Método NM

El método NM o método de Naszodi-Mendonca es la operación que se puede aplicar en estadística, econometría , economía, sociología y demografía para construir tablas de contingencia contrafactuales . El método encuentra la matriz${\displaystyle X}$(${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$) que es "más cercano" a matriz${\displaystyle Z}$(${\displaystyle Z\in \mathbb {N} ^{n\times m}}$llamada tabla semilla) en el sentido de que se clasifican igual pero con los totales de filas y columnas de una matriz objetivo.${\displaystyle Y}$${\displaystyle (Y\in \mathbb {N} ^{n\times m})}$Mientras que los totales de filas y los totales de columnas de${\displaystyle Y}$son conocidos, matriz${\displaystyle Y}$Puede que no se conozca en sí mismo.

Dado que la solución para la matriz${\displaystyle X}$es único, el método NM es una función:${\displaystyle X={\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y):\mathbb {N} ^{n\times m}\times \mathbb {N} ^{n}\times \mathbb {N} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}}$, dónde${\displaystyle e_{n}}$es un vector fila de unos de tamaño${\displaystyle 1\times n}$, mientras${\displaystyle e_{m}^{T}}$es un vector columna de unos de tamaño${\displaystyle m\times 1}$.

El método NM fue desarrollado por Naszodi y Mendonca (2023) ^{[ 1 ]} (y aplicado por primera vez por Naszodi y Mendonca (2019) ^{[ 2 ]} para resolver matrices${\displaystyle X}$en problemas, donde matriz${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$no es una muestra de la población caracterizada por los totales de fila y totales de columna de la matriz${\displaystyle Y}$pero representa a otra población.

Su aplicación tenía como objetivo cuantificar los cambios intergeneracionales en la intensidad de la homofilia educativa y, por lo tanto, medir el cambio histórico en la desigualdad social entre diferentes grupos educativos en los EE. UU. entre 1980 y 2010. Se observó que la tendencia de la desigualdad tenía forma de U, lo que respalda la idea de que con políticas sociales y económicas adecuadas se puede reducir la desigualdad.

La proximidad entre dos matrices del mismo tamaño se puede definir de varias maneras. La distancia euclidiana y la divergencia de Kullback-Leibler son dos ejemplos bien conocidos.

El método NM es consistente con una definición basada en el índice ordinal de Liu-Lu ^{[ 3 ]} , que es la versión ligeramente modificada del índice de Coleman definido por la ecuación (15) en James Coleman (1958). ^{[ 4 ]} Según esta definición, matriz${\displaystyle X}$es "más cercano" a la matriz${\displaystyle Z}$, si sus valores Liu-Lu son iguales. En otras palabras, si están clasificados de la misma manera por el índice ordinal Liu-Lu.

Si${\displaystyle Z}$es una matriz de 2×2 , suEl índice escalar de Liu-Lu se define como

${\displaystyle {\text{LL}}(Z)={\frac {Z_{1,1}-Q^{-}(Z_{1,1})}{{\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})-Q^{-}(Z_{1,1})}}}$, dónde ${\ Displaystyle Z_ {1,.} = Z_ {1,1} + Z_ {1,2}}$; ${\displaystyle Z_{.,1}=Z_{1,1}+Z_{2,1}}$; ${\displaystyle Z_{.,.}=Z_{.,1}+Z_{1,.}}$; ${\displaystyle Q(Z_{1,1})={Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}}$; ${\displaystyle Q^{-}(Z_{1,1})=int[Q(Z_{1,1})]}$.

Siguiendo a James Coleman (1958), ^{[ 4 ]} este índice se interpreta como el “valor real menos el valor esperado dividido entre el valor máximo menos el valor mínimo”, donde${\displaystyle Z_{1,1}}$es el valor real de la${\displaystyle 1,1}$entrada de la matriz de semillas${\displaystyle Z}$;${\displaystyle Q^{-}}$es su valor esperado ( entero ) bajo los supuestos contrafactuales de que el total de fila y columna correspondientes de${\displaystyle Z}$están predeterminados, mientras que su interior es aleatorio. Además,${\displaystyle Q^{-}}$es su valor mínimo si la asociación entre la variable de fila y la variable de columna de${\displaystyle Z}$es no negativo. Finalmente,${\displaystyle {\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})}$es el valor máximo de${\displaystyle Z_{1,1}}$(${\displaystyle Z\in \mathbb {N} ^{n\times m}}$) para el total de fila dado${\displaystyle Z_{1,.}}$y total de la columna${\displaystyle Z_{.,1}}$.

