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Articulo de referencia

El problema de Monty Hall

En busca de un coche nuevo, el jugador elige una puerta, digamos la 1. El anfitrión del juego abre entonces una de las otras puertas, digamos la 3 , para revelar una cabra y le ...

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En busca de un coche nuevo, el jugador elige una puerta, digamos la 1. El anfitrión del juego abre entonces una de las otras puertas, digamos la 3 , para revelar una cabra y le ofrece al jugador la posibilidad de cambiar de la puerta 1 a la puerta 2 .

El problema de Monty Hall es un acertijo , en forma de rompecabezas de probabilidad , basado nominalmente en el programa de juegos de televisión estadounidense Let's Make a Deal y nombrado en honor a su presentador original, Monty Hall . El problema fue planteado originalmente en una carta de Steve Selvin a American Statistician en 1975. [ 1 ] [ 2 ] Se hizo famoso como una pregunta de la carta del lector Craig F. Whitaker citada en (y resuelta por) la columna "Ask Marilyn" de Marilyn vos Savant en la revista Parade en 1990: [ 3 ]

Imagina que estás en un concurso de televisión y te dan a elegir entre tres puertas: detrás de una hay un coche; detrás de las otras, cabras. Eliges una puerta, digamos la número  1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás, abre otra puerta, digamos la número  3, que tiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿Quieres elegir la puerta número  2?". ¿Te conviene cambiar de opinión?

La respuesta de Savant fue que el concursante debería cambiar a la otra puerta. [ 3 ] Según los supuestos estándar, la estrategia de cambio tiene una probabilidad de ⁠ 2 / 3 ⁠ de ganar el coche, mientras que la estrategia de mantener la elección inicial tiene solo una probabilidad de ⁠ 1 / 3 ⁠ .

Cuando el jugador hace su elección por primera vez, hay una probabilidad de 2/3 de que el coche esté detrás de una de las puertas no elegidas. Esta probabilidad no cambia después de que el presentador revele una cabra detrás de una de las puertas no elegidas. Cuando el presentador proporciona información sobre las dos puertas no elegidas (revelando que una de ellas no tiene el coche detrás), la probabilidad de 2/3 de que el coche esté detrás de una de las puertas no elegidas recae en la puerta no elegida y no revelada, en lugar de la probabilidad de 1/3 de que el coche esté detrás de la puerta que el concursante eligió inicialmente .

Las probabilidades dadas dependen de supuestos específicos sobre cómo el presentador y el concursante eligen sus puertas. Una observación importante es que, con estas condiciones estándar, hay más información sobre las puertas 2 y 3 que la que estaba disponible al comienzo del juego cuando el jugador eligió la puerta 1: la acción del presentador agrega valor a la puerta no eliminada, pero no a la elegida originalmente por el concursante. Otra observación es que cambiar de puerta es una acción diferente a elegir al azar entre las dos puertas restantes, ya que la primera acción utiliza la información previa y la segunda no. Otros comportamientos posibles del presentador, distintos al descrito, pueden revelar información adicional diferente, o ninguna en absoluto, lo que lleva a probabilidades diferentes. En su respuesta, Savant afirma:

Imagina que hay un millón de puertas y eliges la número 1. Entonces, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta y siempre evitará la que tiene el premio, las abre todas excepto la número 777.777. Seguro que irías a esa puerta enseguida, ¿verdad?

Muchos lectores de la columna de Savant se negaron a creer que cambiar de estrategia fuera beneficioso y rechazaron su explicación. Después de que el problema apareciera en Parade , aproximadamente 10 000 lectores, incluyendo casi 1 000 con doctorados , escribieron a la revista, la mayoría de ellos afirmando que Savant estaba equivocada. [ 4 ] Incluso después de recibir explicaciones, simulaciones y demostraciones matemáticas formales, muchas personas seguían sin aceptar que cambiar de estrategia fuera la mejor opción. [ 5 ] Paul Erdős , uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, permaneció sin estar convencido hasta que se le mostró una simulación por computadora que demostraba el resultado predicho por Savant. [ 6 ]

El problema es una paradoja de tipo verídico , ya que la solución es tan contraintuitiva que puede parecer absurda, pero no obstante es demostrablemente cierta. El problema de Monty Hall está estrechamente relacionado matemáticamente con el problema anterior de los tres prisioneros y con la mucho más antigua paradoja de la caja de Bertrand .

Paradoja

Steve Selvin escribió una carta a la revista American Statistician en 1975, describiendo un problema basado en el programa de juegos Let's Make a Deal , [ 1 ] bautizándolo como el "problema de Monty Hall" en una carta posterior. [ 2 ] El problema es matemáticamente equivalente al problema de los tres prisioneros descrito en la columna "Mathematical Games" de Martin Gardner en Scientific American en 1959 [ 7 ] y al problema de las tres conchas descrito en el libro de Gardner, Aha Gotcha . [ 8 ]

Supuestos estándar

Las ambigüedades en la versión de Parade no definen explícitamente el protocolo del anfitrión. Sin embargo, la solución de Marilyn vos Savant [ 3 ] impresa junto con la pregunta de Whitaker implica, y tanto Selvin [ 1 ] como Savant [ 5 ] definen explícitamente, el rol del anfitrión de la siguiente manera:

  1. El presentador siempre debe abrir una puerta que no haya sido seleccionada por el concursante. [ 9 ]
  2. El anfitrión siempre debe abrir una puerta para revelar una cabra y nunca un coche.
  3. El anfitrión siempre debe ofrecer la posibilidad de cambiar entre la puerta elegida originalmente y la puerta cerrada que quede.

También se presume que el coche se coloca (uniformemente) al azar detrás de una de las puertas y que, si el jugador elige inicialmente el coche, entonces la elección del anfitrión sobre qué puerta que esconde la cabra abrir también se realiza (uniformemente) al azar. [ 10 ]

Bajo estos supuestos estándar, la probabilidad de ganar el auto después de cambiar es ⁠ 2 / 3 ⁠ . Variar los supuestos puede cambiar la probabilidad de ganar cambiando de puerta como se detalla en la sección siguiente .

Estas suposiciones especifican el modelo matemático del comportamiento del anfitrión y la distribución de premios que se analiza. Desde una perspectiva de la teoría de la decisión, que el cambio sea racional para el concursante también depende de que este sepa, o tenga motivos para suponer, que el anfitrión sigue este protocolo. [ 11 ]

Soluciones sencillas

Tres configuraciones iniciales del juego. En dos de ellas, el jugador gana cambiando la elección realizada antes de que se abriera una puerta.

