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problema de n cuerpos

En física , el problema de los n cuerpos consiste en predecir los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan gravitacionalmente entre sí . La resol...

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En física , el problema de los n cuerpos consiste en predecir los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan gravitacionalmente entre sí . La resolución de este problema ha estado motivada por el deseo de comprender los movimientos del Sol , la Luna , los planetas y las estrellas visibles .

El problema físico clásico se puede plantear de la siguiente manera:

Cada partícula en un sistema de un número finito de partículas está sometida a una atracción gravitatoria newtoniana por parte de todas las demás partículas, y a ninguna otra fuerza. Si se conoce el estado inicial del sistema, ¿cómo se moverán las partículas? [ 1 ]

El problema de dos cuerpos se ha resuelto y se analiza a continuación. Para tres o más cuerpos, el problema solo puede resolverse completamente en casos particulares. En general, el problema es caótico y solo puede resolverse numéricamente.

El problema de los n cuerpos en la relatividad general es considerablemente más difícil de resolver.

Historia

Conociendo tres posiciones orbitales de la órbita de un planeta —posiciones obtenidas por Sir Isaac Newton del astrónomo John Flamsteed [ 2 ] — Newton pudo generar una ecuación mediante geometría analítica directa para predecir el movimiento de un planeta; es decir, para dar sus propiedades orbitales: posición, diámetro orbital, período y velocidad orbital. [ 3 ] Tras hacerlo, él y otros pronto descubrieron, en el transcurso de unos pocos años, que esas ecuaciones de movimiento no predecían algunas órbitas correctamente, ni siquiera muy bien. [ 4 ] Newton se dio cuenta de que esto se debía a que las fuerzas gravitatorias interactivas entre todos los planetas afectaban a todas sus órbitas.

La revelación antes mencionada ataca directamente la esencia del problema de los n cuerpos: como entendió Newton, no basta con proporcionar la posición y velocidad iniciales, ni siquiera tres posiciones orbitales, para establecer la órbita real de un planeta; también es necesario considerar las fuerzas de interacción gravitatoria. De ahí surgió la conciencia y el surgimiento del "problema" de los n cuerpos a principios del siglo XVII. Estas fuerzas de atracción gravitatoria se ajustan a las leyes del movimiento de Newton y a su ley de gravitación universal, pero las múltiples interacciones ( de n cuerpos) han hecho históricamente imposible cualquier solución exacta. Irónicamente, esta conformidad condujo a un enfoque erróneo.

Después de la época de Newton, el problema de los n cuerpos históricamente no se planteó correctamente porque no incluía una referencia a esas fuerzas gravitacionales interactivas. Newton no lo dice directamente, pero implica en sus Principia que el problema de los n cuerpos es irresoluble debido a esas fuerzas gravitacionales interactivas. [ 5 ] Newton dijo [ 6 ] en sus Principia , párrafo 21:

Y es por eso que la fuerza de atracción se encuentra en ambos cuerpos. El Sol atrae a Júpiter y a los demás planetas, Júpiter atrae a sus satélites y, de igual manera, los satélites actúan entre sí. Y aunque las acciones de cada uno de un par de planetas sobre el otro pueden distinguirse y considerarse como dos acciones por las cuales cada uno atrae al otro, sin embargo, en la medida en que se producen entre los mismos dos cuerpos, no son dos, sino una simple operación entre dos extremos. Dos cuerpos pueden ser atraídos entre sí por la contracción de una cuerda entre ellos. La causa de la acción es doble, a saber, la disposición de cada uno de los dos cuerpos; la acción es igualmente doble, en la medida en que actúa sobre dos cuerpos; pero en la medida en que actúa entre dos cuerpos, es única y una sola...

Newton concluyó, mediante su tercera ley del movimiento, que «según esta ley, todos los cuerpos deben atraerse entre sí». Esta última afirmación, que implica la existencia de fuerzas gravitatorias interactivas, es clave.

Como se muestra a continuación, el problema también se ajusta a los principios primero y segundo no newtonianos de Jean Le Rond D'Alembert y al algoritmo del problema no lineal de n cuerpos, este último permitiendo una solución de forma cerrada para calcular esas fuerzas interactivas.

El problema de encontrar la solución general del problema de los n cuerpos se consideraba muy importante y desafiante. De hecho, a finales del siglo XIX, el rey Óscar II de Suecia , asesorado por Gösta Mittag-Leffler , estableció un premio para quien pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio fue bastante específico:

Dado un sistema de un número arbitrario de puntos de masa que se atraen entre sí según la ley de Newton, bajo el supuesto de que ningún par de puntos colisiona jamás, intente encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea alguna función conocida del tiempo y para todos cuyos valores la serie converja uniformemente .

En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica se consideraría merecedora del premio. El premio se otorgó a Poincaré , a pesar de que no resolvió el problema original. (La primera versión de su contribución incluso contenía un error grave. [ 7 ] ) La versión finalmente impresa contenía muchas ideas importantes que llevaron al desarrollo de la teoría del caos . El problema, tal como se planteó originalmente, fue finalmente resuelto por Karl Fritiof Sundman para n = 3 y generalizado a n > 3 por L.  K. Babadzanjanz [ 8 ] [ 9 ] y Qiudong Wang . [ 10 ]

Formulación general

El problema de n cuerpos considera n masas puntuales m i , i = 1, 2, ..., n en un sistema de referencia inercial en un espacio tridimensional.R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}moviéndose bajo la influencia de la atracción gravitatoria mutua. Cada masa m i tiene un vector de posición q i . La segunda ley de Newton dice que la masa por la aceleración m i ⁠ d 2 q i / dt 2 ⁠ es igual a la suma de las fuerzas sobre la masa. La ley de gravedad de Newton dice que la fuerza gravitatoria que siente una sola masa m j sobre la masa m i viene dada por [ 11 ].Fij=GRAMOmetroimetroj‖qj−qi‖2⋅(qj−qi)‖qj−qi‖=GRAMOmetroimetroj(qj−qi)‖qj−qi‖3,{\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},} donde G es la constante gravitacional y ‖ q j − q i ‖ es la magnitud de la distancia entre q i y q j ( métrica inducida por la norma l 2 ).

La suma sobre todas las masas produce las ecuaciones de movimiento de n cuerpos :

metroid2qidt2=∑j=1j≠inorteGRAMOmetroimetroj(qj−qi)‖qj−qi‖3=−∂U∂qi{\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}

donde U es la energía potencial propia

U=−∑1≤i<j≤norteGRAMOmetroimetroj‖qj−qi‖.{\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}

Definiendo el momento como p i = m i ⁠ d q i / dt ⁠ , las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el problema de n cuerpos se convierten en [ 12 ]dqidt=∂H∂pagidpagidt=−∂H∂qi,{\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},} donde la función hamiltoniana es H=T+U{\displaystyle H=T+U} y T es la energía cinéticaT=∑i=1norte‖pagi‖22metroi.{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}

Las ecuaciones de Hamilton muestran que el problema de n cuerpos es un sistema de 6 n ecuaciones diferenciales de primer orden , con 6 n condiciones iniciales como 3 n coordenadas de posición iniciales y 3 n valores de momento iniciales.