Para matriz${\displaystyle Z}$de tamaño n×m (${\displaystyle n\geq 2}$,${\displaystyle m\geq 2}$), el índice de Liu-Lu fue generalizado por Naszodi y Mendonca (2023) ^{[ 1 ]} a un índice con valores matriciales. Uno de losLas condiciones previas para la generalización son que la variable de fila y la variable de columna de la matriz${\displaystyle Z}$deben ser ordenados. Igualando el índice generalizado de Liu-Lu con valores matriciales de${\displaystyle Z}$con el de matriz${\displaystyle X}$es equivalente a dicotomizar su variable de fila ordenada y su variable de columna ordenada.en${\displaystyle (n-1)\times (m-1)}$formas explotando la naturaleza ordenada de las variables de fila y columna. Luego, igualando los índices Liu-Lu escalares originales de las matrices 2×2 obtenidas con las dicotomizaciones. Es decir, para cualquier par de${\displaystyle i,j}$(${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$, y${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,m-1\}}$) la restricción${\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}XW_{j}^{T})={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}$se impone, donde${\displaystyle V_{i}}$es el${\displaystyle 2\times n}$matriz$${\displaystyle V_{i}={\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}\cdots &\color {red}1&\color {blue}0&\color {blue}\cdots &\color {blue}0\\\color {red}0&\color {red}\cdots &\color {red}0&\color {blue}1&\color {blue}\cdots &\color {blue}1\end{bmatrix}}}$$con su primer bloque de tamaño${\displaystyle 2\times i}$y su segundo bloque es de tamaño${\displaystyle 2\times (n-i)}$. Similarmente,${\displaystyle W_{j}^{T}}$es el${\displaystyle m\times 2}$matriz dada por la transpuesta de$${\displaystyle W_{j}={\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}\cdots &\color {red}1&\color {blue}0&\color {blue}\cdots &\color {blue}0\\\color {red}0&\color {red}\cdots &\color {red}0&\color {blue}1&\color {blue}\cdots &\color {blue}1\end{bmatrix}}}$$con su primer bloque de tamaño${\displaystyle 2\times j}$y su segundo bloque es de tamaño${\displaystyle 2\times (m-j)}$.

Matriz${\displaystyle X}$debe satisfacer no solo${\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}XW_{j}^{T})={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}$pero también el par de restricciones sobre los totales de sus filas y totales de columnas:${\displaystyle Xe_{m}^{T}=Ye_{m}^{T}}$y${\displaystyle e_{n}X=e_{n}Y}$.

Suponiendo que${\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})\geq 0}$para todos los pares de${\displaystyle i,j}$(dónde${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$, y${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,m-1\}}$), la solución para${\displaystyle X}$es único, determinista y viene dado por una fórmula de forma cerrada. ^{[ 1 ]}

Para matrices${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$de tamaño${\displaystyle {\boldsymbol {2\times 2}}}$, elLa solución es

${\displaystyle X_{1,1}={\frac {\left[Z_{1,1}-{\text{int}}\left({Z_{1,\cdot }Z_{\cdot ,1}}/{Z_{\cdot ,\cdot }}\right)\right]\left[{{\text{min}}\left(Y_{1,\cdot },Y_{\cdot ,1}\right)-{\text{int}}\left({Y_{1,\cdot }Y_{\cdot ,1}}/{Y_{\cdot ,\cdot }}\right)}\right]}{{\text{min}}\left(Z_{1,\cdot },Z_{\cdot ,1}\right)-{\text{int}}\left({Z_{1,\cdot }Z_{\cdot ,1}}/{Z_{\cdot ,\cdot }}\right)}}+{\text{int}}\left({Y_{1,\cdot }Y_{\cdot ,1}}/{Y_{\cdot ,\cdot }}\right)}$.

Las otras 3 células de${\displaystyle X}$Se determinan de forma única por los totales de filas y columnas. Así es como funciona el método NM para tablas semilla de 2×2.

