Estática comparativa monótona

La estática comparativa monótona es un subcampo de la estática comparativa que se centra en las condiciones bajo las cuales las variables endógenas experimentan cambios monótonos (es decir, ya sea crecientes o decrecientes) cuando hay un cambio en los parámetros exógenos. Tradicionalmente, los resultados comparativos en economía se obtienen utilizando el Teorema de la Función Implícita , un enfoque que requiere la concavidad y diferenciabilidad de la función objetivo, así como la interioridad y unicidad de la solución óptima. Los métodos de estática comparativa monótona típicamente prescinden de estos supuestos. Se centra en la propiedad principal que sustenta la estática comparativa monótona, que es una forma de complementariedad entre la variable endógena y el parámetro exógeno. En términos generales, un problema de maximización muestra complementariedad si un valor más alto del parámetro exógeno aumenta el rendimiento marginal de la variable endógena. Esto garantiza que el conjunto de soluciones al problema de optimización sea creciente con respecto al parámetro exógeno.

Sea y sea una familia de funciones parametrizadas por , donde es un conjunto parcialmente ordenado (o poset, para abreviar). ¿Cómo varía la correspondencia con ? ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R}}$${\displaystyle f(\cdot ;s):X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle s\en S}$${\displaystyle (S,\geq _{S})}$ ${\displaystyle \arg \max \limits _{x\in X}f(x;s)}$${\estilo de visualización s}$

Enfoque de estática comparativa estándar: suponga que el conjunto es un intervalo compacto y es una función estrictamente cuasiconcava y continuamente diferenciable de . Si es el único maximizador de , basta con demostrar que para cualquier , lo que garantiza que es creciente en . Esto garantiza que el óptimo se ha desplazado hacia la derecha, es decir, . Este enfoque hace varias suposiciones, la más notable es la cuasiconcavidad de . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f(\cdot ;s)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\bar {x}}(s)}$${\displaystyle f(\cdot ;s)}$${\displaystyle f'({\bar {x}}(s);s')\geq 0}$${\displaystyle s'>s}$${\displaystyle {\bar {x}}(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\bar {x}}(s')\geq {\bar {x}}(s)}$${\displaystyle f(\cdot ;s)}$

Si bien está claro qué significa que una solución óptima única sea creciente, no está inmediatamente claro qué significa que la correspondencia sea creciente en . La definición estándar adoptada por la literatura es la siguiente. ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle s}$

Definición (orden de conjuntos fuerte): ^[1] Sean y subconjuntos de . El conjunto domina en el orden de conjuntos fuerte ( ) si para cualquier en y en , tenemos en y en . ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \max\{x',x\}}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \min\{x',x\}}$${\displaystyle Y}$

En particular, si y , entonces si y solo si . Se dice que la correspondencia es creciente si siempre que . ${\displaystyle Y:=\{x\}}$${\displaystyle Y':=\{x'\}}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s')\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle s'>_{S}s}$

La noción de complementariedad entre variables exógenas y endógenas se captura formalmente mediante diferencias de cruce simple.

Definición (función de cruce simple): Sea . Entonces es una función de cruce simple si para cualquier tenemos . ${\displaystyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle \phi (s)\geq (>)\ 0\ \Rightarrow \ \phi (s')\geq (>)\ 0}$

Definición (diferencias de cruce simple): ^[2] La familia de funciones , , obedecen diferencias de cruce simple (o satisfacen la propiedad de cruce simple ) si para todos , la función es una función de cruce simple. ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle \Delta (s)=f(x';s)-f(x;s)}$

Obviamente, una función creciente es una función de cruce simple y, si es creciente en (en la definición anterior, para cualquier ), decimos que obedecen diferencias crecientes . A diferencia de las diferencias crecientes, las diferencias de cruce simple es una propiedad ordinal , es decir, si obedecen diferencias de cruce simple, entonces también lo hacen , donde para alguna función que es estrictamente creciente en . ${\displaystyle \Delta (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x'>x}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \{g(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle g(x;s)=H(f(x;s);s)}$${\displaystyle H(\cdot ;s)}$${\displaystyle x}$

