Conectividad homotópica

En topología algebraica , la conectividad homotópica es una propiedad que describe un espacio topológico en función de la dimensión de sus agujeros. En general, una baja conectividad homotópica indica que el espacio tiene al menos un agujero de baja dimensión. El concepto de n- conectividad generaliza los conceptos de conectividad de caminos y conectividad simple .

Una definición equivalente de conectividad homotópica se basa en los grupos de homotopía del espacio. Un espacio es n- conexo (o n -simplemente conexo ) si sus primeros n grupos de homotopía son triviales.

La conectividad homotópica también se define para mapas. Un mapa es n -conexo si es un isomorfismo "hasta dimensión n, en homotopía ".

Definición mediante agujeros

Todas las definiciones que aparecen a continuación consideran un espacio topológico X.

Un agujero en X es, informalmente, algo que impide que una esfera convenientemente ubicada se contraiga continuamente hasta convertirse en un punto. ^{[ 1 ]}^{: 78} Equivalentemente, es una esfera que no puede extenderse continuamente hasta convertirse en una bola . Formalmente,

Una esfera d-dimensional en X es una función continua $f_{d}:S^{d}\to X$ .
Una bola d-dimensional en X es una función continua $g_{d}:B^{d}\to X$ .
Un agujero de frontera d-dimensional en X es una esfera d- dimensional que no es homotópica nula (no puede contraerse continuamente hasta un punto). De forma equivalente, es una esfera d- dimensional que no puede extenderse continuamente hasta una bola ( d +1)-dimensional. A veces se le denomina agujero ( d +1)-dimensional ( d +1 es la dimensión de la "bola faltante").
X se denomina n -conexo si no contiene agujeros de dimensión de frontera d ≤ n . ^{[ 1 ]}^{: 78, Sec.4.3}
La conectividad homotópica de X , denotada ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ , es el mayor entero n para el cual X es n -conexo.
Una definición ligeramente diferente de conectividad, que simplifica algunos cálculos, es: el entero más pequeño d tal que X contiene un agujero d -dimensional. Este parámetro de conectividad se denota por $\eta _{\pi }(X)$ y difiere del parámetro anterior en 2, es decir, $\eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2$ . ^{[ 2 ]}

Ejemplos

Un agujero bidimensional (un agujero con un límite unidimensional) es un círculo (S ¹ ) en X , que no se puede contraer continuamente a un punto en X . Un ejemplo se muestra en la figura de la derecha. La región amarilla es el espacio topológico X ; es un pentágono al que se le ha quitado un triángulo. El círculo azul es una esfera unidimensional en X . No se puede contraer continuamente a un punto en X ; por lo tanto, X tiene un agujero bidimensional. Otro ejemplo es el plano perforado : el plano euclidiano al que se le ha quitado un solo punto. $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ Para hacer un agujero bidimensional en una bola tridimensional, haz un túnel a través de ella. ^{[ 1 ]} En general, un espacio contiene un agujero de frontera unidimensional si y solo si no es simplemente conexo . Por lo tanto, simplemente conexo es equivalente a 1-conexo. X es 0-conexo pero no 1-conexo, así que ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ . La dimensión más pequeña de un agujero es 2, por lo tanto $\eta _{\pi }(X)=2$ .
Un agujero tridimensional.
En la figura de la derecha se muestra un agujero tridimensional (un agujero con un límite bidimensional). Aquí, X es un cubo (amarillo) al que se le ha extraído una esfera (blanca). La esfera bidimensional (azul) no se puede reducir continuamente a un solo punto. X es simplemente conexo pero no 2-conexo, por lo que ${\text{conn}}_{\pi }(X)=1$ . La dimensión más pequeña de un agujero es 3, por lo tanto $\eta _{\pi }(X)=3$ .

