y solo si${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$, el ascenso del bucle${\displaystyle \gamma }$, sigue siendo un bucle ^{[ 2 ]} .

En general, podría haber dos tipos de acciones de monodromía. Podría haber una acción de tipo curvatura, por la cual${\displaystyle F_{x}}$se deforma ligeramente, de tal manera que puede volver a deformarse continuamente hasta el punto de partida. También podría haber una acción discreta, mediante la cual${\displaystyle F_{x}}$se deforma de forma discontinua, de tal manera que no puede.

Dejar${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$ser el grupo de homeomorfismos de${\displaystyle F_{x}}$y dejar${\displaystyle \operatorname {Es} (F_{x})}$ser el subgrupo de${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$que consisten en aquellos homeomorfismos isotópicos a la identidad. Es decir, ${\displaystyle \operatorname {Es} (F_{x})}$es el componente de${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$que está conectado por un camino a la identidad:$${\displaystyle \operatorname {Is} \left(F_{x}\right)=\left\{f\in \operatorname {Hom} \left(F_{x}\right)\mid \exists H:F_{x}\times [0,1]\rightarrow F_{x},H_{0}=\mathrm {id} ,H_{1}=f,H_{t}{\text{ todos los homeomorfismos }}\right\}.}$$La imagen del mapa inducido${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Hom} (F_{x})/\operatorname {Is} (F_{x})}$es el grupo de monodromía topológica . Describe la parte "discontinua" de la acción de${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$en${\displaystyle F_{x}}$.

Como es habitual en la topología algebraica, existe una versión algebraica. El homomorfismo${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Aut} (H_{*}(F_{x}))}$en el grupo de automorfismos en la homología de${\displaystyle F_{x}}$es la monodromía algebraica . La imagen de este homomorfismo es el grupo de monodromía (algebraica) .

Estas ideas se explicitaron por primera vez en el análisis complejo . En el proceso de continuación analítica , una función que es una función analítica${\displaystyle F(z)}$en algún subconjunto abierto${\displaystyle E}$del plano complejo perforado${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$puede continuarse de nuevo en${\displaystyle E}$, pero con valores diferentes. Por ejemplo, tomemos

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}.\end{aligned}}}$

Luego, continuación analítica en sentido antihorario alrededor del círculo.

${\displaystyle |z|=1}$

resultará en el regreso no a${\displaystyle F(z)}$pero a

${\displaystyle F(z)+2\pi i.}$

En este caso, el grupo de monodromía es el grupo cíclico infinito , y el espacio de recubrimiento es el recubrimiento universal del plano complejo perforado . Este recubrimiento puede visualizarse como el helicoide con ecuaciones paramétricas.${\displaystyle (x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\theta )}$restringido a${\displaystyle \rho >0}$. El mapa de cobertura es una proyección vertical, que en cierto sentido colapsa la espiral de la manera obvia para obtener un plano perforado.

Una aplicación importante es a las ecuaciones diferenciales , donde una única solución puede dar lugar a otras soluciones linealmente independientes mediante continuación analítica . Ecuaciones diferenciales lineales definidas en un conjunto abierto y conexo.${\displaystyle S}$en el plano complejo tienen un grupo de monodromía, que (más precisamente) es una representación lineal del grupo fundamental de${\displaystyle S}$, resumiendo todas las continuaciones analíticas alrededor de bucles dentro${\displaystyle S}$. El problema inverso , de construir la ecuación (con singularidades regulares ), dada una representación, es un problema de Riemann-Hilbert .

Para un sistema lineal regular (y en particular fuchsiano) se suelen elegir como generadores del grupo de monodromía los operadores${\displaystyle M_{j}}$correspondientes a bucles, cada uno de los cuales rodea solo uno de los polos del sistema en sentido antihorario. Si los índices${\displaystyle j}$se eligen de tal manera que aumenten de${\displaystyle 1}$a${\displaystyle p+1}$Cuando uno rodea el punto base en el sentido de las agujas del reloj, entonces la única relación entre los generadores es la igualdad.${\displaystyle M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id} }$. El problema de Deligne-Simpson es el siguiente problema de realización: ¿Para qué tuplas de clases de conjugación en${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$¿Existen tuplas irreducibles de matrices?${\displaystyle M_{j}}$¿De estas clases que satisfacen la relación anterior? El problema fue formulado por Pierre Deligne y Carlos Simpson fue el primero en obtener resultados para su resolución. Vladimir Kostov formuló y exploró una versión aditiva del problema sobre residuos de sistemas fuchsianos . Otros autores consideraron el problema para grupos de matrices distintos de${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$también. ^{[ 3 ]}