Las simetrías en el problema de n cuerpos producen integrales globales de movimiento que simplifican el problema. [ 13 ] La simetría traslacional del problema da como resultado el centro de masado=∑i=1nortemetroiqi∑i=1nortemetroi{\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}} moviéndose con velocidad constante, de modo que C = L 0 t + C 0 , donde L 0 es la velocidad lineal y C 0 es la posición inicial. Las constantes de movimiento L 0 y C 0 representan seis integrales del movimiento. La simetría rotacional da como resultado que el momento angular total sea constante. A=∑i=1norteqi×pagi,{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},} donde × es el producto vectorial . Las tres componentes del momento angular total A dan como resultado tres constantes más del movimiento. La última constante general del movimiento viene dada por la conservación de la energía H. Por lo tanto, todo problema de n cuerpos tiene diez integrales de movimiento.

Debido a que T y U son funciones homogéneas de grado 2 y −1, respectivamente, las ecuaciones de movimiento tienen una invariancia de escala : si q i ( t ) es una solución, entonces también lo es λ −2/3 q i ( λt ) para cualquier λ > 0 . [ 14 ]

El momento de inercia de un sistema de n cuerpos viene dado por I=∑i=1nortemetroiqi⋅qi=∑i=1nortemetroi‖qi‖2{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}} y el virial viene dado por Q = ⁠ 1 / 2 ⁠ ⁠ dI / dt ⁠ . Entonces la fórmula de Lagrange-Jacobi establece que [ 15 ]d2Idt2=2T−U.{\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}

Para sistemas en equilibrio dinámico , el promedio temporal a largo plazo de ⟨ ⁠ d 2 I / dt 2 ⁠ ⟩ es cero. Entonces, en promedio, la energía cinética total es la mitad de la energía potencial total, ⟨ T ⟩ = ⁠ 1 / 2 ⁠ ⟨ U ⟩ , que es un ejemplo del teorema del virial para sistemas gravitacionales. [ 16 ] Si M es la masa total y R un tamaño característico del sistema (por ejemplo, el radio que contiene la mitad de la masa del sistema), entonces el tiempo crítico para que un sistema se estabilice en un equilibrio dinámico es [ 17 ]tdor=(GRAMOMETROR3)−1/2.{\displaystyle t_{\mathrm {cr} }=\left({\frac {GM}{R^{3}}}\right)^{-1/2}.}

Casos especiales

Problema de dos cuerpos

Históricamente, cualquier análisis de las fuerzas interplanetarias ha comenzado con el problema de los dos cuerpos. El propósito de esta sección es explicar la complejidad real del cálculo de dichas fuerzas. Cabe destacar que en esta sección también se tratan diversos temas, como la gravedad , el baricentro , las leyes de Kepler , etc., que se abordan en otras páginas de Wikipedia, como en la siguiente sección ( Problema de los tres cuerpos ). Sin embargo, aquí estos temas se analizan desde la perspectiva del problema de los n cuerpos.

El problema de los dos cuerpos ( n = 2 ) fue resuelto por primera vez por Isaac Newton en 1687 utilizando métodos geométricos, pero Johann Bernoulli (1667-1748) dio una solución completa en 1710 mediante la teoría clásica, suponiendo que la masa puntual principal era fija; [ 18 ] esto se describe aquí. [ 19 ] Consideremos entonces el movimiento de dos cuerpos, digamos el Sol y la Tierra, con el Sol fijo, entonces: metro1a1=GRAMOmetro1metro2r123(r2−r1)Sol-Tierrametro2a2=GRAMOmetro1metro2r213(r1−r2)Tierra-Sol{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}

La ecuación que describe el movimiento de la masa m 2 con respecto a la masa m 1 se obtiene fácilmente a partir de las diferencias entre estas dos ecuaciones y, después de cancelar los términos comunes, se obtiene: α+ηr3r=0{\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} } Dónde

  • r = r 2 − r 1 es la posición vectorial de m 2 con respecto a m 1 ;
  • α es la aceleración euleriana ⁠ d 2 r / dt 2 ⁠ ;
  • η = G ( m 1 + m 2 ) .

La ecuación α + η / r³ r = 0 es la ecuación diferencial fundamental para el problema de dos cuerpos que Bernoulli resolvió en 1734. Nótese que para este enfoque primero se deben determinar las fuerzas y luego resolver la ecuación de movimiento. Esta ecuación diferencial tiene soluciones elípticas, parabólicas o hiperbólicas . [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]

Es incorrecto considerar m₁ (el Sol) como fijo en el espacio al aplicar la ley de gravitación universal de Newton, ya que esto conduce a resultados erróneos. El punto fijo para dos cuerpos aislados que interactúan gravitacionalmente es su baricentro mutuo , y este problema de dos cuerpos puede resolverse de forma exacta, por ejemplo, utilizando coordenadas de Jacobi con respecto al baricentro.

El Dr. Clarence Cleminshaw calculó la posición aproximada del baricentro del Sistema Solar, un resultado obtenido principalmente combinando únicamente las masas de Júpiter y el Sol. El programa de ciencia declaró en referencia a su trabajo:

El Sol contiene el 98 por ciento de la masa del sistema solar, y los planetas superiores más allá de Marte constituyen la mayor parte del resto. En promedio, el centro de masa del sistema Sol-Júpiter, considerando solo los dos objetos más masivos, se encuentra a 462.000 millas del centro del Sol, ¡o a unas 30.000 millas sobre la superficie solar! Sin embargo, otros planetas grandes también influyen en el centro de masa del sistema solar. En 1951, por ejemplo, el centro de masa del sistema no estaba lejos del centro del Sol porque Júpiter se encontraba en el lado opuesto de Saturno, Urano y Neptuno. A finales de la década de 1950, cuando estos cuatro planetas estaban en el mismo lado del Sol, el centro de masa del sistema se encontraba a más de 330.000 millas de la superficie solar,  según los cálculos del Dr. C. H. Cleminshaw del Observatorio Griffith en Los Ángeles. [ 23 ]

Movimiento real frente al movimiento aparente de Kepler

El Sol oscila mientras rota alrededor del Centro Galáctico , arrastrando consigo al Sistema Solar y a la Tierra. Lo que hizo el matemático Kepler al llegar a sus tres famosas ecuaciones fue ajustar las curvas de los movimientos aparentes de los planetas usando los datos de Tycho Brahe , y no ajustar sus verdaderos movimientos circulares alrededor del Sol (ver figura). Tanto Robert Hooke como Newton eran conscientes de que la Ley de Gravitación Universal de Newton no se cumplía para las fuerzas asociadas con las órbitas elípticas. [ 6 ] De hecho, la Ley Universal de Newton no explica la órbita de Mercurio, el comportamiento gravitacional del cinturón de asteroides ni los anillos de Saturno . [ 24 ] Newton afirmó (en la sección 11 de los Principia ) que la razón principal, sin embargo, por la que no predijo las fuerzas para las órbitas elípticas fue que su modelo matemático era para un cuerpo confinado a una situación que apenas existía en el mundo real, a saber, los movimientos de cuerpos atraídos hacia un centro inmóvil. Algunos libros de texto actuales de física y astronomía no enfatizan la importancia negativa de la suposición de Newton y terminan enseñando que su modelo matemático es, en efecto, la realidad. Debe entenderse que la solución clásica del problema de dos cuerpos mencionada anteriormente es una idealización matemática . Véase también la primera ley de Kepler del movimiento planetario .

Problema de los tres cuerpos

Esta sección describe la solución a un problema de n cuerpos de importancia histórica, tras realizar ciertas suposiciones simplificadoras.

En el pasado, no se sabía mucho acerca del problema de n cuerpos para n ≥ 3. [ 25 ] El caso n = 3 ha sido el más estudiado. Muchos intentos anteriores para comprender el problema de tres cuerpos fueron cuantitativos, con el objetivo de encontrar soluciones explícitas para situaciones especiales.