La solución presentada por Savant en Parade muestra las tres posibles disposiciones de un coche y dos cabras detrás de tres puertas y el resultado de permanecer o cambiar después de elegir inicialmente la puerta 1 en cada caso: [ 12 ]

Un jugador que mantiene su elección inicial gana en solo una de estas tres posibilidades igualmente probables, mientras que un jugador que cambia gana en dos de tres.

Una explicación intuitiva es que, si el concursante elige inicialmente una cabra (2 de 3 puertas), ganará el coche mediante el cambio porque la otra cabra ya no se puede elegir ( el presentador tuvo que revelar su ubicación ); mientras que si elige inicialmente el coche (1 de 3 puertas), no lo ganará mediante el cambio. [ 13 ] Usando la estrategia de cambio, ganar o perder depende únicamente de si el concursante ha elegido inicialmente una cabra ( probabilidad de 2/3 ) o el coche ( probabilidad de 1/3 ) . El hecho de que el presentador revele posteriormente una cabra en una de las puertas no elegidas no cambia nada sobre la probabilidad inicial. [ 14 ]    

Un proceso de selección diferente, en el que el jugador elige al azar después de que se haya abierto cualquier puerta, da como resultado una probabilidad diferente.

La mayoría de la gente concluye que cambiar de puerta no importa, porque habría un 50% de probabilidad de encontrar el coche detrás de cualquiera de las dos puertas sin abrir. Esto sería cierto si el anfitrión seleccionara una puerta para abrir al azar, pero este no es el caso. La puerta que abre el anfitrión depende de la elección inicial del jugador, por lo que la suposición de independencia no se cumple. Antes de que el anfitrión abra una puerta, hay una probabilidad de 1/3 de que el coche esté detrás de cada puerta. Si el coche está detrás de la puerta 1, el anfitrión puede abrir la puerta 2 o la puerta 3, por lo que la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 1 y el anfitrión abra la puerta 3 es 1/3 × 1/2 = 1/6 . Si el coche está detrás de la puerta 2 ( y el jugador ha elegido la puerta 1 ), el anfitrión debe abrir la puerta 3, por lo que la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 2 y el anfitrión abra la puerta 3 es 1/3 × 1 = 1/3 . Estos son los únicos casos en los que el anfitrión abre la puerta 3, así que si el jugador ha elegido la puerta 1 y el anfitrión abre la puerta 3, es el doble de probable que el coche esté detrás de la puerta 2 que de la puerta 1. La clave es que si el coche está detrás de la puerta 2, el anfitrión debe abrir la puerta 3, pero si el coche está detrás de la puerta 1, el anfitrión puede abrir cualquiera de las dos puertas.  

Otra forma de entender la solución es considerar juntas las dos puertas inicialmente no elegidas por el jugador. [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Como dice Cecil Adams , [ 15 ] "Monty está diciendo en efecto: puedes quedarte con tu puerta o puedes tener las otras dos puertas". La probabilidad de 2/3 de encontrar el coche no ha cambiado por la apertura de una de estas puertas porque Monty, conociendo la ubicación del coche, seguramente revelará una cabra. La elección del jugador después de que el anfitrión abra una puerta no es diferente a si el anfitrión le ofreciera al jugador la opción de cambiar de la puerta elegida originalmente al conjunto de las dos puertas restantes. El cambio en este caso claramente le da al jugador una probabilidad de 2/3 de elegir el coche.

El coche tiene una probabilidad de 1/3 de estar detrás de la opción elegida por el jugador y una probabilidad de 2/3 de estar detrás de una de las otras dos puertas.
El anfitrión abre una puerta, las probabilidades para los dos conjuntos no cambian, pero las probabilidades se convierten en 0 para la puerta abierta y 2/3 para la puerta cerrada .

Como dice Keith Devlin , [ 16 ] "Al abrir su puerta, Monty le está diciendo al concursante: 'Hay dos puertas que no elegiste, y la probabilidad de que el premio esté detrás de una de ellas es de 2/3 . Te ayudaré usando mi conocimiento sobre dónde está el premio para abrir una de esas dos puertas y mostrarte que no lo esconde. Ahora puedes aprovechar esta información adicional. Tu elección de la puerta A tiene una probabilidad de 1 entre 3 de ser la ganadora. No he cambiado eso. Pero al eliminar la puerta C, te he demostrado que la probabilidad de que la puerta B esconda el premio es de 2 entre 3 '. "

Savant sugiere que la solución será más intuitiva con 1.000.000 de puertas en lugar de 3. [ 3 ] En este caso, hay 999.999 puertas con cabras detrás y una puerta con un premio. Después de que el jugador elige una puerta, el presentador abre 999.998 de las puertas restantes. En promedio, en 999.999 veces de 1.000.000, la puerta restante contendrá el premio. Intuitivamente, el jugador debería preguntarse qué tan probable es que, dado un millón de puertas, haya logrado elegir la correcta inicialmente. Stibel et al. propusieron que la demanda de memoria de trabajo se ve afectada durante el problema de Monty Hall y que esto obliga a las personas a "colapsar" sus elecciones en dos opciones igualmente probables. Informan que cuando el número de opciones aumenta a más de 7, las personas tienden a cambiar con más frecuencia; sin embargo, la mayoría de los concursantes aún juzgan incorrectamente la probabilidad de éxito en un 50%. [ 19 ]

Savant y el revuelo mediático

Savant escribió en su primera columna sobre el problema de Monty Hall que el jugador debería cambiar. [ 3 ] Recibió miles de cartas de sus lectores , la gran mayoría de las cuales, incluyendo muchas de lectores con doctorados , no estaban de acuerdo con su respuesta. Durante 1990-1991, dedicó tres columnas más de Savant a la paradoja. [ 20 ] Numerosos ejemplos de cartas de lectores de las columnas de Savant se presentan y analizan en El dilema de Monty Hall: una ilusión cognitiva por excelencia . [ 21 ] 

La discusión se reprodujo en otros medios (por ejemplo, en la columna periodística The Straight Dope de Cecil Adams [ 15 ] ) y se publicó en periódicos importantes como The New York Times . [ 4 ]

En un intento por aclarar su respuesta, propuso un juego de conchas [ 8 ] para ilustrarlo: «Usted aparta la mirada y yo pongo un guisante debajo de una de tres conchas. Luego le pido que ponga su dedo sobre una concha. La probabilidad de que su elección contenga un guisante es de 1/3 , ¿ de acuerdo? Luego simplemente levanto una concha vacía de las otras dos restantes. Como puedo (y lo haré) hacer esto independientemente de lo que haya elegido, no hemos aprendido nada que nos permita revisar las probabilidades de la concha que está debajo de su dedo». También propuso una simulación similar con tres cartas de juego.