Para${\displaystyle Y}$, y${\displaystyle Z}$matrices de tamaño${\displaystyle {\boldsymbol {n\times m}}}$(${\displaystyle n\geq 2}$,${\displaystyle m\geq 2}$), la solución se obtiene dicotomizando su variable de fila ordenada y su variable de columna ordenada de todas las formas significativas posibles antes de resolver${\displaystyle (n-1)(m-1)}$número de problemas de forma 2×2. Cada problema se define para un${\displaystyle i,j}$par (${\displaystyle i\in \{1,...,n-1\}}$y${\displaystyle j\in \{1,...,m-1\}}$) con${\displaystyle {\text{LL}}(V_{i}XW_{j}^{T})={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}$y los totales de filas y columnas objetivo:${\displaystyle V_{i}Xe_{m}^{T}=V_{i}Ye_{m}^{T}}$, y${\displaystyle e_{n}XW_{j}^{T}=e_{n}YW_{j}^{T}}$, respectivamente. Cada problema se resolverá por separado mediante la fórmula para${\displaystyle X_{1,1}}$El conjunto de soluciones determina${\displaystyle (n-1)(m-1)}$número de entradas de la matriz${\displaystyle X}$. Su resto${\displaystyle m+n-1}$Los elementos se determinan de forma unívoca mediante los totales de fila y columna de destino.

A continuación, veamos cómo funciona el método NM si la matriz${\displaystyle Z}$es tal que la segunda condición previa de${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})\geq 0}}}$no se cumple${\displaystyle {\boldsymbol {\forall i,j}}}$.

Si${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})\leq 0}}}$para todos los pares de${\displaystyle {\boldsymbol {i,j}}}$, la solución para${\displaystyle X}$También es único, determinista y viene dado por una fórmula de forma cerrada. Sin embargo, el concepto correspondiente de clasificación de matrices es ligeramente diferente al discutido anteriormente . Liu y Lu (2006) ^{[ 3 ]} lo definen como${\displaystyle {\text{LL}}^{-}(Z)={\frac {Z_{1,1}-Q^{+}(Z_{1,1})}{Q^{+}(Z_{1,1})-max(0;Z_{1,.}-Z_{.,2})}}}$, dónde${\displaystyle Z_{.,2}=Z_{1,2}+Z_{2,2}}$;${\displaystyle Q^{+}(Z_{1,1})}$es el entero más pequeño que sea mayor o igual que${\displaystyle Q}$.

Finalmente, ni el método NM ni${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(Z)}}}$se define si${\displaystyle \exists (i,j)}$emparejar de tal manera que${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})>0}}}$, mientras que para otro par de${\displaystyle k,l(\neq i,j)}$${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{ LL}}(V_{k}ZW_{l}^{T})<0}}}$.

Considere la siguiente matriz${\displaystyle \color {green}Z}$complementado con sus totales de fila y totales de columna y los objetivos, es decir, los totales de fila y totales de columna de la matriz${\displaystyle \color {orange}Y}$:

Como primer paso del método NM, matriz${\displaystyle \color {green}Z}$se multiplica por el${\displaystyle {\boldsymbol {V_{i}}}}$, y${\displaystyle {\boldsymbol {W_{j}^{T}}}}$matrices para cada par de${\displaystyle i,j}$(${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$, y${\displaystyle j\in \{1,2,3\}}$). Produce las siguientes 9 matrices de tamaño 2×2 con sus totales de filas y columnas objetivo:

El siguiente paso es calcular el índice generalizado de Liu-Lu con valores matriciales.${\displaystyle {\text{LL}}({Z})}$, (dónde${\displaystyle {\text{LL}}({Z})_{i,j}={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}$) aplicando la fórmula del índice escalar original de Liu-Lu a cada una de las 9 matrices:

Aparentemente, matriz${\displaystyle {\text{LL}}(Z)}$es positivo. Por lo tanto, el método NM está definido. Resolver cada uno de los 9 problemas de la forma 2×2 produce 9 entradas de la${\displaystyle X}$matriz. Sus otras 7 entradas están determinadas de forma única por los totales de fila y columna objetivo. La solución para${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$es:

Considere la siguiente matriz${\displaystyle \color {green}Z}$complementado con sus totales de fila y totales de columna y los objetivos,es decir, los totales de filas y los totales de columnas de la matriz${\displaystyle \color {orange}Y}$:

Como primer paso del método NM, matriz${\displaystyle \color {green}Z}$se multiplica por el${\displaystyle {\boldsymbol {V_{i}}}}$, y${\displaystyle {\boldsymbol {W_{j}^{T}}}}$matrices para cada par de${\displaystyle i,j}$(${\displaystyle i\in \{1,2\}}$, y${\displaystyle j\in \{1,2\}}$). Produce las siguientes 4 matrices de tamaño 2×2 con sus totales de filas y totales de columnas objetivo:

El siguiente paso es calcular el índice generalizado de Liu-Lu con valores matriciales.${\displaystyle {\text{LL}}({Z})}$, (dónde${\displaystyle {\text{LL}}({Z})_{i,j}={\text{LL}}(V_{i}ZW_{j}^{T})}$) aplicando la fórmula del índice escalar original de Liu-Lu a cada una de las 4 matrices:

Aparentemente, matriz${\displaystyle {\text{LL}}(Z)}$es positivo. Por lo tanto, el método NM está definido. Resolver cada uno de los 4 problemas de la forma 2×2 produce 4 entradas de la${\displaystyle X}$matriz. Sus otras 5 entradas están determinadas de forma única por los totales de fila y columna de destino.La solución para${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$es:

El método NM está implementado en Excel, ^{[ 5 ]} Visual Basic, ^{[ 5 ]} R, ^{[ 5 ]} y también en Stata . ^{[ 6 ]}

El método NM se puede aplicar para estudiar diversos fenómenos, entre ellos el apareamiento selectivo , la movilidad intergeneracional como un tipo de movilidad social , ^{[ 7 ]} la segregación residencial , el reclutamiento y la gestión del talento .

En todas estas aplicaciones, matrices${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$, y${\displaystyle Z}$representan distribuciones conjuntas de entidades emparejadas uno a uno (por ejemplo, maridos y mujeres, o primogénitos y madres, o viviendas y arrendatarios principales, o directores ejecutivos y empresas, o instructores de ajedrez y sus alumnos más talentosos) caracterizadas por una variable categórica dicotómica (por ejemplo, tomando valores vegetariano/no vegetariano, Gran Maestro/o no), o una variable categórica multinomial ordenada (por ejemplo, nivel de logro educativo final, nivel de habilidad de los esquiadores, rango de ingresos , categoría de tarifa de alquiler, calificación crediticia , títulos FIDE ). Aunque el método NM tiene un amplio rango de aplicabilidad, todos los ejemplos que se presentarán a continuación tratan sobre el emparejamiento selectivo a lo largo del nivel educativo. En estas aplicaciones, no se discute que se cumplan las dos condiciones previas (de variable de rasgo ordenada y emparejamiento selectivo positivo en todos los grupos educativos).

Supongamos quematriz${\displaystyle Z}$caracteriza la distribución educativa conjunta de maridos y esposas en Zimbabue, mientras que la matriz${\displaystyle Y}$caracteriza lo mismo en Yemen. Matriz${\displaystyle X}$La construcción mediante el método NM nos indica cuál sería la distribución educativa conjunta de las parejas en Zimbabue, si las distribuciones educativas de maridos y esposas fueran las mismas que en Yemen, mientras que el deseo general de homogamia (también llamado preferencias matrimoniales agregadas en economía, o normas sociales de compatibilidad matrimonial /barreras sociales en sociología) permaneciera inalterado.

En unsegunda aplicación, matrices${\displaystyle Z}$y${\displaystyle Y}$Caracterizar el mismo país en dos años diferentes. Matriz${\displaystyle Z}$es la distribución educativa conjunta de los recién casados ​​estadounidenses en 2040, donde los maridos pertenecen a la Generación Z y son adultos jóvenes al momento de la observación. Matriz${\displaystyle Y}$es lo mismo pero para la Generación Y observada en el año 2024. Al construir la matriz${\displaystyle X}$En el futuro se podría estudiar cuál sería la distribución educativa entre las parejas jóvenes estadounidenses recién casadas si se casaran de la misma manera que los hombres de la Generación Z y sus parejas, pero con el mismo nivel educativo que los hombres de la Generación Y y sus parejas.