  • En 1687, Isaac Newton publicó en los Principia los primeros pasos en el estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos sujetos a sus atracciones gravitatorias mutuas, pero sus esfuerzos dieron como resultado descripciones verbales y bocetos geométricos; véase especialmente el Libro 1, Proposición 66 y sus corolarios (Newton, 1687 y 1999 (trad.), véase también Tisserand, 1894).
  • En 1767, Euler descubrió los movimientos colineales , en los que tres cuerpos de cualquier masa se mueven proporcionalmente a lo largo de una línea recta fija. El problema de los tres cuerpos de Euler es el caso especial en el que dos de los cuerpos están fijos en el espacio (esto no debe confundirse con el problema restringido circular de los tres cuerpos , en el que los dos cuerpos masivos describen una órbita circular y solo están fijos en un sistema de referencia sinódico).
  • En 1772, Lagrange descubrió dos clases de soluciones periódicas, cada una para tres cuerpos de masas cualesquiera. En una clase, los cuerpos se encuentran sobre una línea recta giratoria. En la otra clase, los cuerpos se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero giratorio. En ambos casos, las trayectorias de los cuerpos serán secciones cónicas. Estas soluciones llevaron al estudio de las configuraciones centrales , para las cuales q̈ = kq para alguna constante k > 0 .
  • Charles-Eugène Delaunay realizó un importante estudio del sistema Tierra-Luna-Sol , publicando dos volúmenes sobre el tema, de 900 páginas cada uno, en 1860 y 1867. Entre muchos otros logros, la obra ya insinúa el caos y demuestra claramente el problema de los llamados "denominadores pequeños" en la teoría de perturbaciones .
  • En 1917, Forest Ray Moulton publicó su ahora clásico, Una introducción a la mecánica celeste (véanse las referencias), con su gráfica de la solución del problema restringido de los tres cuerpos (véase la figura a continuación). [ 26 ] Como nota al margen, véase el libro de Meirovitch, páginas 413-414, para su solución del problema restringido de los tres cuerpos. [ 27 ]
Movimiento de tres partículas bajo la acción de la gravedad, demostrando un comportamiento caótico.

La solución de Moulton puede ser más fácil de visualizar (y sin duda más fácil de resolver) si se considera que el cuerpo más masivo (como el Sol ) permanece estacionario en el espacio, y el cuerpo menos masivo (como Júpiter ) orbita a su alrededor, con los puntos de equilibrio ( puntos lagrangianos ) manteniendo una separación de 60° delante y detrás del cuerpo menos masivo, casi en su órbita (aunque en realidad ninguno de los cuerpos está realmente estacionario, ya que ambos orbitan alrededor del centro de masa de todo el sistema, es decir, alrededor del baricentro). Para una relación de masas suficientemente pequeña entre los cuerpos primarios, estos puntos de equilibrio triangulares son estables, de modo que partículas (casi) sin masa orbitarán alrededor de estos puntos mientras orbitan alrededor del cuerpo primario más grande (el Sol). Los cinco puntos de equilibrio del problema circular se conocen como puntos lagrangianos. Véase la figura a continuación:

Problema restringido de tres cuerpos

En la figura del modelo matemático del problema restringido de tres cuerpos que se muestra arriba (según Moulton), los puntos lagrangianos L4 y L5 son donde residían los planetoides troyanos (véase Punto lagrangiano ); m1 es el Sol y m2 es Júpiter. L2 es un punto dentro del cinturón de asteroides. Es necesario tener en cuenta que , para este modelo, todo este diagrama Sol-Júpiter gira alrededor de su baricentro. La solución del problema restringido de tres cuerpos predijo los planetoides troyanos antes de que fueran observados por primera vez. Los círculos h y los bucles cerrados reflejan los flujos electromagnéticos emitidos por el Sol y Júpiter. Se conjetura, contrariamente a la conjetura de Richard H. Batin (véase Referencias), que los dos h1 son sumideros gravitatorios, donde las fuerzas gravitatorias son cero, y la razón por la que los planetoides troyanos están atrapados allí. Se desconoce la cantidad total de masa de los planetoides.

El problema restringido de los tres cuerpos supone que la masa de uno de ellos es despreciable. Para un análisis del caso en que el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de menor masa, véase la esfera de Hill ; para sistemas binarios, véase el lóbulo de Roche . Las soluciones específicas al problema de los tres cuerpos dan lugar a un movimiento caótico sin indicios evidentes de una trayectoria repetitiva.

El problema restringido (tanto circular como elíptico) fue objeto de extensos estudios por parte de numerosos matemáticos y físicos de renombre, especialmente por Poincaré a finales del siglo XIX. El trabajo de Poincaré sobre el problema restringido de los tres cuerpos sentó las bases de la teoría del caos determinista . En este problema, existen cinco puntos de equilibrio . Tres de ellos son colineales con las masas (en el sistema de referencia giratorio) y son inestables. Los dos restantes se encuentran en el tercer vértice de ambos triángulos equiláteros cuyos vértices son el primero y el segundo de los dos cuerpos.

Problema de los cuatro cuerpos

Inspirado en el problema restringido circular de tres cuerpos, el problema de cuatro cuerpos se puede simplificar enormemente al considerar que un cuerpo más pequeño tiene una masa menor en comparación con los otros tres cuerpos masivos, los cuales, a su vez, se aproximan para describir órbitas circulares. Esto se conoce como el problema restringido bicircular de cuatro cuerpos (también conocido como modelo bicircular) y se remonta a 1960 en un informe de la NASA escrito por Su-Shu Huang. [ 28 ] Esta formulación ha sido muy relevante en la astrodinámica , principalmente para modelar trayectorias de naves espaciales en el sistema Tierra-Luna con la adición de la atracción gravitatoria del Sol. La formulación anterior del problema restringido bicircular de cuatro cuerpos puede ser problemática al modelar otros sistemas que no sean Tierra-Luna-Sol, por lo que la formulación fue generalizada por Negri y Prado [ 29 ] para ampliar el rango de aplicación y mejorar la precisión sin perder simplicidad.

Problema planetario

El problema planetario es el problema de n cuerpos en el caso de que una de las masas sea mucho mayor que todas las demás. Un ejemplo prototípico de un problema planetario es el sistema Sol- Júpiter - Saturno , donde la masa del Sol es aproximadamente 1000 veces mayor que las masas de Júpiter o Saturno. [ 14 ] Una solución aproximada al problema es descomponerlo en n − 1 pares de problemas de Kepler estrella-planeta , tratando las interacciones entre los planetas como perturbaciones. La aproximación perturbativa funciona bien siempre que no haya resonancias orbitales en el sistema, es decir, ninguna de las razones de las frecuencias de Kepler no perturbadas es un número racional. Las resonancias aparecen como denominadores pequeños en la expansión.