Savant comentó que, aunque algunos lectores no se dieron cuenta de que debían asumir que el presentador siempre debía revelar una cabra, se produjo cierta confusión, casi todos sus numerosos corresponsales habían entendido correctamente las premisas del problema y seguían convencidos inicialmente de que la respuesta de Savant ("cambio") era incorrecta.

Confusión y críticas

Fuentes de confusión

Juega al juego de Monty Hall

🚪 1🚪 2🚪 3

Detrás de una puerta hay un coche; detrás de las otras dos, cabras. ¡Elige una puerta!
Elegiste la puerta ? . Monty, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre la puerta ? , revelando una cabra. ¿Te quedas con la puerta ? o cambias a la puerta ?? Haz clic en una puerta para decidir.
…

▶ Reproducción automática mediante: permanecer cambiar

0 Muestra dónde está el coche para verificar que el juego es justo. 

Jugar de nuevo

Reiniciar

0 0 0 0 0 0 12 0 12 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Los tres casos igualmente probables (usted elige la puerta 1; el anfitrión abre una puerta para cabras)

Mantener la misma posición da la victoria en 1 de cada 3 casos; cambiar de posición da la victoria en 2 de cada 3. Hay disponible una versión interactiva de esta demostración con JavaScript habilitado.

Cuando se les presenta por primera vez el problema de Monty Hall, una abrumadora mayoría de personas asume que cada puerta tiene la misma probabilidad y concluye que cambiar de puerta no importa. [ 9 ] De 228 sujetos en un estudio, solo el 13% eligió cambiar. [ 22 ] En el libro de vos Savant , El poder del pensamiento lógico , [ 23 ] el psicólogo cognitivo Massimo Piattelli-Palmarini escribe: «Ningún otro rompecabezas estadístico se acerca tanto a engañar a todas las personas todo el tiempo [e] incluso los físicos Nobel dan sistemáticamente la respuesta incorrecta, e insisten en ella, y están dispuestos a reprender públicamente a quienes proponen la respuesta correcta». Las palomas expuestas repetidamente al problema aprenden rápidamente a cambiar siempre de puerta, a diferencia de los humanos. [ 24 ]

La mayoría de los enunciados del problema, en particular el de Parade , no se ajustan a las reglas del programa de concursos real [ 10 ] y no especifican completamente el comportamiento del presentador ni que la ubicación del coche se selecciona aleatoriamente. [ 22 ] [ 4 ] [ 25 ] Sin embargo, Krauss y Wang argumentan que las personas hacen las suposiciones estándar aunque no se indiquen explícitamente. [ 26 ]

Aunque estos problemas son matemáticamente significativos, incluso controlando estos factores, casi todas las personas siguen pensando que cada una de las dos puertas sin abrir tiene la misma probabilidad y concluyen que el cambio no importa. [ 9 ] Esta suposición de "igual probabilidad" es una intuición profundamente arraigada. [ 27 ] Las personas tienden fuertemente a pensar que la probabilidad se distribuye uniformemente entre tantas incógnitas como existan, independientemente de si esto es cierto o no en la situación particular que se esté considerando. [ 28 ]

El problema sigue atrayendo la atención de los psicólogos cognitivos. El comportamiento típico de la mayoría, es decir, no cambiar de opinión, puede explicarse por fenómenos conocidos en la literatura psicológica como:

  1. El efecto de dotación , [ 29 ] en el que las personas tienden a sobrevalorar la probabilidad de ganar de la puerta ya elegida , ya "poseída". 
  2. El sesgo del statu quo , [ 30 ] en el que las personas prefieren mantener la elección de puerta que ya han hecho.
  3. El efecto de los errores por omisión frente a los errores por comisión, [ 31 ] en el que, en igualdad de condiciones, las personas prefieren cometer errores por inacción (permanecer) en lugar de por acción (cambiar).

La evidencia experimental confirma que estas son explicaciones plausibles que no dependen de la intuición de probabilidad. [ 32 ] [ 33 ] Otra posibilidad es que la intuición de las personas simplemente no se ocupe de la versión de libro de texto del problema, sino de un escenario real de concurso televisivo. [ 34 ] Allí, existe la posibilidad de que el presentador juegue de forma engañosa abriendo otras puertas solo si inicialmente se eligió una puerta con el coche. Un presentador que juega de forma engañosa la mitad de las veces modifica las probabilidades de ganar en caso de que se le ofrezca cambiar a "igual probabilidad".

Crítica a las soluciones simples

Como ya se ha señalado, la mayoría de las fuentes en el tema de probabilidad, incluidos muchos libros de texto de probabilidad introductoria, resuelven el problema mostrando que las probabilidades condicionales de que el coche esté detrás de la puerta 1 y la puerta 2 son 1/3 y 2/3 ( no 1/2 y 1/2 ) dado que el concursante elige inicialmente la puerta 1 y el presentador abre la puerta 3 ; en las subsecciones anteriores se dieron varias formas de derivar y comprender este resultado.

Entre estas fuentes hay varias que critican explícitamente las soluciones "simples" presentadas popularmente, diciendo que estas soluciones son "correctas pero... inestables", [ 35 ] o no "abordan el problema planteado", [ 36 ] o son "incompletas", [ 37 ] o son "poco convincentes y engañosas", [ 38 ] o son (de la manera más directa) "falsas". [ 39 ]

Sasha Volokh escribió que "cualquier explicación que diga algo como 'la probabilidad de la puerta 1 era 1/3 , y nada puede cambiar eso ...' es automáticamente sospechosa: las probabilidades son expresiones de nuestra ignorancia sobre el mundo, y la nueva información puede cambiar el grado de nuestra ignorancia". [ 40 ] 

Algunos dicen que estas soluciones responden a una pregunta ligeramente diferente ; una formulación es: "debes anunciar antes de que se abra una puerta si planeas cambiar". [ 41 ] 

Las soluciones simples muestran de diversas maneras que un concursante que está decidido a cambiar ganará el auto con una probabilidad de 2/3 , y por lo tanto, que cambiar es la estrategia ganadora, si el jugador tiene que elegir de antemano entre "cambiar siempre" y "quedarse siempre". Sin embargo, la probabilidad de ganar cambiando siempre es un concepto lógicamente distinto de la probabilidad de ganar cambiando dado que el jugador ha elegido la puerta 1 y el presentador ha abierto la puerta 3. Como dice una fuente, "la distinción entre [estas preguntas] parece confundir a muchos". [ 39 ] El hecho de que sean diferentes se puede demostrar variando el problema de modo que estas dos probabilidades tengan valores numéricos diferentes. Por ejemplo, supongamos que el concursante sabe que Monty no abre la segunda puerta al azar entre todas las alternativas legales, sino que, cuando se le da la oportunidad de elegir entre dos puertas perdedoras, Monty abrirá la de la derecha. En esta situación, las siguientes dos preguntas tienen respuestas diferentes:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el coche cambiando siempre de coche?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el coche cambiando de puerta, dado que el jugador ha elegido la puerta 1 y el anfitrión ha abierto la puerta 3 ?