Teorema 1: ^[3] Defina . La familia obedece diferencias de cruce simple si y solo si para todos , tenemos para cualquier . ${\displaystyle F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$

Demostración: Supongamos que y , y . Tenemos que demostrar que y . Solo necesitamos considerar el caso donde . Como , obtenemos , lo que garantiza que . Además, de modo que . Si no, lo que implica (por diferencias de cruce simple) que , contradiciendo la optimalidad de en . Para demostrar la necesidad de diferencias de cruce simple, establezca , donde . Entonces, para cualquier garantiza que, si , entonces . QED${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle \max\{x',x\}\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle \min\{x',x\}\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x>x'}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)\geq f(x';s)}$${\displaystyle x\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle f(x;s)=f(x';s)}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)>f(x';s)}$${\displaystyle f(x;s')>f(x';s')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle Y:=\{x,{\bar {x}}\}}$${\displaystyle {\bar {x}}\geq x}$${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)}$${\displaystyle f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')}$

Aplicación (producción monopolística y cambios en los costos): Un monopolista elige maximizar su beneficio , donde es la función de demanda inversa y es el costo marginal constante. Nótese que obedecen diferencias de cruce simple. De hecho, tome cualquier y suponga que ; para cualquier tal que , obtenemos . Por el Teorema 1, la producción que maximiza el beneficio disminuye a medida que aumenta el costo marginal de la producción, es decir, a medida que disminuye. ${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \Pi (x;-c)=xP(x)-cx}$${\displaystyle P:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle c\geq 0}$${\displaystyle \{\Pi (\cdot ,-c)\}_{(-c)\in \mathbb {R} _{-}}}$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle x'P(x')-cx'\geq (>)\ xP(x)-cx}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle (-c')\geq (-c)}$${\displaystyle x'P(x')-c'x'\geq (>)\ xP(x)-c'x}$${\displaystyle (-c)}$

Las diferencias de cruce simple no son una condición necesaria para que la solución óptima sea creciente con respecto a un parámetro. De hecho, la condición solo es necesaria para que sea creciente en para cualquier . Una vez que los conjuntos se restringen a una clase más estrecha de subconjuntos de , la condición de diferencias de cruce simple ya no es necesaria. ${\displaystyle \arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle X}$

Definición (Intervalo): ^[4] Sea . Un conjunto es un intervalo de si, siempre que y están en , entonces cualquier tal que también esté en . ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{**}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x^{*}\leq x\leq x^{**}}$${\displaystyle Y}$

Por ejemplo, si , entonces es un intervalo de pero no . Denote . ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,4\}}$${\displaystyle [x^{*},x^{**}]=\{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}}$

Definición (Orden de Dominancia de Intervalo): ^[5] La familia obedece el orden de dominancia de intervalo (IDO) si para cualquier y , tal que , para todos , tenemos . ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle x''>x'}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle f(x'';s)\geq f(x;s)}$${\displaystyle x\in [x',x'']}$${\displaystyle f(x'';s)\geq (>)\ f(x';s)\ \Rightarrow \ f(x'';s')\geq (>)\ f(x';s')}$

Al igual que las diferencias de cruce simple, el orden de dominancia de intervalo (IDO) es una propiedad ordinal. Un ejemplo de una familia IDO es una familia de funciones cuasiconcavas donde el aumento es . Una familia de este tipo no necesita obedecer a las diferencias de cruce simple. ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x,s)}$${\displaystyle s}$

Una función es regular si no está vacía para ningún , donde denota el intervalo . ${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x^{*},x^{**}]}f(x;s)}$${\displaystyle x^{**}\geq x^{*}}$${\displaystyle [x^{*},x^{**}]}$${\displaystyle \{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}}$

Teorema 2: ^[6] Denote . Una familia de funciones regulares obedece al orden de dominancia de intervalo si y solo si es creciente en para todos los intervalos . ${\displaystyle F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle F_{Y}(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle Y\subseteq X}$