La existencia de resonancias y denominadores pequeños condujo a la importante cuestión de la estabilidad en el problema planetario: ¿los planetas, en órbitas casi circulares alrededor de una estrella, permanecen en órbitas estables o acotadas a lo largo del tiempo? [ 14 ] [ 30 ] En 1963, Vladimir Arnold demostró utilizando la teoría KAM una especie de estabilidad del problema planetario: existe un conjunto de medidas positivas de órbitas cuasiperiódicas en el caso del problema planetario restringido al plano. [ 30 ] En la teoría KAM, las órbitas planetarias caóticas estarían acotadas por toros KAM cuasiperiódicos. El resultado de Arnold fue extendido a un teorema más general por Féjoz y Herman en 2004. [ 31 ]

Configuraciones centrales

Una configuración central q 1 (0), …, q N (0) es una configuración inicial tal que si todas las partículas se liberaran con velocidad cero, todas colapsarían hacia el centro de masa C . [ 30 ] Este movimiento se llama homotético . Las configuraciones centrales también pueden dar lugar a movimientos homográficos en los que todas las masas se mueven a lo largo de trayectorias keplerianas (elípticas, circulares, parabólicas o hiperbólicas), con todas las trayectorias teniendo la misma excentricidad e . Para trayectorias elípticas, e = 1 corresponde a movimiento homotético y e = 0 da un movimiento de equilibrio relativo en el que la configuración permanece una isometría de la configuración inicial, como si la configuración fuera un cuerpo rígido. [ 32 ] Las configuraciones centrales han jugado un papel importante en la comprensión de la topología de las variedades invariantes creadas al fijar las primeras integrales de un sistema.

coreografía de n cuerpos

Las soluciones en las que todas las masas se mueven en la misma curva sin colisiones se denominan coreografías. [ 33 ] Lagrange descubrió en 1772 una coreografía para n = 3 en la que tres cuerpos se sitúan en los vértices de un triángulo equilátero en el marco giratorio. C. Moore halló numéricamente una coreografía en forma de ocho para n = 3 en 1993 [ 34 ] y A. Chenciner y R. Montgomery la generalizaron y demostraron en 2000. [ 35 ] Desde entonces, se han encontrado muchas otras coreografías para n ≥ 3 .

Enfoques analíticos

Para cada solución del problema, no solo aplicando una isometría o un desplazamiento temporal, sino también invirtiendo el tiempo (a diferencia del caso de la fricción) se obtiene una solución.

En la literatura física sobre el problema de los n cuerpos ( n ≥ 3 ) , a veces se hace referencia a la "imposibilidad de resolverlo " (mediante el método descrito anteriormente). Sin embargo, es preciso tener cuidado al hablar de la "imposibilidad" de una solución, ya que esto se refiere únicamente al método de las primeras integrales (compárese con los teoremas de Abel y Galois sobre la imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas de quinto grado o superior mediante fórmulas que solo involucran raíces).

Solución de la serie Power

Una forma de resolver el problema clásico de los n cuerpos es "el problema de los n cuerpos mediante series de Taylor ".

Comenzamos definiendo el sistema de ecuaciones diferenciales :d2incógnitai(t)dt2=GRAMO∑k=1k≠inortemetrok(incógnitak(t)−incógnitai(t))|incógnitak(t)−incógnitai(t)|3,{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}

Como x i ( t 0 ) y ⁠ d x i ( t 0 ) / dt ⁠ se dan como condiciones iniciales, se conoce cada ⁠ d 2 x i ( t ) / dt 2 ⁠ . Al diferenciar ⁠ d 2 x i ( t ) / dt 2 ⁠ se obtiene ⁠ d 3 x i ( t ) / dt 3 ⁠ que en t 0 también se conoce, y la serie de Taylor se construye iterativamente.

Una solución global generalizada de Sundman

Para generalizar el resultado de Sundman para el caso n > 3 (o n = 3 y c = 0 ) hay que afrontar dos obstáculos:

  1. Como ha demostrado Siegel, las colisiones que involucran más de dos cuerpos no pueden regularizarse analíticamente, por lo que la regularización de Sundman no puede generalizarse.
  2. La estructura de singularidades es más complicada en este caso: pueden ocurrir otros tipos de singularidades (ver más abajo ).

Por último, el resultado de Sundman fue generalizado al caso de n > 3 cuerpos por Qiudong Wang en la década de 1990. [ 36 ] Dado que la estructura de singularidades es más complicada, Wang tuvo que omitir por completo las cuestiones de singularidades. El punto central de su enfoque es transformar, de manera apropiada, las ecuaciones a un nuevo sistema, de modo que el intervalo de existencia para las soluciones de este nuevo sistema sea [0,∞) .

Singularidades del problema de n cuerpos

Puede haber dos tipos de singularidades en el problema de los n cuerpos:

  • Colisiones de dos o más cuerpos, pero para las cuales q ( t ) (las posiciones de los cuerpos) permanece finita. (En este sentido matemático, una "colisión" significa que dos cuerpos puntuales tienen posiciones idénticas en el espacio).
  • singularidades en las que no se produce una colisión, pero q ( t ) no permanece finito. En este escenario, los cuerpos divergen hacia el infinito en un tiempo finito, mientras que al mismo tiempo tienden a una separación nula (una colisión imaginaria ocurre "en el infinito").

Estas últimas se denominan conjetura de Painlevé (singularidades sin colisiones). Painlevé conjeturó su existencia para n > 3 (véase Conjetura de Painlevé ). Xia construyó ejemplos de este comportamiento para n = 5 [ 37 ] y Gerver [ 38 ] desarrolló un modelo heurístico para n = 4. Donald G. Saari demostró que, para 4 o menos cuerpos, el conjunto de datos iniciales que da lugar a singularidades tiene medida cero . [ 39 ]

Simulación

Si bien existen soluciones analíticas disponibles para el problema clásico (es decir, no relativista) de dos cuerpos y para configuraciones seleccionadas con n > 2 , en general los problemas de n cuerpos deben resolverse o simularse utilizando métodos numéricos. [ 17 ]

Pocos cuerpos

Para un número pequeño de cuerpos, un problema de n cuerpos puede resolverse utilizando métodos directos , también llamados métodos partícula-partícula . Estos métodos integran numéricamente las ecuaciones diferenciales del movimiento. La integración numérica para este problema puede ser un desafío por varias razones. Primero, el potencial gravitatorio es singular; tiende a infinito cuando la distancia entre dos partículas tiende a cero. El potencial gravitatorio puede "suavizarse" para eliminar la singularidad a distancias pequeñas: [ 17 ]Uε=∑1≤i<j≤norteGRAMOmetroimetroj‖qj−qi‖2+ε2{\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}} Segundo, en general, para n > 2 , el problema de n cuerpos es caótico [ 40 ] , lo que significa que incluso pequeños errores en la integración pueden crecer exponencialmente con el tiempo. Tercero, una simulación puede abarcar largos periodos de tiempo del modelo (por ejemplo, millones de años) y los errores numéricos se acumulan a medida que aumenta el tiempo de integración.

Existen diversas técnicas para reducir los errores en la integración numérica. [ 17 ] En algunos problemas, se utilizan sistemas de coordenadas locales para abordar escalas muy diferentes; por ejemplo, en el contexto de una simulación del sistema solar, se emplea un sistema de coordenadas Tierra-Luna. Los métodos variacionales y la teoría de perturbaciones permiten obtener trayectorias analíticas aproximadas sobre las cuales la integración numérica puede realizar una corrección. El uso de un integrador simpléctico garantiza que la simulación cumpla con las ecuaciones de Hamilton con un alto grado de precisión y, en particular, que se conserve la energía.