La respuesta a la primera pregunta es 2/3 , como lo demuestran correctamente las soluciones "simples". Pero la respuesta a la segunda pregunta es diferente: la probabilidad condicional de que el coche esté detrás de la puerta 1 o la puerta 2 dado que el anfitrión ha abierto la puerta 3 (la puerta de la derecha) es 1/2 . Esto se debe a que la preferencia de Monty por las puertas de la derecha implica que abre la puerta 3 si el coche está detrás de la puerta 1 (lo cual ocurre originalmente con una probabilidad de 1/3 ) o si el coche está detrás de la puerta 2 (también originalmente con una probabilidad de 1/3 ) . Para esta variación, las dos preguntas dan respuestas diferentes. Esto se debe en parte a que la condición asumida de la segunda pregunta ( que el anfitrión abra la puerta 3) solo ocurriría en esta variante con una probabilidad de 2/3 . Sin embargo, siempre que la probabilidad inicial de que el coche esté detrás de cada puerta sea 1/3 , nunca será desventajoso para el concursante cambiar, ya que la probabilidad condicional de ganar cambiando siempre es al menos 1/2 . [ 39 ]

En Morgan et al. , [ 39 ] cuatro profesores universitarios publicaron un artículo en The American Statistician afirmando que Savant dio el consejo correcto pero el argumento erróneo. Creían que la pregunta pedía la probabilidad de que el coche estuviera detrás de la puerta 2 dada la elección inicial del jugador de la puerta 1 y que el anfitrión del juego abriera la puerta 3, y demostraron que esta probabilidad era cualquier cosa entre 1/2 y 1 dependiendo del proceso de decisión del anfitrión dada la elección. Solo cuando la decisión es completamente aleatoria la probabilidad es 2/3 .

En un comentario invitado [ 42 ] y en cartas posteriores al editor, [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] Morgan et al. fueron apoyados por algunos autores y criticados por otros; en cada caso, una respuesta de Morgan et al. se publica junto con la carta o el comentario en The American Statistician . En particular, Savant se defendió enérgicamente. Morgan et al. se quejaron en su respuesta a Savant [ 43 ] de que Savant aún no había respondido realmente a su punto principal. Más adelante, en su respuesta a Hogbin y Nijdam, [ 46 ] sí estuvieron de acuerdo en que era natural suponer que el anfitrión elige una puerta para abrir completamente al azar cuando tiene la opción, y por lo tanto que la probabilidad condicional de ganar cambiando (es decir, condicional dada la situación en la que se encuentra el jugador cuando tiene que hacer su elección) tiene el mismo valor, 2/3 , que la probabilidad incondicional de ganar cambiando (es decir, promediada sobre todas las situaciones posibles). Esta igualdad ya había sido destacada por Bell, quien sugirió que la solución matemáticamente compleja de Morgan et al. solo resultaría atractiva para los estadísticos, mientras que la equivalencia de las soluciones condicionales e incondicionales en el caso de simetría era intuitivamente obvia.

Hay desacuerdo en la literatura sobre si la formulación del problema de Savant, tal como se presenta en Parade , plantea la primera o la segunda pregunta, y si esta diferencia es significativa. [ 47 ] Behrends concluye que "Hay que considerar el asunto con cuidado para ver que ambos análisis son correctos", lo que no significa que sean lo mismo. [ 48 ] Varios críticos del artículo de Morgan et al. , [ 39 ] cuyas contribuciones se publicaron junto con el artículo original, criticaron a los autores por alterar la redacción de Savant y malinterpretar su intención. [ 47 ] Un comentarista (William Bell) consideró que era una cuestión de gusto si se menciona explícitamente que (según las condiciones estándar) qué puerta abre el anfitrión es independiente de si uno debería querer cambiar.

Entre las soluciones sencillas, la "solución de puertas combinadas" es la que más se aproxima a una solución condicional, como se muestra en la discusión de los métodos que utilizan el concepto de probabilidades y el teorema de Bayes. Se basa en la intuición profundamente arraigada de que revelar información ya conocida no afecta las probabilidades . Sin embargo, saber que el presentador puede abrir una de las dos puertas no elegidas para mostrar una cabra no significa que abrir una puerta específica no afecte la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta elegida inicialmente. La cuestión es que, aunque sabemos de antemano que el presentador abrirá una puerta y revelará una cabra, no sabemos qué puerta abrirá. Si el presentador elige uniformemente al azar entre las puertas que esconden una cabra (como ocurre en la interpretación estándar), esta probabilidad permanece inalterada; pero si el presentador puede elegir de forma no aleatoria entre dichas puertas, entonces la puerta específica que abre revela información adicional. El anfitrión siempre puede abrir una puerta revelando una cabra y (en la interpretación estándar del problema) la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta elegida inicialmente no cambia, pero no es por lo primero que lo segundo es cierto. Las soluciones basadas en la afirmación de que las acciones del anfitrión no pueden afectar la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta elegida inicialmente parecen convincentes, pero la afirmación es simplemente falsa a menos que ambas opciones del anfitrión sean igualmente probables, si tiene la posibilidad de elegir. [ 49 ] Por lo tanto, la afirmación debe justificarse; sin justificación, la solución es, en el mejor de los casos, incompleta. Puede darse el caso de que la respuesta sea correcta, pero el razonamiento utilizado para justificarla sea defectuoso.

Soluciones que utilizan probabilidad condicional y otras soluciones

Las soluciones simples anteriores muestran que un jugador con una estrategia de cambio gana el auto con una probabilidad general de ⁠ 2 / 3 ⁠ , es decir, sin tener en cuenta qué puerta fue abierta por el anfitrión. [ 50 ] [ 14 ] De acuerdo con esto, la mayoría de las fuentes sobre el tema de probabilidad calculan las probabilidades condicionales de que el auto esté detrás de la puerta 1 y la puerta 2 como ⁠ 1 / 3 ⁠ y ⁠ 2 / 3 ⁠ respectivamente dado que el concursante inicialmente elige la puerta 1 y el anfitrión abre la puerta 3. [ 2 ] [ 39 ] [ 51 ] [ 36 ] [ 14 ] [ 50 ] [ 37 ] Las soluciones en esta sección consideran solo aquellos casos en los que el jugador eligió la puerta 1 y el anfitrión abrió la puerta 3.