Para un agujero unidimensional (un agujero con un límite de dimensión cero) necesitamos considerar $S^{0}$ - la esfera cero-dimensional. ¿Qué es una esfera cero-dimensional? - Para cada entero d , la esfera $S^{d}$ es el límite de la bola ( d +1)-dimensional $B^{d+1}$ . Entonces $S^{0}$ es el límite de $B^{1}$ , que es el segmento [0,1]. Por lo tanto, $S^{0}$ es el conjunto de dos puntos disjuntos {0, 1}. Una esfera cero-dimensional en X es simplemente un conjunto de dos puntos en X. Si existe tal conjunto, que no se puede contraer continuamente a un solo punto en X (o extender continuamente a un segmento en X ), esto significa que no hay camino entre los dos puntos, es decir, X no es conexo por caminos ; véase la figura de la derecha. Por lo tanto, conexo por caminos es equivalente a 0-conexo. X no es 0-conexo, así que ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-1$ . La dimensión más pequeña de un agujero es 1, por lo tanto $\eta _{\pi }(X)=1$ .
Un agujero de dimensión 0 es una bola de dimensión 0 que falta. Una bola de dimensión 0 es un solo punto; su límite $S^{-1}$ es un conjunto vacío. Por lo tanto, la existencia de un agujero de dimensión 0 es equivalente a que el espacio esté vacío. Por consiguiente, no vacío es equivalente a (−1)-conexo. Para un espacio vacío X , ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-2$ y $\eta _{\pi }(X)=0$ , que es su valor más pequeño posible.
Una bola no tiene agujeros de ninguna dimensión. Por lo tanto, su conectividad es infinita: $\eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty$ .

Conectividad homotópica de esferas

En general, para cada entero d , ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1$ (y $\eta _{\pi }(S^{d})=d+1$ ) ^{[ 1 ]}^{: 79, Teorema 4.3.2} La demostración requiere dos direcciones:

Demostrando que ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d$ , eso es, $S^{d}$ no se puede reducir continuamente a un solo punto. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Borsuk-Ulam .
Demostrando que ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1$ , es decir, es decir, cada mapa continuo $S^{k}\to S^{d}$ para $k<d$ puede reducirse continuamente a un solo punto.

Definición mediante grupos

Un espacio X se denomina n- conexo , para n ≥ 0, si no es vacío y todos sus grupos de homotopía de orden d ≤ n son el grupo trivial : $\pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,$ dónde $\pi _{i}(X)$ denota el i -ésimo grupo de homotopía y 0 denota el grupo trivial. ^{[ 3 ]} Las dos definiciones son equivalentes. El requisito para un espacio n- conexo consiste en requisitos para todo d ≤ n :

El requisito de que d = −1 significa que X debe ser no vacío.
El requisito de d = 0 significa que X debe estar conectado por caminos.
El requisito de que cualquier d ≥ 1 significa que X no contiene agujeros de dimensión de frontera d . Es decir, toda esfera d- dimensional en X es homotópica a una aplicación constante. Por lo tanto, el d -ésimo grupo de homotopía de X es trivial. Lo contrario también es cierto: si X tiene un agujero con una frontera d- dimensional, entonces hay una esfera d -dimensional que no es homotópica a una aplicación constante, por lo que el d -ésimo grupo de homotopía de X no es trivial. En resumen, X tiene un agujero con una frontera d -dimensional, si y solo si $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ La conectividad homotópica de X es el mayor entero n para el cual X es n -conexo. ^{[ 4 ]}

Los requisitos de no ser vacío y de estar conectado por caminos pueden interpretarse como (−1)-conectado y 0-conectado , respectivamente, lo cual es útil para definir mapas 0-conectados y 1-conectados, como se muestra a continuación. El conjunto de homotopía 0 se puede definir como:

\pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].

Este es solo un conjunto con punto , no un grupo, a menos que X sea en sí mismo un grupo topológico ; el punto distinguido es la clase de la aplicación trivial que envía S ⁰ al punto base de X. Usando este conjunto, un espacio es 0-conexo si y solo si el conjunto de homotopía 0 es el conjunto de un punto. La definición de grupos de homotopía y este conjunto de homotopía requieren que X tenga punto (que tenga un punto base elegido), lo cual no puede hacerse si X es vacío.

Un espacio topológico X es conexo por caminos si y solo si su grupo de homotopía de orden 0 se anula idénticamente, ya que la conexidad por caminos implica que cualesquiera dos puntos x ₁ y x ₂ en X pueden conectarse mediante un camino continuo que comienza en x ₁ y termina en x ₂ , lo cual es equivalente a la afirmación de que toda aplicación de S ⁰ (un conjunto discreto de dos puntos) a X puede deformarse continuamente a una aplicación constante. Con esta definición, podemos definir X como n -conexo si y solo si

\pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.