Muchos cuerpos

Los métodos directos que utilizan integración numérica requieren del orden de 1/2 n² cálculos para evaluar la energía potencial sobre todos los pares de partículas, y por lo tanto tienen una complejidad temporal de O ( n² ) . Para simulaciones con muchas partículas, el factor O ( n² ) hace que los cálculos a gran escala sean especialmente laboriosos. [ 17 ]

Se han desarrollado varios métodos aproximados que reducen la complejidad temporal en relación con los métodos directos: [ 17 ]

  • Los métodos de código de árbol , como la simulación de Barnes-Hut , son métodos espacialmente jerárquicos que se utilizan cuando no es necesario calcular con alta precisión las contribuciones de partículas distantes. El potencial de un grupo de partículas distantes se calcula mediante una expansión multipolar u otra aproximación del potencial. Esto permite reducir la complejidad a O ( n log n ) .
  • Los métodos multipolares rápidos aprovechan el hecho de que las fuerzas expandidas multipolarmente de partículas distantes son similares para partículas cercanas entre sí, y utilizan expansiones locales de fuerzas de campo lejano para reducir el esfuerzo computacional. Se afirma que esta aproximación adicional reduce la complejidad a O ( n ) . [ 17 ]
  • Los métodos de malla de partículas dividen el espacio de simulación en una cuadrícula tridimensional sobre la cual se interpola la densidad de masa de las partículas. Luego, el cálculo del potencial se convierte en una cuestión de resolver una ecuación de Poisson en la cuadrícula, que puede calcularse en tiempo O ( n log n ) usando la transformada rápida de Fourier o en tiempo O ( n ) usando técnicas multigrid . Esto puede proporcionar soluciones rápidas a costa de un mayor error para fuerzas de corto alcance. El refinamiento adaptativo de la malla puede usarse para aumentar la precisión en regiones con gran cantidad de partículas.
  • Los métodos P3M y PM-tree son métodos híbridos que utilizan la aproximación de malla de partículas para partículas distantes, pero emplean métodos más precisos para partículas cercanas (dentro de unos pocos intervalos de la cuadrícula). P3M significa partícula - partícula , partícula-malla y utiliza métodos directos con potenciales suavizados a corta distancia. Los métodos PM-tree, en cambio, utilizan códigos de árbol a corta distancia. Al igual que con los métodos de malla de partículas, las mallas adaptativas pueden aumentar la eficiencia computacional.
  • Los métodos de campo medio aproximan el sistema de partículas mediante una ecuación de Boltzmann dependiente del tiempoque representa la densidad de masa, la cual está acoplada a una ecuación de Poisson autoconsistente que representa el potencial. Se trata de un tipo de aproximación hidrodinámica de partículas suavizadas, adecuada para sistemas de gran tamaño.

Gravedad fuerte

En sistemas astrofísicos con campos gravitatorios intensos, como los cercanos al horizonte de sucesos de un agujero negro , las simulaciones de n cuerpos deben tener en cuenta la relatividad general ; dichas simulaciones pertenecen al ámbito de la relatividad numérica . Simular numéricamente las ecuaciones de campo de Einstein es extremadamente complejo [ 17 ] y, de ser posible, se utiliza un formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN), como las ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann . El problema de dos cuerpos en la relatividad general solo tiene solución analítica para el problema de Kepler, en el que se supone que una masa es mucho mayor que la otra [ 41 ] .

Otros problemas de n cuerpos

La mayor parte del trabajo realizado sobre el problema de los n cuerpos se ha centrado en el problema gravitacional. Sin embargo, existen otros sistemas para los que las matemáticas y las técnicas de simulación de n cuerpos han demostrado ser útiles.

En problemas de electrostática a gran escala , como la simulación de proteínas y ensamblajes celulares en biología estructural , el potencial de Coulomb tiene la misma forma que el potencial gravitatorio, excepto que las cargas pueden ser positivas o negativas, lo que da lugar a fuerzas tanto repulsivas como atractivas. [ 42 ] Los solucionadores rápidos de Coulomb son la contraparte electrostática de los simuladores rápidos del método multipolar. Estos se utilizan a menudo con condiciones de contorno periódicas en la región simulada y se emplean técnicas de sumación de Ewald para acelerar los cálculos. [ 43 ]

En estadística y aprendizaje automático , algunos modelos tienen funciones de pérdida de una forma similar a la del potencial gravitatorio: una suma de funciones kernel sobre todos los pares de objetos, donde la función kernel depende de la distancia entre los objetos en el espacio de parámetros. [ 44 ] Ejemplos de problemas que se ajustan a esta forma incluyen todos los vecinos más cercanos en el aprendizaje de variedades , la estimación de densidad kernel y las máquinas kernel . Se han desarrollado optimizaciones alternativas para reducir la complejidad temporal O ( n 2 ) a O ( n ) , como los algoritmos de árbol dual , que también son aplicables al problema gravitatorio de n cuerpos.