Demostración: Para demostrar la suficiencia de IDO, tomemos dos cualesquiera , y supongamos que y . Solo necesitamos considerar el caso donde . Por definición , para todos . Además, por IDO tenemos . Por lo tanto, . Además, debe ser que . De lo contrario, es decir, si , entonces por IDO tenemos , lo que contradice que . Para demostrar la necesidad de IDO, supongamos que hay un intervalo tal que para todos . Esto significa que . Hay dos posibles violaciones de IDO. Una posibilidad es que . En este caso, por la regularidad de , el conjunto no está vacío pero no contiene lo cual es imposible ya que aumenta en . Otra posible violación de IDO ocurre si pero . En este caso, el conjunto contiene , lo cual no es posible ya que aumenta en (nótese que en este caso ) o no contiene , lo que también viola la monotonía de . QED${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x''\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle x'>x''}$${\displaystyle f(x';s)\geq f(x;s)}$${\displaystyle x\in [x'',x']\subset Y}$${\displaystyle f(x';s')\geq f(x'';s')}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle f(x';s)=f(x'';s)}$${\displaystyle f(x';s)>f(x'';s)}$${\displaystyle f(x';s')>f(x'';s')}$${\displaystyle x''\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle [x'',x']}$${\displaystyle f(x';s)\geq f(x;s)}$${\displaystyle x\in [x'',x']}$${\displaystyle x'\in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$${\displaystyle f(x'';s')>f(x';s')}$${\displaystyle f(\cdot ;s')}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f(x'';s')=f(x';s')}$${\displaystyle f(x'';s)<f(x';s)}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$${\displaystyle x''}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x''\not \in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$

El siguiente resultado proporciona condiciones suficientes útiles para las diferencias de cruce simple y la IDO.

Proposición 1: ^[7] Sea un intervalo de y una familia de funciones continuamente diferenciables. (i) Si, para cualquier , existe un número tal que para todos , entonces obedece diferencias de cruce simple. (ii) Si, para cualquier , existe una función no decreciente, estrictamente positiva tal que para todos , entonces obedece IDO. ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha f'(x;s)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle \alpha :X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha (x)f'(x;s)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$

Aplicación (problema de parada óptima): ^[8] En cada momento, el agente obtiene una ganancia de , que puede ser positiva o negativa. Si el agente decide parar en el momento , el valor actual de su ganancia acumulada es ${\displaystyle \pi (t)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle V(x;-r)=\int _{0}^{x}e^{-rt}\pi (t)dt,}$

donde es la tasa de descuento. Como , la función tiene muchos puntos de inflexión y no varían con la tasa de descuento. Afirmamos que el tiempo de parada óptimo es decreciente en , es decir, si entonces . Tome cualquier . Entonces, Como es positivo y creciente, la Proposición 1 dice que obedece IDO y, por el Teorema 2, el conjunto de tiempos de parada óptimos es decreciente. ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r'>r>0}$${\displaystyle \arg \max _{x\geq 0}V(x;-r)\geq _{SSO}\arg \max _{x\geq 0}V(x;-r')}$${\displaystyle r'<r}$${\displaystyle V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)=e^{(r'-r)x}V'(x;-r').}$${\displaystyle \alpha (x)=e^{(r'-r)x}}$${\displaystyle \{V(\cdot ;-r)\}_{(-r)<0}}$

Los resultados anteriores se pueden extender a un entorno multidimensional. Sea una red . Para dos cualesquiera , en , denotamos su supremo (o límite superior mínimo , o unión) por y su ínfimo (o límite inferior máximo , o encuentro) por . ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x'\vee x}$${\displaystyle x'\wedge x}$

Definición (Orden de conjuntos fuerte): ^[9] Sean un retículo y , subconjuntos de . Decimos que domina en el orden de conjuntos fuerte ( ) si para cualquier en y en , tenemos en y en . ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\vee x'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle x\wedge x'}$${\displaystyle Y}$

Ejemplos del orden de conjuntos fuerte en dimensiones superiores.