En untercera aplicación, matrices${\displaystyle Z}$y${\displaystyle Y}$caracterizar nuevamente al mismo país en dos años diferentes. En esta aplicación, matriz${\displaystyle Z}$es la distribución educativa conjunta de las parejas jóvenes portuguesas (donde la edad del miembro masculino está entre 30 y 34 años) en 2011.${\displaystyle Y}$es lo mismo pero se observa en el año 1981. Se puede intentar construir una matriz${\displaystyle X}$con el fin de estudiar cuál habría sido la distribución educativa de las parejas jóvenes portuguesas si se hubieran casado como lo hicieron sus pares en 2011, mientras que sus distribuciones educativas por género hubieran sido las mismas que en 1981.

En cada una de las dos primeras aplicaciones, matriz${\displaystyle X}$representa una distribución conjunta contrafactual. Puede utilizarse para cuantificar ciertos efectos ceteris paribus . Más precisamente, para cuantificar en una escala cardinal la diferencia entre el grado directamente inobservable de selección matrimonial en Zimbabue y Yemen, o en la Generación Z y la Generación Y con una descomposición contrafactual. Para la descomposición, la tabla contrafactual${\displaystyle X}$se utiliza para calcular la contribución de cada una de las fuerzas impulsoras (es decir, la disponibilidad estructural observada de parejas potenciales con diversos niveles educativos que determinan las oportunidades a nivel de población; y los impulsores no estructurales no observables, por ejemplo, preferencias de emparejamiento agregadas, deseos, normas, barreras) y la de su interacción (es decir, el efecto de los cambios en las preferencias/deseos/normas/barreras agregadas debido a cambios en la disponibilidad estructural) a una estadística cardinal observable escalada (por ejemplo, la proporción de parejas educativamente homogéneas ).

La tercera aplicación fue utilizada por Naszodi y Mendonca (2023) ^{[ 1 ]} como ejemplo de un contrafactual sin sentido: el nivel educativo ha cambiado tan drásticamente en Portugal durante las tres décadas estudiadas que este contrafactual es imposible de obtener. Sorprendentemente, un método que se utilizaba comúnmente en la literatura sobre apareamiento selectivo hasta hace poco, proponía una solución para el contrafactual imposible del tercer ejemplo, mientras que el método NM se negaba a construirla.

En primer lugar, el método NM no produce una solución significativa si alcanza el límite de su aplicabilidad. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, en la tercera aplicación , el método NM señala con una entrada negativa en la matriz${\displaystyle X}$que el contrafactual es imposible (véase: AlternativeMethod_US_1980s_2010s_age3035_main.xls Hoja PT_A1981_P2011_Not_meaningful). ^{[ 5 ]} En este sentido, el método NM es similar al modelo de probabilidad lineal que señala lo mismo con una probabilidad predicha fuera del intervalo unitario.${\displaystyle [0,1]}$.

Segundo, el método NM conmuta con la fusión de categorías vecinas de la variable de fila y la de la variable de columna: ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\text{NM}}(M_{r}Z,M_{r}Ye_{m}^{T},M_{r}e_{n}Y)=M_{r}{\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)}$, dónde${\displaystyle M_{r}}$es la matriz de fusión de filas de tamaño${\displaystyle (n-1)\times n}$; y${\displaystyle {\text{NM}}(ZM_{c},Ye_{m}^{T}M_{c},e_{n}YM_{c})={\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)M_{c}}$, dónde${\displaystyle M_{c}}$es la matriz de fusión de columnas de tamaño${\displaystyle m\times (m-1)}$.

En tercer lugar, el método NM funciona incluso si hay entradas cero en la matriz.${\displaystyle Z}$. ^{[ 1 ]}

El procedimiento de ajuste proporcional iterativo (IPF) también es una función: ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle {\text{IPF}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y):\mathbb {R} ^{n\times m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}}$Es la operación de encontrar la matriz ajustada${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$(${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$) que cumple un conjunto de condiciones similares a las que cumple la matriz${\displaystyle X}$construido con el método NM. Por ejemplo, matriz${\displaystyle F}$es lo más cercano a la matriz${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}}$pero con los totales de filas y columnas de la matriz objetivo${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$.