Una técnica en dinámica de fluidos computacional llamada Métodos de Vórtice discretiza la vorticidad en un dominio de fluido sobre partículas que luego son transportadas con la velocidad en sus centros. Debido a que la velocidad del fluido y la vorticidad están relacionadas mediante una ecuación de Poisson , la velocidad puede resolverse de la misma manera que la gravitación y la electrostática: como una suma de n cuerpos sobre todas las partículas que contienen vorticidad. La suma utiliza la ley de Biot-Savart , donde la vorticidad reemplaza a la corriente eléctrica. [ 45 ] En el contexto de flujos multifásicos turbulentos cargados de partículas, determinar un campo de perturbación global generado por todas las partículas es un problema de n cuerpos. Si las partículas que se desplazan dentro del flujo son mucho más pequeñas que la escala de Kolmogorov del flujo, sus campos de perturbación de Stokes lineales pueden superponerse, lo que produce un sistema de 3 n ecuaciones para 3 componentes de velocidades de perturbación en la ubicación de n partículas. [ 46 ] [ 47 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Rosenberg 1977
  2. ↑ Clark, David H.; Clark, Stephen P.  H. (2001). Los descubrimientos científicos suprimidos de Stephen Gray y John Flamsteed, La tiranía de Newton . W.  H. Freeman and Co.Una divulgación de los acontecimientos históricos y las disputas entre esos partidos, pero, más importante aún, de los resultados que produjeron.
  3. ↑ Véase Brewster, David (1905). «Descubrimiento de la gravitación, año 1666 d. C.». En Johnson, Rossiter (ed.). Los grandes acontecimientos según historiadores famosos . Vol. XII. The National Alumni. págs. 51–65 .  
  4. ↑ Rudolf Kurth ofrece un análisis exhaustivo sobre las perturbaciones planetarias en su libro (véase Referencias). Cabe mencionar que estas perturbaciones planetarias (oscilaciones) matemáticamente indefinidas aún persisten sin definir, y las órbitas planetarias deben actualizarse constantemente, generalmente de forma anual. Véase Efemérides Astronómicas y el Almanaque Náutico y Efemérides Americanos, elaborados conjuntamente por las Oficinas del Almanaque Náutico del Reino Unido y los Estados Unidos de América.
  5. ↑ Véase Principia , Libro Tres, Sistema del Mundo , «Escolio General», página 372, último párrafo. Newton era muy consciente de que su modelo matemático no reflejaba la realidad física. Esta edición referenciada es de los Grandes Libros del Mundo Occidental , Volumen 34, que fue traducido por Andrew Motte y revisado por Florian Cajori .Este mismo párrafo está en la página 1160 de Stephen Hawking , Sobre los hombros de gigantes , edición de 2002;es una copia de la adición de Daniel Adee de 1848. Cohen también ha traducido nuevas ediciones: Introducción a los Principia de Newton , 1970; e Isaac Newton's Principia, con lecturas variantes , 1972. Cajori también escribió Historia de la Ciencia , que está en línea.
  6. 1 2 Véase el artículo de I. Bernard Cohen en Scientific American .
  7. ↑ Para obtener más detalles sobre el grave error en la primera presentación de Poincaré, consulte el artículo de Diacu.
  8. ↑ Babadzanjanz, L. K. (1979), "Existencia de continuaciones en el problema de N cuerpos", Mecánica Celestial , 20 (1): 43– 57, Bibcode : 1979CeMec..20...43B , doi : 10.1007/BF01236607 , MR 0538663 , S2CID 120358878   .
  9. ↑ Babadzanjanz, L. K. (1993), "Sobre la solución global del problema de N cuerpos", Mecánica Celestial y Astronomía Dinámica , 56 (3): 427– 449, Bibcode : 1993CeMDA..56..427B , doi : 10.1007/BF00691812 , MR 1225892 , S2CID 120617936   .
  10. ↑ Wang, Qiu Dong (1991), "La solución global del problema de n cuerpos", Mecánica Celestial y Astronomía Dinámica , 50 (1): 73–88 , Bibcode : 1991CeMDA..50...73W , doi : 10.1007/BF00048987 , MR 1117788 , S2CID 118132097  .
  11. ↑ Meyer 2009, págs. 27–28
  12. ↑ Meyer 2009, pág. 28
  13. ↑ Meyer 2009, págs. 28–29
  14. 1 2 3 Chenciner 2007
  15. ↑ Meyer 2009, pág. 34
  16. ↑ "Apuntes de clase de AST1100: 5 El teorema del virial" (PDF) . Universidad de Oslo . Consultado el 25 de marzo de 2014 .
  17. 1 2 3 4 5 6 7 8 Trenti 2008
  18. ↑ Barrow-Green, June (1997). Poincaré y el problema de los tres cuerpos . Historia de las matemáticas. Sociedad Matemática Americana; Sociedad Matemática de Londres. pág. 14. ISBN  978-0-8218-0367-7.
  19. ↑ Véase Bate, Mueller y White, Capítulo 1: «Mecánica orbital de dos cuerpos», págs. 1-49. Estos autores pertenecían al Departamento de Astronáutica e Informática de la Academia de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Su libro de texto no contiene matemáticas avanzadas.
  20. ↑ En el enfoque clásico, si se considera que el centro de masa común (es decir, el baricentro) de los dos cuerpos está en reposo, cada cuerpo se desplaza a lo largo de una sección cónica cuyo foco se encuentra en el baricentro del sistema. En el caso de una hipérbola, la rama se ubica a un lado de dicho foco. Las dos cónicas estarán en el mismo plano. El tipo de cónica ( círculo , elipse , parábola o hipérbola ) se determina calculando la suma de la energía cinética combinada de los dos cuerpos y la energía potencial cuando estos se encuentran muy separados. (Esta energía potencial siempre es negativa; la energía de rotación de los cuerpos alrededor de sus ejes no se tiene en cuenta).
    • Si la suma de las energías es negativa, entonces ambas describen elipses.
    • Si la suma de ambas energías es cero, entonces ambas describen parábolas. A medida que la distancia entre los cuerpos tiende al infinito, su velocidad relativa tiende a cero.
    • Si la suma de ambas energías es positiva, entonces ambas describen hipérbolas. A medida que la distancia entre los cuerpos tiende al infinito, su velocidad relativa tiende a un número positivo.
  21. ↑ Para este enfoque, véase Mecánica Física de Lindsay , Capítulo 3: "Movimiento curvilíneo en un plano", y específicamente los párrafos 3-9, "Movimiento planetario"; págs. 83-96. La presentación de Lindsay contribuye en gran medida a explicar estos últimos comentarios para el problema fijo de dos cuerpos; es decir, cuando se supone que el Sol está fijo.
  22. ↑ Nota: El hecho de que una órbita parabólica tenga energía cero se debe a la suposición de que la energía potencial gravitatoria tiende a cero a medida que los cuerpos se alejan infinitamente. Se podría asignar cualquier valor a la energía potencial en el estado de separación infinita. Por convención, se supone que dicho estado tiene energía potencial cero.
  23. ↑ El programa de ciencias The Nature of the Universe afirma que Clarence Cleminshaw (1902–1985) fue subdirector del Observatorio Griffith de 1938 a 1958 y director de 1958 a 1969. Algunas publicaciones de Cleminshaw:
    • Cleminshaw, C.  H.: "Velocidades celestes", 4 1953, ecuación, Kepler, órbita, cometa, Saturno, Marte, velocidad.
    • Cleminshaw, C.  H.: "La próxima conjunción de Júpiter y Saturno", 7 1960, Saturno, Júpiter, observar, conjunción.
    • Cleminshaw, C.  H.: "La escala del sistema solar", 7 1959, Sistema solar, escala, Júpiter, sol, tamaño, luz.
  24. ↑ Brush, Stephen G., ed. (1983). Maxwell sobre los anillos de Saturno . MIT Press. Bibcode : 1983mosr.book.....B .
  25. ↑ Véanse los comentarios históricos de Leimanis y Minorsky.
  26. ↑ Véase el Problema restringido de tres cuerpos de Moulton para su solución analítica y gráfica.
  27. ↑ Véase el libro de Meirovitch: Capítulos 11: "Problemas en mecánica celeste"; 12: "Problemas en dinámica de naves espaciales"; y Apéndice A: "Díadas".
  28. ↑ Huang, Su-Shu (1960). "Problema de cuatro cuerpos muy restringido" . NASA TND-501 . 65 : 347. Bibcode : 1960AJ.....65S.347H . doi : 10.1086/108151 . hdl : 2060/19890068606 .
  29. ↑ Negri, Rodolfo B.; Prado, Antonio F. B. A. (2020). "Generalizing the Bicircular Restricted Four-Body Problem". Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 43 (6): 1173– 1179. Bibcode : 2020JGCD...43.1173N . doi : 10.2514/1.G004848 . S2CID 213600592 .   
  30. 1 2 3 Chierchia 2010
  31. ↑ Féjoz 2004
  32. ↑ Véase Chierchia 2010 para ver animaciones que ilustran movimientos homográficos.
  33. ↑ Celletti 2008
  34. ↑ Moore, Cristopher (14 de junio de 1993). "Trenzas en la dinámica clásica". Physical Review Letters . 70 (24): 3675– 3679. Bibcode : 1993PhRvL..70.3675M . doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675 . PMID 10053934 . 
  35. ↑ Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (noviembre de 2000). "Una notable solución periódica del problema de los tres cuerpos en el caso de masas iguales". The Annals of Mathematics . 152 (3): 881. arXiv : math/0011268 . Bibcode : 2000math.....11268C . doi : 10.2307/2661357 . JSTOR 2661357. S2CID 10024592 .  
  36. ↑ Qiu-Dong, Wang (1990-03-01). "La solución global del problema de N cuerpos". Mecánica celeste y astronomía dinámica . 50 (1): 73– 88. Bibcode : 1990CeMDA..50...73W . doi : 10.1007/BF00048987 . ISSN 0923-2958 . S2CID 118132097 .  
  37. ↑ Xia, Zhihong (mayo de 1992). "La existencia de singularidades sin colisión en sistemas newtonianos". Ann. Math . Segunda serie. 135 (3): 411– 468. doi : 10.2307/2946572 . JSTOR 2946572 . 
  38. ↑ Gerver, Joseph L. (2003). "Singularidades sin colisión: ¿Son suficientes cuatro cuerpos?" . Exp. Math . 12 (2): 187– 198. doi : 10.1080/10586458.2003.10504491 . S2CID 23816314 . 
  39. ↑ Saari, Donald G. (1977). "Un teorema de existencia global para el problema de los cuatro cuerpos de la mecánica newtoniana" . J. Differential Equations . 26 (1): 80– 111. Bibcode : 1977JDE....26...80S . doi : 10.1016/0022-0396(77)90100-0 .
  40. ↑ Alligood 1996
  41. ↑ Blanchet 2001
  42. ↑ Krumscheid 2010
  43. ↑ Junta Directiva 1999
  44. ↑ Ram 2010
  45. ↑ Cottet, Georges-Henri; Koumoutsakos, Petros D. (2000). Métodos de vórtice: teoría y práctica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-62186-0.
  46. ↑ Ayala, Orlando; Grabowski, Wojciech W.; Wang, Lian-Ping (2007-07-01). "Un enfoque híbrido para simular colisiones turbulentas de partículas que interactúan hidrodinámicamente" . Journal of Computational Physics . 225 (1): 51– 73. Bibcode : 2007JCoPh.225...51A . doi : 10.1016/j.jcp.2006.11.016 . ISSN 0021-9991 . 
  47. ↑ Torres, C. E.; Parishani, H.; Ayala, O.; Rossi, L. F.; Wang, L.-P. (15 de julio de 2013). "Análisis e implementación paralela de un problema de N cuerpos forzado" . Journal of Computational Physics . 245 : 235–258 . Bibcode : 2013JCoPh.245..235T . doi : 10.1016/j.jcp.2013.03.008 . ISSN 0021-9991 .   