• Sean y , algunos intervalos cerrados en . Claramente , donde es el ordenamiento estándar en , es una red. Por lo tanto, como se mostró en la sección anterior si y solo si y ;${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle Y:=[a,b]}$${\displaystyle Y':=[a',b']}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\geq )}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle a'\geq a}$${\displaystyle b'\geq b}$
• Sean y , algunos hiperrectángulos . Es decir, existen algunos vectores , , , en tales que y , donde es el orden natural, por coordenadas, en . Nótese que es una red. Además, si y solo si y ;${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'\subset X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y:=\{x\in X\ |\ a\leq x\leq b\}}$${\displaystyle Y':=\{x\in X\ |\ a'\leq x\leq b'\}}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (X,\geq )}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle a'\geq a}$${\displaystyle b'\geq b}$
• Sea un espacio de todas las distribuciones de probabilidad con soporte como subconjunto de , dotado del orden de dominancia estocástica de primer orden . Nótese que es una red. Sea , denote conjuntos de distribuciones de probabilidad con soporte y respectivamente. Entonces, con respecto a si y solo si y .${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \geq _{X}}$${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle Y:=\Delta ([a,b])}$${\displaystyle Y':=\Delta ([a',b'])}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a',b']}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle \geq _{X}}$${\displaystyle a'\geq a}$${\displaystyle b'\geq b}$

Definición (Función cuasisupermodular): ^[10] Sea una red. La función es cuasisupermodular (QSM) si ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq (>)\ f(x\wedge x')\ \Rightarrow \ f(x\vee x')\geq (>)\ f(x').}$

Se dice que una función es supermodular si Toda función supermodular es cuasisupermodular. Como en el caso de las diferencias de cruce simple, y a diferencia de la supermodularidad, la cuasisupermodularidad es una propiedad ordinal. Es decir, si la función es cuasisupermodular, entonces también lo es la función , donde es una función estrictamente creciente. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x\vee x')-f(x')\geq f(x)-f(x\wedge x').}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:=H\circ f}$${\displaystyle H}$

Teorema 3: ^[11] Sea un retículo, un conjunto parcialmente ordenado y , subconjuntos de . Dado , denotamos por . Entonces , para cualquier y${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle (S,\geq _{S})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle F_{Y}(s)}$${\displaystyle F_{Y'}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$

Demostración: . Sea , , y , . Puesto que y , entonces . Por cuasisupermodularidad, , y por las diferencias de cruce simple, . Por lo tanto . Ahora supongamos que . Entonces . Por cuasisupermodularidad, , y por las diferencias de cruce simple . Pero esto contradice que . Por lo tanto, .${\displaystyle (\Leftarrow )}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle x'\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle f(x;s)\geq f(x'\wedge x;s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s)\geq f(x';s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s')\geq f(x';s')}$${\displaystyle x'\vee x\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle x'\wedge x\not \in F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)>f(x'\wedge x;s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s)>f(x';s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s')>f(x';s')}$${\displaystyle x'\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle x'\wedge x\in F_{Y}(s)}$

${\displaystyle (\Rightarrow )}$. Fije y . Entonces, y por lo tanto , lo que garantiza que, si , entonces . Para demostrar que también se cumplen las diferencias de cruce simple, fije , donde . Entonces para cualquier garantiza que, si , entonces . QED${\displaystyle Y':=\{x',x'\vee x\}}$${\displaystyle Y:=\{x,x'\wedge x\}}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle F_{Y'}(s)\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)\geq (>)\ f(x'\wedge x;s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s)\geq (>)\ f(x';s)}$${\displaystyle Y:=\{x,{\bar {x}}\}}$${\displaystyle {\bar {x}}\geq x}$${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)}$${\displaystyle f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')}$