Sin embargo, existen diferencias entre el IPF y el método NM. El IPF define la proximidad de matrices del mismo tamaño mediante la entropía cruzada o la divergencia de Kullback-Leibler . ^{[ 12 ]} En consecuencia, el concepto de distancia compatible con el IPF entre las matrices de 2×2${\displaystyle F}$y${\displaystyle Z}$es cero, si sus razones de producto cruzado ^{[ 11 ]} (también conocida como razón de probabilidades ) son las mismas:${\displaystyle {F_{1,1}F_{2,2}}/{F_{1,2}F_{2,1}}={Z_{1,1}Z_{2,2}}/{Z_{1,2}Z_{2,1}}}$. ^{[ 13 ]} Para recordar, la condición del método NM para la clasificación igual de matrices${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$es${\displaystyle {\text{LL}}(X)={\frac {X_{1,1}-int[{X_{1,.}X_{.,1}}/{X_{.,.}}]}{{\text{min}}(X_{1,.},X_{.,1})-int[{X_{1,.}X_{.,1}}/{X_{.,.}}]}}={\frac {Z_{1,1}-int[{Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}]}{{\text{min}}(Z_{1,.},Z_{.,1})-int[{Z_{1,.}Z_{.,1}}/{Z_{.,.}}]}}={\text{LL}}(Z)}$.

El siguiente ejemplo numérico pone de manifiesto que el método IPF y el método NM no son idénticos:${\displaystyle {\text{IPF}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)\neq {\text{NM}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y)}$. Consideremos la matriz${\displaystyle \color {Green}Z}$con sus objetivos :

El método NM produce la siguiente matriz.${\displaystyle X}$:

Mientras que la solución para la matriz${\displaystyle F}$El resultado obtenido con el IPF es:

El IPF es equivalente al estimador de máxima verosimilitud ^{[ 10 ]} de una distribución de población conjunta, donde matriz${\displaystyle F}$(la estimación para la distribución conjunta de la población) se calcula a partir de la matriz${\displaystyle Z}$, la distribución conjunta observada en una muestra aleatoria tomada de la población caracterizada por los totales de fila y totales de columna de la matriz${\displaystyle Y}$. En contraste con el problema resuelto por el IPF, matriz${\displaystyle Z}$no se muestrea de esta población en el problema que el método NM fue desarrollado para resolver. De hecho, en el problema NM, las matrices${\displaystyle Z}$y${\displaystyle Y}$caracterizar dos poblaciones diferentes (ya sea observadas simultáneamente como en la aplicación para Zimbabue y Yemen , u observadas en dos momentos diferentes como en su aplicación para las poblaciones de la Generación Z y la Generación Y ). Esta diferencia facilita la elección entre el método NM y el IPF en aplicaciones empíricas. ^{[ 13 ]}

Deming y Stephan (1940), ^{[ 14 ]} los inventores del IPF, ilustraron la aplicación de su método en un problema clásico de estimación de máxima verosimilitud, donde matriz${\displaystyle Z}$se muestreó de la población caracterizada por los totales de fila y los totales de columna de la matriz${\displaystyle Y}$Eran conscientes de que, en general, el IPF no es adecuado para predicciones contrafactuales: advirtieron explícitamente que su algoritmo “no es útil por sí mismo para la predicción” (véase Stephan y Deming 1940, pág.  444). ^{[ 14 ] [ 13 ]}

Además, los dominios para los que el método IPF y el método NM proporcionan soluciones son diferentes. En primer lugar, a diferencia del método NM, el método IPF no proporciona una solución para todas las tablas de semillas.${\displaystyle {Z}}$con entradas cero (Csiszár (1975) ^{[ 15 ]} encontró condiciones necesarias y suficientes para aplicar el IPF con tablas generales que tienen entradas cero). Segundo, la condición previa del método NM (de cualquiera de las${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(Z)\geq 0}}}$o${\displaystyle {\boldsymbol {{\text{LL}}(Z)\leq 0}}}$) no es una condición previa para la aplicabilidad del IPF.En tercer lugar, a diferencia del NM, el IPF proporciona una solución aparentemente significativa para pares de matrices.${\displaystyle {Z}}$y${\displaystyle {Y}}$definiendo contrafactuales imposibles, como el par de matrices en nuestro tercer ejemplo numérico con Portugal (Naszodi 2025 ^{[ 16 ]} ).

Finalmente, a diferencia del NM, el IPF no conmuta con la operación de fusionar categorías vecinas de la variable de fila y la de la variable de columna, como se ilustra con un ejemplo numérico en Naszodi (2023) (véase la página 10). ^{[ 17 ]} Por esta razón, la tabla transformada obtenida con el IPF puede ser sensible a la elección del número de categorías de rasgos.