Referencias

  • Aarseth, Sverre J. (2003). Simulaciones gravitacionales de n cuerpos, herramientas y algoritmos . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-43272-6.
  • Alligood, K.  T.; Sauer, T.  D.; Yorke, J.  A. (1996). Caos: Una introducción a los sistemas dinámicos . Nueva York: Springer. págs. 46–48 . ISBN  978-0-387-94677-1.
  • Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; White, Jerry (1971). Fundamentos de astrodinámica . Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-60061-1.
  • Blanchet, Lucas (2001). "Sobre el problema de los dos cuerpos en la relatividad general". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie IV . 2 (9): 1343–1352 . arXiv : gr-qc/0108086 . Código Bib : 2001CRASP...2.1343B . doi : 10.1016/s1296-2147(01)01267-7 . S2CID 119101016 . 
  • Board, John A. Jr.; Humphres, Christopher W.; Lambert, Christophe G.; Rankin, William T.; Toukmaji, Abdulnour Y. (1999). "Métodos de Ewald y multipolares para problemas periódicos de n cuerpos". En Deuflhard, Peter; Hermans, Jan; Leimkuhler, Benedict; Mark, Alan E.; Reich, Sebastian; Skeel, Robert D. (eds.). Dinámica molecular computacional: desafíos, métodos, ideas . Notas de clase en ciencia e ingeniería computacional. Vol.  4. Berlín y Heidelberg: Springer. pp. 459–471 . CiteSeerX 10.1.1.15.9501 . doi : 10.1007/978-3-642-58360-5_27 . ISBN   978-3-540-63242-9.
  • Bronowski, Jacob; Mazlish, Bruce (1986) [1960]. La tradición intelectual occidental, de Leonardo a Hegel . Nueva York: Dorset Press. ISBN 978-0-88029-069-2.
  • Celletti, Alessandra (2008). "Mecánica celeste computacional" . Scholarpedia . 3 (9): 4079. Bibcode : 2008SchpJ...3.4079C . doi : 10.4249/scholarpedia.4079 .
  • Chenciner, Alain (2007). "Problema de los tres cuerpos" . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
  • Chierchia, Luigi; Mather, John N. (2010). "Teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser" . Scholarpedia . 5 (9): 2123. Bibcode : 2010SchpJ...5.2123C . doi : 10.4249/scholarpedia.2123 .
  • Cohen, I. Bernard (marzo de 1980). "El descubrimiento de la gravedad por Newton". Scientific American . 244 (3): 167– 179. Bibcode : 1981SciAm.244c.166C . doi : 10.1038/scientificamerican0381-166 .
  • Cohen, I. Bernard (1985). El nacimiento de una nueva física, revisada y actualizada . Nueva York: W. W. Norton & Co. ISBN 978-0-393-30045-1.
  • Diacu, F. (1996). "La solución del problema de los n cuerpos" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 18 (3): 66– 70. doi : 10.1007/bf03024313 . S2CID 119728316. Archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Recuperado el 3 de noviembre de 2011 . 
  • Féjoz, J. (2004). "Demostración del 'teorema de Arnold' sobre la estabilidad del sistema planetario (después de Herman)". Teoría ergódica dinámica. Sistemas . 24 (5): 1521–1582.doi : 10.1017 / S0143385704000410 . S2CID 123461135 . 
  • Heggie, Douglas; Hut, Piet (2003). El problema gravitacional del millón de cuerpos: un enfoque multidisciplinario de la dinámica de los cúmulos estelares . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-77303-4.
  • Heggie, Douglas C. (1991). «Caos en el problema de n cuerpos de la dinámica estelar». En Roy, A.  E. (ed.). Predictibilidad, estabilidad y caos en sistemas dinámicos de n cuerpos . Nueva York: Plenum Press. ISBN 978-0-306-44034-2.
  • Hufbauer, Karl (1991). Explorando el Sol: La ciencia solar desde Galileo . Baltimore: Johns Hopkins University Press , patrocinado por la Oficina de Historia de la NASA. ISBN 978-0-8018-4098-2.
  • Krumscheid, Sebastian (2010). Evaluación comparativa de solucionadores de Coulomb rápidos para condiciones de contorno abiertas y periódicas (Informe). Informe técnico FZJ-JSC-IB-2010-01. Centro de Supercomputación de Jülich. CiteSeerX 10.1.1.163.3549 . 
  • Kurth, Rudolf (1959). Introducción a la mecánica del sistema solar . Londres: Pergamon Press . ISBN 978-0-08-009141-9.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Leimanis, E.; Minorsky, N. (1958). «Parte I: "Algunos avances recientes en la dinámica de cuerpos rígidos y mecánica celeste" (Leimanis); Parte II: "La teoría de las oscilaciones" (Minorsky)». Dinámica y mecánica no lineal . Nueva York: John Wiley & Sons . ASIN B0006AVKQW . OCLC 1219303 .  
  • Lindsay, Robert Bruce (1961). Mecánica física (3.ª  ed.). Princeton: D. Van Nostrand Co. ASIN B0000CLA7B . OCLC 802752879 .  
  • Meirovitch, Leonard (1970). Métodos de dinámica analítica . Nueva York: McGraw-Hill Book Co. ISBN 978-0-07-041455-6.
  • Meyer, Kenneth Ray; Hall, Glen R. (2009). Introducción a los sistemas dinámicos hamiltonianos y al problema de los n cuerpos . Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 978-0-387-09724-4.
  • Mittag-Leffler, G. (1885–1886). "El problema de los n cuerpos (Anuncio del premio)" . Acta Mathematica . 7 : I– VI. doi : 10.1007/BF02402191 .
  • Moulton, Forest Ray (1970). Introducción a la mecánica celeste . Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-62563-8.
  • Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (en latín). Londini [Londres]: Jussu Societatis Regiæ ac Typis Josephi Streater. Prostat apud plures Bibliopolas. OCLC 915353069 . También existe una traducción al inglés de la tercera edición (1726) realizada por I. Bernard Cohen y Anne Whitman (Berkeley, CA, 1999). ISBN 978-0-520-08817-7.
  • Ram, Parikshit; Lee, Dongryeol; March, William B.; Gray, Alexander G. (2009). "Algoritmos de tiempo lineal para problemas estadísticos por pares" (PDF) . NIPS : 1527–1535 . Archivado del original (PDF) el 21 de abril de 2017. Recuperado el 28 de marzo de 2014 .
  • Rosenberg, Reinhardt M. (1977). «Capítulo 19: Sobre problemas celestes». Dinámica analítica de sistemas discretos . Nueva York: Plenum Press. págs. 364–371 . ISBN  978-0-306-31014-0.
  • Gallant, Roy A. (1968). La naturaleza del universo . En colaboración con Science Service . Garden City, NY: Doubleday . OCLC 689289 . 
  • Sundman, KF  (1912). "Mémoire sur le problème de trois corps" . Acta Matemática . 36 : 105-179 . doi : 10.1007/bf02422379 .
  • Tisserand, François Félix (1894). "Traité de Mécanique Céleste" (PDF) . Lilliad - Universidad de Lille - Ciencias y Tecnologías . III . París: Gauthier-Villars et Fils: 27. hdl : 1908/4228 . OCLC 951409281 . 
  • Trenti, Michele; Choza, Piet (2008). " Simulaciones de n cuerpos" . Scholarpedia . 3 (5): 3930. Código Bib : 2008SchpJ...3.3930T . doi : 10.4249/scholarpedia.3930 .
  • Truesdell, Clifford (1968). Ensayos sobre la historia de la mecánica . Berlín; Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-642-86649-4.
  • Van Winter, Clasine (1970). "El problema de los n cuerpos en un espacio de Hilbert de funciones analíticas". En Gilbert, Robert P.; Newton, Roger G. (eds.). Métodos analíticos en física matemática . Nueva York: Gordon and Breach. pp. 569–578 . OCLC 848738761 .  
  • Wang, Qiudong (1991). "La solución global del problema de n cuerpos". Mecánica celeste y astronomía dinámica . 50 ( 1): 73– 88. Bibcode : 1991CeMDA..50...73W . doi : 10.1007/BF00048987 . ISSN 0923-2958 . MR 1117788. S2CID 118132097 .   
  • Xia, Zhihong (1992). "La existencia de singularidades sin colisión en sistemas newtonianos". Annals of Mathematics . 135 (3): 411– 468. doi : 10.2307/2946572 . JSTOR 2946572 . 