Para una solución sin numerar explícitamente las puertas, aplique la ley de la probabilidad total: PAG(Cambia y gana)=PAG(Cambia y gana | Primera suposición correcta)PAG(Primera suposición correcta)+PAG(Cambia y gana | Mi primera suposición fue errónea.)PAG(Mi primera suposición fue errónea.).{\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Cambiar y ganar}})=&P({\text{Cambiar y ganar}}~|~{\text{Primera suposición correcta}})\,P({\text{Primera suposición correcta}})\\&+P({\text{Cambiar y ganar}}~|~{\text{Primera suposición incorrecta}})\,P({\text{Primera suposición incorrecta}}).\end{aligned}}}

Aquí, una primera suposición "correcta" significa que la puerta elegida inicialmente oculta el coche. Dado que exactamente una de las tres puertas oculta el coche, PAG(Primera suposición correcta)=13,PAG(Mi primera suposición fue errónea.)=23.{\displaystyle P({\text{Primera suposición correcta}})={\tfrac {1}{3}},\quad P({\text{Primera suposición incorrecta}})={\tfrac {2}{3}}.}

Próximo, PAG(Cambia y gana | Primera suposición correcta)=0,{\displaystyle P({\text{Cambiar y ganar}}~|~{\text{Primera suposición correcta}})=0,} ya que el cambio implica necesariamente pasar del coche a una cabra.

Por otro lado, PAG(Cambia y gana | Mi primera suposición fue errónea.)=1,{\displaystyle P({\text{Cambiar y ganar}}~|~{\text{Primer intento incorrecto}})=1,} porque el anfitrión revela una cabra entre las puertas restantes, dejando la única puerta sin abrir para ocultar el coche.

Por lo tanto, PAG(Cambia y gana)=0×13+1×23=23.{\displaystyle P({\text{Cambiar y ganar}})=0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {2}{3}}.}

Perfeccionando la solución simple

Si asumimos que el anfitrión abre una puerta al azar, cuando se le da la opción, entonces qué puerta abre el anfitrión no nos da ninguna información sobre si el coche está o no detrás de la puerta 1. En las soluciones simples, ya hemos observado que la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 1, la puerta elegida inicialmente por el jugador, es inicialmente ⁠ 1 / 3 ⁠ . Además, el anfitrión ciertamente va a abrir una puerta (diferente), por lo que abrir una puerta ( cuál puerta no está especificada) no cambia esto. ⁠ 1 / 3 ⁠ debe ser el promedio de: la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 1, dado que el anfitrión eligió la puerta 2, y la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 1, dado que el anfitrión eligió la puerta 3: esto se debe a que estas son las únicas dos posibilidades. Sin embargo, estas dos probabilidades son iguales. Por lo tanto, ambas son iguales a ⁠ 1 / 3 ⁠ . [ 39 ] Esto muestra que la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 1, dado que el jugador eligió inicialmente esta puerta y dado que el anfitrión abrió la puerta 3, es ⁠ 1 / 3 ⁠ , y se deduce que la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 2, dado que el jugador eligió inicialmente la puerta 1 y el anfitrión abrió la puerta 3, es ⁠ 2 / 3 ⁠ . El análisis también muestra que la tasa de éxito general de ⁠ 2 / 3 ⁠ , lograda cambiando siempre , no se puede mejorar, y subraya lo que ya puede haber sido intuitivamente obvio: la elección a la que se enfrenta el jugador es que entre la puerta elegida inicialmente y la otra puerta que dejó cerrada el anfitrión, los números específicos de estas puertas son irrelevantes.

Probabilidad condicional mediante cálculo directo

Árbol que muestra la probabilidad de cada resultado posible si el jugador elige inicialmente la Puerta 1. El espacio muestral consta de exactamente cuatro resultados posibles .

Por definición, la probabilidad condicional de ganar cambiando de puerta, dado que el concursante elige inicialmente la puerta 1 y el presentador abre la puerta 3, es la probabilidad del evento "el coche está detrás de la puerta 2 y el presentador abre la puerta 3" dividida por la probabilidad de "el presentador abre la puerta 3". Estas probabilidades se pueden determinar consultando la tabla de probabilidad condicional que aparece a continuación, o un árbol de decisión equivalente . [ 51 ] [ 14 ] [ 50 ] La probabilidad condicional de ganar cambiando de puerta es ⁠ 1/3 / 1/3 + 1/6 ⁠ , que es ⁠ 2 / 3 ⁠ . [ 2 ]

La tabla de probabilidad condicional que se muestra a continuación ilustra cómo se distribuirían, en promedio, 300 casos, en todos los cuales el jugador elige inicialmente la puerta 1, según la ubicación del automóvil y la puerta que elija el anfitrión para abrir.

Teorema de Bayes

Muchos libros de texto y artículos sobre probabilidad en el campo de la teoría de la probabilidad derivan la solución de probabilidad condicional a través de una aplicación formal del teorema de Bayes , entre ellos los libros de Gill [ 52 ] y Henze [ 53 ] . El teorema de Bayes establece que la probabilidad condicional de que el coche esté detrás de la puerta 1, dado que la puerta 3 se abrió,PAG(coche 1|abrir 3){\displaystyle P({\text{coche 1}}|{\text{abierto 3}})}, se puede calcular como PAG(coche 1|abrir 3)=PAG(abrir 3|coche 1)PAG(coche 1)PAG(abrir 3).{\displaystyle P({\text{coche 1}}|{\text{abierto 3}})={\frac {P({\text{abierto 3}}|{\text{coche 1}})P({\text{coche 1}})}{P({\text{abierto 3}})}}.} En el lado derecho se encuentran las probabilidades previas . La probabilidad previaPAG(coche 1){\displaystyle P({\text{coche 1}})}que el coche está detrás de la puerta 1 es1/3{\displaystyle 1/3}, ya que todos los resultados son igualmente probables como probabilidades a priori. La probabilidad condicionalPAG(abrir 3|coche 1){\displaystyle P({\text{abierto 3}}|{\text{coche 1}})}que la puerta 3 está abierta dado que el coche está en 1 es1/2{\displaystyle 1/2}ya que cada una de las puertas 2 y 3 tienen la misma probabilidad (ninguna contiene el coche). Para calcular el denominador, se debe usar el hecho de que los eventos coche 1, coche 2 y coche 3 dividen el espacio de probabilidad , lo que implica PAG(abrir 3)=PAG(abrir 3|coche 1)PAG(coche 1)+PAG(abrir 3|coche 2)PAG(coche 2)+PAG(abrir 3|coche 3)PAG(coche 3).{\displaystyle P({\text{open 3}})=P({\text{open 3}}|{\text{car 1}})P({\text{car 1}})+P({\text{open 3}}|{\text{car 2}})P({\text{car 2}})+P({\text{open 3}}|{\text{car 3}})P({\text{car 3}}).} Ahora, la probabilidadPAG(abrir 3|coche 2){\displaystyle P({\text{open 3}}|{\text{car 2}})}que la puerta 3 se abra dado que el coche está detrás de la puerta 2 es 1 (porque abrir la puerta 2 habría revelado el coche, no una cabra). Finalmente, la probabilidadPAG(abrir 3|coche 3){\displaystyle P({\text{open 3}}|{\text{car 3}})}La probabilidad de que la puerta 3 se abra dado que el coche está detrás de la puerta 3 es 0, por la misma razón. Con estas tres probabilidades condicionales, el denominador es, por lo tanto: PAG(abrir 3)=12⋅13+1⋅13+0⋅13=12.{\displaystyle P({\text{open 3}})={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {1}{3}}+0\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}.} Al combinar el numerador y el denominador, el teorema de Bayes resulta en: PAG(coche 1|abrir 3)=12⋅1312=13.{\displaystyle P({\text{car 1}}|{\text{open 3}})={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{3}}.} Por lo tanto (de forma complementaria), la probabilidad de que el coche esté detrás de la única puerta que queda (puerta 2) es2/3{\displaystyle 2/3}y por eso lo más sensato es cambiar.