En el caso de un mapa de recubrimiento, lo consideramos como un caso especial de una fibración y utilizamos la propiedad de levantamiento de homotopía para "seguir" caminos en el espacio base.${\displaystyle X}$(suponemos que está conectado por trayectoria para simplificar) a medida que se elevan hacia la cubierta.${\displaystyle C}$. Si seguimos un bucle basado en${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, que levantamos para empezar en${\displaystyle c}$arriba${\displaystyle x}$, terminaremos en algún${\displaystyle c^{*}}$nuevamente arriba${\displaystyle x}$; es muy posible que${\displaystyle c\neq c^{*}}$y para codificar esto se considera la acción del grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$como un grupo de permutaciones en el conjunto de todos${\displaystyle c}$, como un grupo monodromía en este contexto.

En geometría diferencial, el transporte paralelo desempeña un papel análogo . En un haz principal${\displaystyle B}$sobre un colector liso${\displaystyle M}$, una conexión permite el movimiento "horizontal" de las fibras superiores${\displaystyle m}$en${\displaystyle M}$a los adyacentes. El efecto cuando se aplica a bucles basados ​​en${\displaystyle m}$es definir un grupo de holonomía de traslaciones de la fibra en${\displaystyle m}$; si el grupo de estructura de${\displaystyle B}$es${\displaystyle G}$, es un subgrupo de${\displaystyle G}$que mide la desviación de${\displaystyle B}$del paquete de productos${\displaystyle M\times G}$.

Grupoide monodromía y foliaciones

De forma análoga al grupoide fundamental, es posible prescindir de la elección de un punto base y definir un grupoide monodromía. Aquí consideramos (clases de homotopía de) elevaciones de caminos en el espacio base.${\displaystyle X}$de una fibración${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$El resultado tiene la estructura de un grupoide sobre el espacio base .${\displaystyle X}$La ventaja es que podemos prescindir de la condición de conectividad de${\displaystyle X}$.

Además, la construcción también puede generalizarse a foliaciones : Consideremos${\displaystyle (M,{\mathcal {F}})}$una foliación (posiblemente singular) de${\displaystyle M}$. Entonces, para cada camino en una hoja de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Podemos considerar su difeomorfismo inducido en secciones transversales locales que pasan por los extremos. Dentro de una carta simplemente conexa, este difeomorfismo se vuelve único y especialmente canónico entre diferentes secciones transversales si consideramos el germen del difeomorfismo alrededor de los extremos. De esta manera, también se vuelve independiente del camino (entre extremos fijos) dentro de una carta simplemente conexa y, por lo tanto, es invariante bajo homotopía.

Dejar${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$denotamos el campo de las funciones racionales en la variable${\displaystyle x}$sobre el campo${\displaystyle \mathbb {F} }$, que es el campo de fracciones del anillo polinomial${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$. Un elemento${\displaystyle y=f(x)}$de${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$determina una extensión de campo finita${\displaystyle [\mathbb {F} (x):\mathbb {F} (y)]}$.

Esta extensión generalmente no es de Galois pero tiene cierre de Galois.${\displaystyle L(f)}$. El grupo Galois asociado de la extensión${\displaystyle [L(f):\mathbb {F} (y)]}$se denomina grupo de monodromía de${\displaystyle f}$.

En el caso de${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$La teoría de superficies de Riemann interviene y permite la interpretación geométrica dada anteriormente. En el caso de que la extensión${\displaystyle [\mathbb {C} (x):\mathbb {C} (y)]}$ya es Galois, el grupo de monodromía asociado a veces se denomina grupo de transformaciones de baraja .

Esto tiene conexiones con la teoría de Galois de los espacios recubridores que conduce al teorema de existencia de Riemann .

• Grupo de trenzas
• Matriz de monodromía
• Teorema de la monodromía
• Grupo de clases de mapeo (de un disco perforado)

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• "Grupos-grupoides y grupos monodromías", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
• R. Brown, Topología y Grupoides (2006).
• PJ Higgins, "Categorías y grupoides", van Nostrand (1971) Reimpresión de TAC
• H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1
• Allen HatcherTopología algebraica