Aplicación (Producción con múltiples bienes): ^[12] Sea el vector de insumos (extraído de una subred de ) de una empresa que maximiza beneficios, el vector de precios de insumos y la función de ingresos que asigna el vector de insumos a los ingresos (en ). El beneficio de la empresa es . Para cualquier , , , es creciente en . Por lo tanto, tiene diferencias crecientes (y por lo tanto obedece a diferencias de cruce simple). Además, si es supermodular, entonces también lo es . Por lo tanto, es cuasisupermodular y por el Teorema 3, para . ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{l}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Pi (x;p)=V(x)-p\cdot x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle V(x')-V(x)+(-p)(x'-x)}$${\displaystyle (-p)}$${\displaystyle \{\Pi (\cdot ;p)\}_{p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi (\cdot ;p)}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}\Pi (x;p)\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}\Pi (x;p')}$${\displaystyle p'\geq p}$

En algunas aplicaciones económicas importantes, el cambio relevante en el conjunto de restricciones no puede entenderse fácilmente como un aumento con respecto al orden del conjunto fuerte y, por lo tanto, el Teorema 3 no puede aplicarse fácilmente. Por ejemplo, considere un consumidor que maximiza una función de utilidad sujeta a una restricción presupuestaria. A un precio en y riqueza , su conjunto presupuestario es y su conjunto de demanda en es (por definición) . Una propiedad básica de la demanda del consumidor es la normalidad, lo que significa (en el caso en que la demanda es única) que la demanda de cada bien aumenta en riqueza. El Teorema 3 no puede aplicarse directamente para obtener condiciones de normalidad, porque si (cuando se deriva del orden euclidiano). En este caso, se cumple el siguiente resultado. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}}$${\displaystyle w>0}$${\displaystyle B(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}}$${\displaystyle (p,w)}$${\displaystyle D(p,w)=\arg \max _{x\in B(p,w)}u(x)}$${\displaystyle B(p,w')\not \geq _{SSO}B(p,w)}$${\displaystyle w'>w}$${\displaystyle \geq _{SSO}}$

Teorema 4: ^[13] Supóngase que es supermodular y cóncava. Entonces la correspondencia de demanda es normal en el siguiente sentido: supóngase que , y ; entonces existe y tal que y . ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle w''>w'}$${\displaystyle x''\in D(p,w'')}$${\displaystyle x'\in D(p,w')}$${\displaystyle z''\in D(p,w'')}$${\displaystyle z'\in D(p,w')}$${\displaystyle z''\geq x'}$${\displaystyle x''\geq z'}$

La supermodularidad de por sí sola garantiza que, para cualquier y , . Nótese que los cuatro puntos , , , y forman un rectángulo en el espacio euclidiano (en el sentido de que , , y y son ortogonales). Por otra parte, la supermodularidad y la concavidad juntas garantizan que para cualquier , donde . En este caso, de manera crucial, los cuatro puntos , , , y forman un paralelogramo inclinado hacia atrás en el espacio euclidiano. ${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(x\wedge y)-u(y)\geq u(x)-u(x\vee y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\wedge y}$${\displaystyle x\vee y}$${\displaystyle x\wedge y-x=y-x\vee y}$${\displaystyle x-x\vee y=x\wedge y-y}$${\displaystyle x\wedge y-x}$${\displaystyle x-x\vee y}$${\displaystyle u(x\vee y-\lambda v)-u(y)\geq u(x)-u(x\wedge y+\lambda v).}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$${\displaystyle v=y-x\wedge y=x\vee y-x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\vee y-\lambda v}$${\displaystyle x\wedge y+\lambda v}$