Algunas fuentes defienden el uso de la forma de probabilidades del teorema de Bayes, afirmando que hace que la derivación sea más transparente. [ 35 ] [ 54 ] Inicialmente, el coche tiene la misma probabilidad de estar detrás de cualquiera de las tres puertas: las probabilidades de coche 1, coche 2 y coche 3 son 1:1:1 . Esto sigue siendo así después de que el jugador haya elegido la puerta 1. Según la regla de Bayes , las probabilidades posteriores de la ubicación del coche, dado que el anfitrión abre la puerta 3, son iguales a las probabilidades previas multiplicadas por el factor de Bayes o verosimilitud, que es, por definición, la probabilidad de la nueva información (el anfitrión abre la puerta 3) bajo cada una de las hipótesis consideradas (ubicación del coche). Ahora bien, dado que el jugador inicialmente eligió la puerta 1, la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 es del 50% si el coche está detrás de la puerta 1, del 100% si el coche está detrás de la puerta 2 y del 0% si el coche está detrás de la puerta 3. Por lo tanto, el factor de Bayes consiste en las razones 1/2: 1 : 0 o, equivalentemente, 1 : 2: 0 , mientras que las probabilidades previas eran 1:1:1 . Así, las probabilidades posteriores se vuelven iguales al factor de Bayes 1:2:0 . Dado que el anfitrión abrió la puerta 3, la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 3 es cero, y es dos veces más probable que esté detrás de la puerta 2 que de la puerta 1.

Richard Gill [ 55 ] analiza la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 de la siguiente manera. Dado que el coche no está detrás de la puerta 1, es igualmente probable que esté detrás de la puerta 2 o 3. Por lo tanto, la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 es del 50%. Dado que el coche está detrás de la puerta 1, la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 también es del 50%, porque, cuando el anfitrión tiene una opción, cualquiera de las opciones es igualmente probable. Por lo tanto, tanto si el coche está detrás de la puerta 1 como si no, la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 es del 50%. La información "el anfitrión abre la puerta 3" contribuye con un factor de Bayes o razón de verosimilitud de 1:1 , sobre si el coche está detrás de la puerta 1 o no. Inicialmente, las probabilidades en contra de que la puerta 1 oculte el coche eran de 2:1 . Por lo tanto, las probabilidades posteriores en contra de que la puerta 1 oculte el coche siguen siendo las mismas que las probabilidades previas, 2: 1 .

En otras palabras, la información sobre qué puerta abre el anfitrión (¿puerta 2 o puerta 3?) no revela absolutamente nada sobre si el coche está o no detrás de la puerta 1, y esto es precisamente lo que los defensores de soluciones simples alegan que es intuitivamente obvio, o, utilizando la jerga de las demostraciones matemáticas, "obviamente cierto, por simetría". [ 45 ]

Soluciones mediante simulación

Simulación de 29 resultados del problema de Monty Hall.

Una forma sencilla de demostrar que una estrategia de cambio realmente gana dos de cada tres veces con los supuestos estándar es simular el juego con cartas de juego . [ 56 ] [ 57 ] Se utilizan tres cartas de una baraja ordinaria para representar las tres puertas; una carta "especial" representa la puerta con el coche y otras dos cartas representan las puertas de la cabra.

La simulación puede repetirse varias veces para simular múltiples rondas del juego. El jugador elige una de las tres cartas y, al observar las dos restantes, el anfitrión descarta una carta de cabra. Si la carta que le queda al anfitrión es la carta de coche, se registra como una victoria por cambio; si el anfitrión tiene una carta de cabra, la ronda se registra como una victoria por quedarse. A medida que este experimento se repite durante varias rondas, es probable que la tasa de victorias observada para cada estrategia se aproxime a su probabilidad teórica de victoria, de acuerdo con la ley de los grandes números .

Las repetidas partidas también aclaran por qué cambiar es la mejor estrategia. Después de que el jugador elige su carta, ya está determinado si cambiar le hará ganar la ronda. Si esto no es convincente, la simulación puede hacerse con toda la baraja. [ 56 ] [ 15 ] En esta variante, la carta de coche va al anfitrión 51 veces de 52, y permanece con el anfitrión sin importar cuántas cartas que no sean de coche se descarten.

Variantes

Una variante común del problema, que algunos autores académicos consideran el problema canónico , no parte de la suposición simplificadora de que el anfitrión deba elegir uniformemente la puerta que abre, sino que utiliza alguna otra estrategia . La confusión sobre qué formalización es la autorizada ha generado considerable controversia, sobre todo porque esta variante complica las demostraciones sin alterar la optimalidad de la estrategia de cambio constante para el jugador. En esta variante, el jugador puede tener diferentes probabilidades de ganar dependiendo de la elección observada del anfitrión, pero en cualquier caso la probabilidad de ganar cambiando es al menos 1/2 ( y puede llegar a ser 1 ), mientras que la probabilidad global de ganar cambiando sigue siendo exactamente 2/3 . Las variantes se presentan a veces sucesivamente en libros de texto y artículos destinados a enseñar los fundamentos de la teoría de la probabilidad y la teoría de juegos . También se han estudiado otras generalizaciones.

