Teorema de Monsky

En geometría , el teorema de Monsky establece que no es posible diseccionar un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área. ^{[ 1 ]} En otras palabras, un cuadrado no tiene una equidisección impar .

El problema fue planteado por Fred Richman en el American Mathematical Monthly en 1967, después de haber sido resuelto para coordenadas racionales por John Thomas, y la solución fue extendida a todas las coordenadas por Paul Monsky en 1970. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Para más información sobre la historia del problema, véase Equidissection#Monsky's_theorem .

La demostración de Monsky combina técnicas combinatorias y algebraicas y, en resumen, es la siguiente:

1. Consideremos el cuadrado como el cuadrado unitario con vértices en (0,  0), (0,  1), (1,  0) y (1,  1). Si se divide en n triángulos de igual área, entonces el área de cada triángulo es 1/ n .
2. Colorea cada punto del cuadrado con uno de tres colores, dependiendo de la valuación biádica de sus coordenadas.
3. Demuestra que una línea recta solo puede contener puntos de dos colores.
4. Utilice el lema de Sperner para demostrar que toda triangulación del cuadrado en triángulos que se unen por sus aristas debe contener al menos un triángulo cuyos vértices tengan tres colores diferentes.
5. A partir de la propiedad de la línea recta, se concluye que también debe existir un triángulo tricolor en cada disección del cuadrado en triángulos, no necesariamente unidos por sus bordes.
6. Utilice la geometría cartesiana para demostrar que la valuación 2-ádica del área de un triángulo cuyos vértices tienen tres colores diferentes es mayor que 1. Por lo tanto, toda disección del cuadrado en triángulos debe contener al menos un triángulo cuya área tenga una valuación 2-ádica mayor que 1.
7. Si n es impar, entonces la valuación 2-ádica de 1/ n es 1, por lo que es imposible diseccionar el cuadrado en triángulos que tengan todos un área de 1/ n . ^{[ 5 ]}

Según el teorema de Monsky, es necesario tener triángulos con áreas diferentes para dividir un cuadrado en un número impar de triángulos. Se han estudiado los límites inferiores para las diferencias de área que deben existir para dividir un cuadrado en un número impar de triángulos y las divisiones óptimas. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Dado que las transformaciones afines preservan las equidisecciones, se deduce, de forma más general, que los paralelogramos (las imágenes afines de los cuadrados) tampoco tienen equidisecciones impares. Los polígonos con simetría central , en general, tampoco tienen equidisecciones impares, ni los poliominos . ^{[ 4 ]}

El teorema puede generalizarse a dimensiones superiores: un hipercubo n -dimensional solo puede dividirse en símplices de igual volumen si el número de símplices es un múltiplo de n !. ^{[ 9 ]}