Ejemplos

Un espacio X es (−1)-conexo si y solo si no está vacío.
Un espacio X es 0-conexo si y solo si no está vacío y es conexo por caminos .
Un espacio es 1-conexo si y solo si es simplemente conexo .
Una n -esfera es ( n − 1)-conexa.

mapa n -conectado

La noción relativa correspondiente a la noción absoluta de un espacio n- conexo es una aplicación n- conexa , que se define como una aplicación cuya fibra homotópica Ff es un espacio ( n - 1)-conexo. En términos de grupos homotópicos, significa que una aplicación $f\colon X\to Y$ es n -conexo si y solo si:

$\pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)$ es un isomorfismo para $i<n$ , y
$\pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)$ es una sobreyección.

La última condición suele ser confusa; esto se debe a que la desaparición del grupo de homotopía ( n - 1) de la fibra de homotopía Ff corresponde a una sobreyección sobre los ^{grupos de homotopía}n en la secuencia exacta.

\pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).

Si el grupo de la derecha $\pi _{n-1}(Ff)$ Si desaparece, entonces el mapa de la izquierda es una sobreyección.

Ejemplos de baja dimensionalidad:

Un mapa conexo (mapa 0-conexo) es aquel que es sobreyectivo a los componentes de la ruta (grupo de homotopía 0); esto corresponde a que la fibra de homotopía no esté vacía.
Una aplicación simplemente conexa (aplicación 1-conexa) es aquella que es un isomorfismo en los componentes de camino (grupo de homotopía 0) y sobre el grupo fundamental (grupo de homotopía 1).

La n -conectividad para espacios puede definirse a su vez en términos de la n- conectividad de mapas: un espacio X con punto base x ₀ es un espacio n -conexo si y solo si la inclusión del punto base $x_{0}\hookrightarrow X$ es una aplicación n -conexa. El conjunto de un solo punto es contraíble, por lo que todos sus grupos de homotopía se anulan, y por lo tanto "isomorfismo por debajo de n y sobreyectivo en n " corresponde a que los primeros n grupos de homotopía de X se anulen.

Interpretación

Esto resulta instructivo para un subconjunto: una inclusión n -conectada. $A\hookrightarrow X$ es tal que, hasta la dimensión n − 1 , las homotopías en el espacio más grande X pueden ser homotopadas en homotopías en el subconjunto A.

Por ejemplo, para un mapa de inclusión $A\hookrightarrow X$ Para ser 1-conectado, debe ser:

sobre $\pi _{0}(X),$
uno a uno en $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),$ y
sobre $\pi _{1}(X).$

De uno a uno $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)$ significa que si hay un camino que conecta dos puntos $a,b\in A$ Al pasar por X, hay un camino en A que los conecta, mientras que en $\pi _{1}(X)$ significa que, de hecho, un camino en X es homotópico a un camino en A.

En otras palabras, una función que es un isomorfismo en $\pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)$ solo implica que cualquier elemento de $\pi _{n-1}(A)$ que son homotópicos en X son abstractamente homotópicos en A – la homotopía en A puede no estar relacionada con la homotopía en X – mientras que son n- conexos (por lo tanto también en $\pi _{n}(X)$ ) significa que (hasta la dimensión n − 1) las homotopías en X se pueden empujar a homotopías en A.

Esto proporciona una explicación más concreta de la utilidad de la definición de n -conexidad: por ejemplo, un espacio donde la inclusión del k -esqueleto es n- conexo (para n > k ) –como la inclusión de un punto en la n- esfera– tiene la propiedad de que cualquier celda en dimensiones entre k y n no afecta a los tipos de homotopía de menor dimensión.

límites inferiores

Muchas demostraciones topológicas requieren cotas inferiores para la conectividad homotópica. Existen varias "recetas" para demostrar dichas cotas inferiores.

Homología

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homotópica. ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ a la conectividad homológica , denotada por ${\text{conn}}_{H}(X)$ Esto resulta útil para calcular la conectividad homotópica, ya que los grupos homológicos se pueden calcular más fácilmente.

Supongamos primero que X es simplemente conexo, es decir, ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$ . Dejar $n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2$ ; entonces $\pi _{i}(X)=0$ a pesar de $i<n$ , y $\pi _{n}(X)\neq 0$ . El teorema de Hurewicz ^{[ 5 ]}^{: 366, Thm.4.32} dice que, en este caso, ${\tilde {H_{i}}}(X)=0$ a pesar de $i<n$ , y ${\tilde {H_{n}}}(X)$ es isomorfo a $\pi _{n}(X)$ , entonces ${\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0$ también. Por lo tanto: ${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).$ Si X no es simplemente conexo ( ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0$ ), entonces ${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$ Todavía se mantiene. Cuando ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1$ Esto es trivial. Cuando ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ (por lo que X es conexo por caminos pero no simplemente conexo), se debe demostrar que ${\tilde {H_{0}}}(X)=0$ .