Otros comportamientos del huésped

La versión del problema de Monty Hall publicada en Parade en 1990 no especificaba que el anfitrión siempre abriría otra puerta, ni que siempre ofrecería la opción de cambiar, ni siquiera que nunca abriría la puerta que revelaba el coche. Sin embargo, Savant dejó claro en su segunda columna de seguimiento que el comportamiento previsto del anfitrión solo podía ser lo que condujo a la probabilidad de 2/3 que dio como respuesta original. «Cualquier otra cosa es otra cuestión». [ 5 ] «Prácticamente todos mis críticos entendieron el escenario previsto. Personalmente leí casi tres mil cartas (de las muchas miles adicionales que llegaron) y encontré que casi todas insistían simplemente en que, dado que quedaban dos opciones (o un error equivalente), las probabilidades eran iguales. Muy pocas plantearon preguntas sobre la ambigüedad, y las cartas publicadas en la columna no estaban entre esas pocas». [ 58 ] La respuesta es que si el coche se coloca aleatoriamente detrás de cualquier puerta, el anfitrión debe abrir una puerta que revele una cabra independientemente de la elección inicial del jugador y, si hay dos puertas disponibles, elige cuál abrir aleatoriamente. [ 9 ] La tabla siguiente muestra una variedad de otros posibles comportamientos del anfitrión y el impacto en el éxito del cambio.

Determinar la mejor estrategia del jugador dentro de un conjunto dado de reglas que el anfitrión debe seguir es el tipo de problema que se estudia en la teoría de juegos . Por ejemplo, si el anfitrión no está obligado a ofrecer el cambio, el jugador puede sospechar que el anfitrión es malicioso y que ofrece el cambio con más frecuencia si el jugador ha seleccionado inicialmente el coche. En general, la respuesta a este tipo de preguntas depende de las suposiciones específicas sobre el comportamiento del anfitrión y puede variar desde "ignorar al anfitrión por completo" hasta "lanzar una moneda y cambiar si sale cara"; véase la última fila de la tabla a continuación.

Morgan et al [ 39 ] y Gillman [ 36 ] muestran una solución más general donde el coche se coloca (uniformemente) aleatoriamente, pero el anfitrión no está obligado a elegir uniformemente aleatoriamente si el jugador ha seleccionado inicialmente el coche, que es como ambos interpretan el enunciado del problema en Parade a pesar de las exenciones de responsabilidad del autor. Ambos cambiaron la redacción de la versión de Parade para enfatizar ese punto cuando reformularon el problema. Consideran un escenario donde el anfitrión elige entre revelar dos cabras con una preferencia expresada como una probabilidad q , que tiene un valor entre 0 y 1. Si el anfitrión elige aleatoriamente, q sería ⁠ 1 / 2 ⁠ y cambiar gana con probabilidad ⁠ 2 / 3 ⁠ independientemente de qué puerta abra el anfitrión. Si el jugador elige la puerta 1 y la preferencia del anfitrión por la puerta 3 es q, entonces la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 y el coche esté detrás de la puerta 2 es 1/3 , mientras que la probabilidad de que el anfitrión abra la puerta 3 y el coche esté detrás de la puerta 1 es q / 3 . Estos son los únicos casos en los que el anfitrión abre la puerta 3, por lo que la probabilidad condicional de ganar cambiando dado que el anfitrión abre la puerta 3 esPAG|switdohinortegramo=1313+q3{\displaystyle P|_{\mathrm {switching} }={\frac {1 \over 3}{{1 \over 3}+{q \over 3}}}}lo cual se simplifica a 1 / 1 + q . Dado que q puede variar entre 0 y 1 , esta probabilidad condicional puede variar entre 1 / 2 y 1. Esto significa que incluso sin restringir al anfitrión a elegir aleatoriamente si el jugador selecciona inicialmente el auto, el jugador nunca sale perjudicado al cambiar. Sin embargo, ninguna de las fuentes sugiere que el jugador conozca el valor de q , por lo que el jugador no puede atribuir una probabilidad distinta a la de 2 / 3 que Savant asumió como implícita.

Puertas N

DL Ferguson [ 2 ] sugiere una generalización de N puertas del problema original en la que el anfitrión abre p puertas perdedoras y luego ofrece al jugador la oportunidad de cambiar; en esta variante, cambiar gana con probabilidad1norte⋅norte−1norte−pag−1{\textstyle {\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N-1}{N-p-1}}}. Esta probabilidad siempre es mayor que 1 / N , por lo tanto , cambiar siempre trae una ventaja.

Incluso si el anfitrión abre solo una puerta ( p = 1 ), al jugador le conviene cambiar en todos los casos. A medida que N aumenta, la ventaja disminuye y se acerca a cero. [ 62 ] En el otro extremo, si el anfitrión abre todas las puertas perdedoras menos una ( p = N − 2 ), la ventaja aumenta a medida que N crece (la probabilidad de ganar cambiando es ⁠ N − 1 / N ⁠ , que se acerca a 1 a medida que N crece mucho).

Versión cuántica

Una versión cuántica de la paradoja ilustra algunos puntos sobre la relación entre la información clásica o no cuántica y la información cuántica , tal como se codifica en los estados de los sistemas cuánticos. La formulación se basa libremente en la teoría de juegos cuánticos . Las tres puertas se reemplazan por un sistema cuántico que permite tres alternativas; abrir una puerta y mirar detrás de ella se traduce en realizar una medición particular. Las reglas se pueden enunciar en este lenguaje, y una vez más, la elección del jugador es mantener la elección inicial o cambiar a otra opción "ortogonal". Esta última estrategia duplica las probabilidades, al igual que en el caso clásico. Sin embargo, si el presentador del programa no ha aleatorizado la posición del premio de una manera completamente cuántica, el jugador puede tener aún más posibilidades, e incluso a veces puede ganar el premio con certeza. [ 63 ] [ 64 ]

Historia

El primero de varios acertijos de probabilidad relacionados con el problema de Monty Hall es la paradoja de la caja de Bertrand , planteada por Joseph Bertrand en 1889 en su Calcul des probabilités . [ 65 ] En este acertijo, hay tres cajas: una caja que contiene dos monedas de oro, una caja con dos monedas de plata y una caja con una de cada una. Después de elegir una caja al azar y sacar una moneda al azar que resulta ser una moneda de oro, la pregunta es cuál es la probabilidad de que la otra moneda sea de oro. Como en el problema de Monty Hall, la respuesta intuitiva es ⁠ 1 / 2 ⁠ , pero la probabilidad es en realidad ⁠ 2 / 3 ⁠ .