Lecturas adicionales

  • Battin, Richard H. (1987). Una introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica . AIAA.Emplea métodos energéticos en lugar de un enfoque newtoniano.
  • Boccaletti, D.; Pucacco, G. (1998). Teoría de las órbitas . Springer-Verlag.
  • Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Métodos de mecánica celeste . Academic Press. Bibcode : 1961mcm..book.....B .
  • Crandall, Richard E. (1996). "Capítulo 5: "Sistemas no lineales y complejos"; párrafo 5.1: " Problemas de n cuerpos y caos"". Temas en computación científica avanzada . Springer-Verlag. pp. 215– 221. 
  • Crandall, Richard E. (1996). "Capítulo 2: "Computación exploratoria"; Proyecto 2.4.1: "Física clásica"Proyectos en Computación Científica (3.ª ed. corregida ). Springer -  Verlag. págs. 93–97 . 
  • Eisele, John A.; Mason, Robert M. (1970). "Análisis matricial y tensorial aplicado". Physics Today . 25 (12): 55. Bibcode : 1972PhT....25l..55E . doi : 10.1063/1.3071146 .
  • Gelman, Harry (1968). "Las segundas condiciones de ortogonalidad en la teoría de rotaciones propias e impropias. I. Derivación de las condiciones y de sus principales consecuencias" . Journal of Research of the National Bureau of Standards, Section B. 72B ( 3): 229. doi : 10.6028/jres.072B.022 .
  • Gelman, Harry (1969). "Las segundas condiciones de ortogonalidad en la teoría de rotaciones propias e impropias. II. El vector intrínseco". Journal of Research of the National Bureau of Standards, Section B . 73B (2): 125. doi : 10.6028/jres.073B.012 .
  • Gelman, Harry (1969). "Las segundas condiciones de ortogonalidad en la teoría de rotaciones propias e impropias. III. El teorema de conjugación". Journal of Research of the National Bureau of Standards, Section B . 73B (2): 139. doi : 10.6028/jres.073B.013 .
  • Gelman, Harry (1969). "Las segundas condiciones de ortogonalidad en la teoría de rotaciones propias e impropias. IV. Solución de las ecuaciones de traza y seculares" . Journal of Research of the National Bureau of Standards, Section B. 73B ( 3): 215. doi : 10.6028/jres.073B.021 .
  • Gelman, Harry (1971). "Una nota sobre la dependencia temporal del eje efectivo y el ángulo de una rotación" . Journal of Research of the National Bureau of Standards, Section B. 75B ( 3 y 4): 165. doi : 10.6028/jres.075B.002 .
  • Hagihara, Y. (1970). Mecánica celeste . Vol.  I, II pt 1, II pt 2. MIT Press.
  • Korenev, GV (1967). La mecánica de los cuerpos guiados . CRC Press.
  • Meriam, JL (1978). Mecánica de la ingeniería . Vol. 1– 2. John Wiley & Sons. 
  • Murray, Carl D.; Dermott, Stanley F. (2000). Dinámica del sistema solar . Cambridge University Press.
  • Quadling, Henley (junio de 1994). Simulación gravitacional de n cuerpos: versión DOS de 16 bits .nbody*.zip está disponible en https://web.archive.org/web/19990221123102/http://ftp.cica.indiana.edu/ : ver enlaces externos.
  • Saari, D. (1990). "Una visita al problema newtoniano de n cuerpos a través de variables complejas elementales". American Mathematical Monthly . 89 (2): 105– 119. doi : 10.2307/2323910 . JSTOR 2323910 . 
  • Saari, DG; Hulkower, ND (1981). "Sobre las variedades de órbitas de colapso total y de órbitas completamente parabólicas para el problema de los n cuerpos" . Journal of Differential Equations . 41 (1): 27– 43. Bibcode : 1981JDE....41...27S . doi : 10.1016/0022-0396(81)90051-6 .
  • Szebehely, Victor (1967). Teoría de las órbitas . Academic Press.
  • El problema de los tres cuerpos en Scholarpedia
  • Información más detallada sobre el problema de los tres cuerpos.
  • Movimientos keplerianos regulares en sistemas clásicos de muchos cuerpos
  • Applet que demuestra el caos en el problema restringido de tres cuerpos. Archivado el 17/10/2009 en Wayback Machine.
  • Applets que demuestran muchos movimientos diferentes de tres cuerpos.
  • Sobre la integración de las ecuaciones de n cuerpos. Archivado el 30/10/2016 en Wayback Machine.
  • Applet de Java que simula el Sistema Solar
  • Applet de Java que simula una solución estable al problema de tres cuerpos con masas iguales.
  • Un applet de Java para simular el movimiento 3D de un conjunto de partículas bajo interacción gravitatoria.
  • Simulación del Sistema Solar mediante JavaScript
  • Los puntos de Lagrange – con enlaces a los artículos originales de Euler y Lagrange, y a traducciones, con análisis.
  • Programa de simulación N-cuerpos en GPU paralela con recorrido rápido de árboles de partículas sin apilamiento.