La desigualdad puede ser estricta: hay espacios en los que ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ pero ${\text{conn}}_{H}(X)=\infty$ . ^{[ 6 ]}

Por definición, el grupo de homología k -ésimo de un complejo simplicial depende únicamente de los símplices de dimensión como máximo k + 1 (véase homología simplicial ). Por lo tanto, el teorema anterior implica que un complejo simplicial K es k -conexo si y solo si su esqueleto ( k + 1)-dimensional (el subconjunto de K que contiene únicamente símplices de dimensión como máximo k + 1) es k -conexo. ^[¹^]^:^80,^Prop.4.4.2

Unirse

Sean K y L complejos de celdas no vacías . Su unión se denota comúnmente por $K*L$ . Entonces: ^{[ 1 ]}^{: 81, Prop.4.4.3} ${\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.$

La identidad es más sencilla con la notación eta: $\eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).$ Como ejemplo, dejemos $K=L=S^{0}=$ un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, por lo que eta es 1. La unión $K*L$ es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo, por lo que su eta es 2. La unión de este cuadrado con una tercera copia de K es un octaedro , que es homeomorfo a $S^{2}$ y su eta es 3. En general, la unión de n copias de $S^{0}$ es homeomorfo a $S^{n-1}$ y su eta es n .

La demostración general se basa en una fórmula similar para la conectividad homológica.

Nervio

Sean K ₁ ,..., K _n complejos simpliciales abstractos , y denotemos su unión por K .

Denotemos el complejo nervioso de { K ₁ , ... , K _n } (el complejo abstracto que registra el patrón de intersección de los K _i ) por N .

Si, para cada no vacío $J\subset I$ , la intersección ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ es vacío o ( k −| J |+1)-conexo, entonces para cada j ≤ k , el j -ésimo grupo de homotopía de N es isomorfo al j -ésimo grupo de homotopía de K .

En particular, N es k -conexo si y solo si K es k- conexo. ^{[ 7 ]}^{: Teorema 6}

principio de homotopía

En topología geométrica , casos en los que se incluye un espacio definido geométricamente, como el espacio de inmersiones. $M\to N,$ en un espacio topológico más general, como el espacio de todas las aplicaciones continuas entre dos espacios asociados. $X(M)\to X(N),$ Se dice que los conjuntos n -conectados satisfacen un principio de homotopía o "principio h". Existen diversas técnicas generales y eficaces para demostrar los principios h.

Véase también

Referencias

1 2 3 4 5 6 Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler ., Sección 4.3
↑ Aharoni, Ron; Berger, Eli (2006). "La intersección de un matroide y un complejo simplicial" . Transactions of the American Mathematical Society . 358 (11): 4895– 4917. doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .
↑ "Espacio n-conectado en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 18 de septiembre de 2017 .
↑ Frick, Florian; Soberón, Pablo (2020-05-11). "El problema topológico de Tverberg más allá de las potencias de números primos". arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].
↑ Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
↑ Véase el ejemplo 2.38 en el libro de Hatcher. Véase también esta respuesta .
↑ Björner, Anders (1 de abril de 2003). "Nervios, fibras y grupos de homotopía" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 102 (1): 88–93 . doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .

[:03-1] 1 2 3 4 5 6 Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler ., Sección 4.3

[2] Aharoni, Ron; Berger, Eli (2006). "La intersección de un matroide y un complejo simplicial" . Transactions of the American Mathematical Society . 358 (11): 4895– 4917. doi : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .

[3] "Espacio n-conectado en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 18 de septiembre de 2017 .

[4] Frick, Florian; Soberón, Pablo (2020-05-11). "El problema topológico de Tverberg más allá de las potencias de números primos". arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].

[hatcher-5] Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1

[6] Véase el ejemplo 2.38 en el libro de Hatcher. Véase también esta respuesta .

[7] Björner, Anders (1 de abril de 2003). "Nervios, fibras y grupos de homotopía" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 102 (1): 88–93 . doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .

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