Kenneth Macdonald (2023) ^{[ 18 ]} está de acuerdo con la conclusión de Naszodi (2023) ^{[ 19 ]} de que la IPF es adecuada para tareas de corrección de muestreo, pero no para la generación de contrafactuales. De manera similar a Naszodi, Macdonald también cuestiona si las transformaciones proporcionales de filas y columnas de la IPF preservan la estructura de asociación dentro de una tabla de contingencia que nos permita estudiar la movilidad social.

El Enfoque de Distancia Euclidiana Mínima (MEDA) (definido por Abbott et al., 2019 siguiendo a Fernández y Rogerson, 2001) también es una función: ^{[ 20 ] [ 21 ]}${\displaystyle {\text{MEDA}}(Z,Ye_{m}^{T},e_{n}Y):\mathbb {R} ^{n\times m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}}$.

Primero, MEDA asigna un escalar a la matriz.${\displaystyle Z}$: es el peso utilizado para construir la combinación convexa de dos casos extremos (emparejamiento aleatorio y perfectamente asociativo con el par de marginales)${\displaystyle (Ze_{m}^{T},e_{n}Z)}$) minimizando la distancia euclidiana con${\displaystyle Z}$Por ejemplo, este escalar es${\displaystyle v=0.265}$en el ejemplo numérico tomado de Abbott et al. (2019) . ^{[ 20 ]} Segundo, para cualquier par de distribuciones marginales contrafactuales (${\displaystyle Ye_{m}^{T},e_{n}Y}$) el MEDA construye la combinación convexa de los dos casos extremos (coincidencias aleatorias y perfectamente asociativas con el par de marginales (${\displaystyle Ye_{m}^{T},e_{n}Y}$)).

Diferencias entre el NM y el MEDA: mientras que el NM mantiene la asortatividad sin cambios al conservar el índice generalizado de Liu-Lu con valores matriciales.${\displaystyle {\text{LL}}({Z})}$fijo, el MEDA hace lo mismo manteniendo el escalar${\displaystyle v}$fijo. Para${\displaystyle Y}$, y${\displaystyle Z}$matrices de tamaño${\displaystyle 2\times 2}$Los dos métodos producen la misma tabla transformada proporcionada.${\displaystyle v}$clasifica las tablas de contingencia de la misma manera que lo hace el índice escalar de Liu-Lu. ^{[ 22 ]} Sin embargo, para${\displaystyle {Z}}$Para matrices mayores que 2×2, el índice generalizado de Liu-Lu es de valor matricial, por lo que es diferente del de valor escalar.${\displaystyle v({Z})}$Por lo tanto, la tabla transformada mediante NM también es diferente de la tabla transformada mediante MEDA.

Por ejemplo, en el ejemplo numérico tomado de Abbott et al. (2019) , la tabla contrafactual construida por MEDA es la matriz${\displaystyle F}$:

La diferencia entre matriz${\displaystyle F}$y matriz${\displaystyle X}$no es insignificante. Por ejemplo, la proporción de parejas homogéneas es 2 puntos porcentuales menor en la matriz contrafactual construida por MEDA.${\displaystyle F}$que en la matriz observada${\displaystyle Z}$, mientras que es 3,4 puntos porcentuales menor en la matriz contrafactual construida por NM.${\displaystyle X}$relativo a${\displaystyle Z}$.

Dado que el ejemplo de Abbott no es ficticio, sino que se basa en la distribución educativa empírica de las parejas estadounidenses, la diferencia entre 2 puntos porcentuales y 3,4 puntos porcentuales puede interpretarse como que el MEDA cuantifica los cambios en la desigualdad de una generación a otra de manera significativamente menor en comparación con el NM.

• Procedimiento de ajuste proporcional iterativo
• Método generalizado de Naszodi-Mendonca

• Método generalizado de Naszodi-Mendonca (método GNM) Naszodi, A.; Mendonca, F. (2021). "Un nuevo método para identificar qué está haciendo la mano invisible de Cupido. ¿Está propagando el daltonismo mientras nos vuelve más "exigentes" con respecto a la educación conyugal?". arXiv : 2103.06991 [ econ.GN ].