El problema de los tres prisioneros , publicado en la columna de Juegos Matemáticos de Martin Gardner en Scientific American en 1959 [ 7 ] [ 56 ] es equivalente al problema de Monty Hall. Este problema involucra a tres prisioneros condenados, uno de los cuales ha sido elegido al azar para ser indultado. Uno de los prisioneros le ruega al alcaide que le diga el nombre de uno de los otros que serán ejecutados, argumentando que esto no revela información sobre su propio destino pero aumenta sus posibilidades de ser indultado de ⁠ 1 / 3 ⁠ a ⁠ 1 / 2 ⁠ . El alcaide accede, lanzando (en secreto) una moneda para decidir qué nombre proporcionar si el prisionero que pregunta es el que será indultado. La pregunta es si conocer la respuesta del alcaide cambia las posibilidades del prisionero de ser indultado. Este problema es equivalente al problema de Monty Hall; El prisionero que hace la pregunta todavía tiene una probabilidad de 1/3 de ser indultado , pero su colega no identificado tiene una probabilidad de 2/3 .

Steve Selvin planteó el problema de Monty Hall en un par de cartas a The American Statistician en 1975. [ 1 ] [ 2 ] La primera carta presentó el problema en una versión cercana a su presentación en Parade 15 años después. La segunda parece ser el primer uso del término "problema de Monty Hall". El problema es en realidad una extrapolación del programa de concursos. Monty Hall abrió una puerta equivocada para generar emoción, pero ofreció un premio menor conocido , como $100 en efectivo , en lugar de la opción de cambiar de puerta. Como Monty Hall le escribió a Selvin: [ 66 ]  

Y si alguna vez participas en mi programa, las reglas se mantendrán firmes : no se permiten intercambios de cajas después de la selección. 

Una versión del problema muy similar a la que apareció tres años después en Parade se publicó en 1987 en la sección de Rompecabezas de The Journal of Economic Perspectives . Nalebuff, al igual que autores posteriores en economía matemática, considera el problema un ejercicio sencillo y divertido de teoría de juegos . [ 67 ]

"La trampa de Monty Hall", artículo de Phillip Martin de 1989 en Bridge Today , presentó el problema de Selvin como un ejemplo de lo que Martin llama la trampa de probabilidad de tratar la información no aleatoria como si fuera aleatoria, y lo relaciona con conceptos del juego de bridge . [ 68 ]

Una versión reformulada del problema de Selvin apareció en la columna de preguntas y respuestas «Ask Marilyn» de Marilyn vos Savant en la revista Parade en septiembre de 1990. [ 3 ] Aunque Savant dio la respuesta correcta de que cambiar ganaría dos tercios de las veces, estima que la revista recibió 10 000 cartas, incluidas cerca de 1000 firmadas por doctores , muchas en membretes de departamentos de matemáticas y ciencias, declarando que su solución era incorrecta. [ 4 ] Debido a la abrumadora respuesta, Parade publicó cuatro columnas sobre el problema, algo sin precedentes. [ 69 ] Como resultado de la publicidad, el problema obtuvo el nombre alternativo de «Marilyn y las cabras».

En noviembre de 1990, tuvo lugar una discusión igualmente polémica sobre el artículo de Savant en la columna de Cecil Adams , « The Straight Dope ». [ 15 ] Adams respondió inicialmente, erróneamente, que las probabilidades de las dos puertas restantes debían ser de uno entre dos. Después de que un lector escribiera para corregir el cálculo matemático del análisis de Adams, este admitió que matemáticamente se había equivocado. «Eliges la puerta n.° 1. Ahora se te ofrece esta opción: abrir la puerta n.° 1 o abrir la puerta n.° 2 y la puerta n.° 3. En este último caso, te quedas con el premio si está detrás de cualquiera de las dos puertas. Preferirías tener una probabilidad de dos entre tres de ganar el premio que una de una entre tres, ¿verdad? Si lo piensas bien, el problema original te ofrece básicamente la misma opción. En efecto, Monty está diciendo: puedes quedarte con tu puerta o puedes tener las otras dos, una de las cuales (una puerta sin premio) te abriré yo». Adams afirmó que la versión de Parade omitía ciertas restricciones importantes, y que sin ellas, las probabilidades de ganar cambiando de plataforma no eran necesariamente de dos de tres (por ejemplo, no era razonable suponer que el presentador siempre abriera una puerta). Sin embargo, numerosos lectores escribieron para afirmar que Adams había tenido razón la primera vez y que las probabilidades correctas eran de una entre dos.

La columna de Parade y su respuesta recibieron considerable atención en la prensa, incluyendo un artículo de primera plana en The New York Times en el que el propio Monty Hall fue entrevistado. [ 4 ] Hall comprendió el problema, le hizo una demostración al reportero con llaves de auto y le explicó cómo el juego real en Let's Make a Deal difería de las reglas del rompecabezas. En el artículo, Hall señaló que, debido a que él controlaba el desarrollo del juego, jugando con la psicología del concursante, la solución teórica no se aplicaba al juego real del programa. Dijo que no le sorprendía la insistencia de los expertos en que la probabilidad era de 1 entre 2. "Esa es la misma suposición que los concursantes harían en el programa después de que les mostrara que no había nada detrás de una puerta", dijo. "Pensarían que las probabilidades de su puerta ahora habían aumentado a 1 entre 2, así que odiarían entregar la puerta sin importar cuánto dinero les ofreciera. Al abrir esa puerta, estábamos ejerciendo presión. Lo llamábamos el tratamiento de Henry James . Era como ' Otra vuelta de tuerca '". Hall aclaró que, como presentador de un concurso, no tenía que seguir las reglas del acertijo de la columna Savant y no siempre tenía que permitir que la persona cambiara de puerta (por ejemplo, podía abrirle la puerta inmediatamente si era una puerta perdedora, ofrecerle dinero para que no cambiara de una puerta perdedora a una ganadora, o permitirle cambiar solo si tenía una puerta ganadora). "Si el presentador está obligado a abrir una puerta siempre y ofrecerle un cambio, entonces debería aceptarlo", dijo. "Pero si tiene la opción de permitir o no el cambio, tenga cuidado. Que el comprador tenga cuidado. Todo depende de su humor".

Véase también

Problemas similares en probabilidad y teoría de la decisión.

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • El problema del concurso televisivo : la pregunta original y las respuestas en el sitio web de Marilyn vos Savant. 
  • Universidad de California en San Diego, Versión de Monty lo sabe y Versión de Monty no lo sabe, Una explicación del juego
  • «¿Palo o interruptor? La probabilidad y el problema de Monty Hall» , BBC News Magazine , 11 de septiembre de 2013 (vídeo). El matemático Marcus du Sautoy explica la paradoja de Monty Hall.