Sea , y una familia de funciones de valor real definidas en que obedecen a diferencias de cruce simple o al orden de dominancia de intervalo. Los teoremas 1 y 3 nos dicen que es creciente en . Interpretado como el estado del mundo, esto dice que la acción óptima es creciente en el estado si el estado es conocido. Supongamos, sin embargo, que la acción se realiza antes de que se realice; entonces parece razonable que la acción óptima debería aumentar con la probabilidad de estados superiores. Para capturar esta noción formalmente, sea una familia de funciones de densidad parametrizadas por en el conjunto parcial , donde mayor se asocia con una mayor probabilidad de estados superiores, ya sea en el sentido de dominancia estocástica de primer orden o la propiedad de razón de verosimilitud monótona . Al elegir bajo incertidumbre, el agente maximiza ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x,;s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (T,\geq _{T})}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle F(x;t)=\int _{S}f(x;s)\,\lambda (s;t)\,ds.}$

Para que sea creciente en , basta (por los teoremas 1 y 2) que la familia obedezca las diferencias de cruce simple o el orden de dominancia de intervalo. Los resultados de esta sección dan la condición bajo la cual esto se cumple. ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}F(x;t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$

Teorema 5: Supóngase que obedece a diferencias crecientes. Si está ordenado con respecto a la dominancia estocástica de primer orden, entonces obedece a diferencias crecientes. ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ ${\displaystyle (S\subseteq \mathbb {R} )}$${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$

Demostración: Para cualquier , defina . Entonces, , o equivalentemente . Dado que obedece a diferencias crecientes, es creciente en y la dominancia estocástica de primer orden garantiza que es creciente en . QED${\displaystyle x',x\in X}$${\displaystyle \phi (s):=f(x';s)-f(x;s)}$${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}[f(x';s)-f(x;s)]\lambda (s;t)ds}$${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}\phi (s)\lambda (s;t)ds}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)}$${\displaystyle t}$

En el siguiente teorema, X puede ser "diferencias de cruce simple" o "el orden de dominancia del intervalo".

Teorema 6: ^[14] Supóngase que (para ) obedece X. Entonces la familia obedece X si está ordenada con respecto a la propiedad de razón de verosimilitud monótona. ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$

La condición de razón de verosimilitud monótona en este teorema no puede debilitarse, como lo demuestra el siguiente resultado.

Proposición 2: Sean y dos funciones de masa de probabilidad definidas en y supongamos que no domina con respecto a la propiedad de razón de verosimilitud monótona. Entonces existe una familia de funciones , definidas en , que obedecen a diferencias de cruce simple, tales que , donde (para ). ${\displaystyle \lambda (\cdot ;t')}$${\displaystyle \lambda (\cdot ;t)}$${\displaystyle S:=\{1,2,\ldots ,N\}}$${\displaystyle \lambda (\cdot ;t'')}$${\displaystyle \lambda (\cdot ;t')}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}F(x;t'')<\arg \max _{x\in X}F(x;t')}$${\displaystyle F(x;t)=\sum _{s\in S}\lambda (s,t)f(x,s)}$${\displaystyle t=t',\,t''}$

Aplicación (problema de cartera óptima): un agente maximiza la utilidad esperada con la función de utilidad de Bernoulli estrictamente creciente . (No se supone concavidad, por lo que permitimos que el agente ame el riesgo). La riqueza del agente, , se puede invertir en un activo seguro o riesgoso. Los precios de los dos activos se normalizan en 1. El activo seguro da un rendimiento constante , mientras que el rendimiento del activo riesgoso está regido por la distribución de probabilidad . Sea la inversión del agente en el activo riesgoso. Entonces, la riqueza del agente en estado es . El agente elige maximizar ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle w>0}$${\displaystyle R\geq 0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \lambda (s;t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (w-x)R+xs}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle V(x;t):=\int _{S}u((w-x)R+xs)\lambda (s;t)\,ds.}$

Nótese que , donde , obedece a diferencias de cruce simple (aunque no necesariamente crecientes). Por el Teorema 6, obedece a diferencias de cruce simple y, por lo tanto, es creciente en , si está ordenado con respecto a la propiedad de razón de verosimilitud monótona. ${\displaystyle \{{\hat {u}}(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle {\hat {u}}(x;s):=u(wR+x(s-R))}$${\displaystyle \{V(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle \arg \max _{x\geq 0}V(x;t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$