Teoría ingenua de conjuntos

La teoría ingenua de conjuntos es cualquiera de las diversas teorías de conjuntos utilizadas en la discusión de los fundamentos de las matemáticas . ^{[ 3 ]} A diferencia de las teorías axiomáticas de conjuntos , que se definen mediante lógica formal , la teoría ingenua de conjuntos se define de manera informal, en lenguaje natural . Describe los aspectos de los conjuntos matemáticos familiares en las matemáticas discretas (por ejemplo , diagramas de Venn y razonamiento simbólico sobre su álgebra booleana ), y es suficiente para el uso cotidiano de los conceptos de la teoría de conjuntos en las matemáticas contemporáneas. ^{[ 4 ]}

Los conjuntos son de gran importancia en matemáticas; en los tratamientos formales modernos, la mayoría de los objetos matemáticos ( números , relaciones , funciones , etc.) se definen en términos de conjuntos. La teoría de conjuntos ingenua es suficiente para muchos propósitos, a la vez que sirve como punto de partida para tratamientos más formales.

Método

Una teoría ingenua, en el sentido de «teoría ingenua de conjuntos», es una teoría no formalizada, es decir, una teoría que utiliza el lenguaje natural para describir conjuntos y operaciones sobre ellos. Dicha teoría trata los conjuntos como objetos absolutos platónicos. Las expresiones « y », «o» , «si... entonces» , «no» , «para algún » , «para todo» se tratan como en las matemáticas ordinarias. Por conveniencia, el uso de la teoría ingenua de conjuntos y su formalismo prevalece incluso en las matemáticas superiores , incluyendo contextos más formales de la propia teoría de conjuntos.

El primer desarrollo de la teoría de conjuntos fue una teoría de conjuntos ingenua. Fue creada a finales del siglo XIX por Georg Cantor como parte de su estudio de conjuntos infinitos ^{[ 5 ]} y desarrollada como un sistema formal pero inconsistente ^{[ 6 ]} por Gottlob Frege en su Grundgesetze der Arithmetik .

La teoría ingenua de conjuntos puede referirse a varias nociones muy distintas. Puede referirse a

Presentación informal de una teoría axiomática de conjuntos, por ejemplo, como en la Teoría ingenua de conjuntos de Paul Halmos .
Versiones tempranas o posteriores de la teoría de Georg Cantor y otros sistemas informales.
Teorías decididamente inconsistentes (sean axiomáticas o no), como una teoría de Gottlob Frege ^{[ 7 ]} que produjo la paradoja de Russell , y teorías de Giuseppe Peano ^{[ 8 ]} y Richard Dedekind .

Paradojas

La suposición de que cualquier propiedad puede usarse para formar un conjunto, sin restricciones, conduce a paradojas . Un ejemplo común es la paradoja de Russell : no existe un conjunto formado por "todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Por lo tanto, los sistemas consistentes de teoría de conjuntos (ya sean ingenuos o formales) deben incluir algunas limitaciones en los principios que pueden usarse para formar conjuntos.

La teoría de Cantor

Algunos creen que la teoría de conjuntos de Georg Cantor no estaba realmente implicada en las paradojas de la teoría de conjuntos (véase Frápolli 1991). Una dificultad para determinar esto con certeza es que Cantor no proporcionó una axiomatización de su sistema. Hacia 1899, Cantor era consciente de algunas de las paradojas que se derivaban de una interpretación no restringida de su teoría, por ejemplo la paradoja de Cantor ^{[ 9 ]} y la paradoja de Burali-Forti ^{[ 10 ]} , y no creía que desacreditaran su teoría ^{[ 11 ]} . La paradoja de Cantor puede derivarse de la suposición anterior (falsa): que cualquier propiedad $P (x)$ puede usarse para formar un conjunto, usando para $P (x)$ " $x$ es un número cardinal ". Frege axiomatizó explícitamente una teoría en la que se puede interpretar una versión formalizada de la teoría ingenua de conjuntos, y es esta teoría formal la que Bertrand Russell abordó realmente cuando presentó su paradoja, no necesariamente una teoría que Cantor —quien , como se mencionó, era consciente de varias paradojas— presumiblemente tenía en mente.

Teorías axiomáticas

La teoría axiomática de conjuntos se desarrolló en respuesta a estos primeros intentos de comprender los conjuntos, con el objetivo de determinar con precisión qué operaciones estaban permitidas y cuándo.

Consistencia

Una teoría de conjuntos ingenua no es necesariamente inconsistente, siempre que especifique correctamente los conjuntos que se pueden considerar. Esto se puede lograr mediante definiciones, que son axiomas implícitos. Es posible enunciar todos los axiomas explícitamente, como en el caso de la Teoría de Conjuntos Ingenua de Halmos , que en realidad es una presentación informal de la teoría de conjuntos axiomática usual de Zermelo-Fraenkel . Es "ingenua" porque el lenguaje y la notación son los de las matemáticas informales ordinarias, y porque no aborda la consistencia ni la completitud del sistema axiomático.

Asimismo, una teoría axiomática de conjuntos no es necesariamente consistente: no necesariamente libre de paradojas. De los teoremas de incompletitud de Gödel se deduce que un sistema lógico de primer orden suficientemente complejo (que incluye la mayoría de las teorías axiomáticas de conjuntos comunes) no puede probarse consistente ^{[ 12 ]} desde dentro de la propia teoría , a menos que sea realmente inconsistente. Sin embargo, se cree generalmente que los sistemas axiomáticos comunes son consistentes; por sus axiomas excluyen algunas paradojas, como la paradoja de Russell . Basándonos en el teorema de Gödel , simplemente no se sabe —ni se podrá saber jamás— si no hay paradojas en absoluto en estas teorías o en cualquier teoría de conjuntos de primer orden suficientemente compleja, de nuevo, a menos que dichas teorías sean realmente inconsistentes. Cabe mencionar, sin embargo, que los resultados en el análisis ordinal de la teoría de la demostración a veces se interpretan como pruebas de consistencia .

El término teoría ingenua de conjuntos todavía se usa hoy en día también en algunas publicaciones ^{[ 13 ]} para referirse a las teorías de conjuntos estudiadas por Frege y Cantor, en lugar de a las contrapartes informales de la teoría axiomática moderna de conjuntos.

Utilidad

La elección entre un enfoque axiomático y otros enfoques es, en gran medida, una cuestión de conveniencia. En las matemáticas cotidianas, la mejor opción puede ser el uso informal de la teoría axiomática de conjuntos. Las referencias a axiomas particulares suelen aparecer solo cuando lo exige la tradición; por ejemplo, el axioma elegido se menciona a menudo cuando se utiliza. Del mismo modo, las demostraciones formales solo se realizan cuando las circunstancias excepcionales lo justifican. Este uso informal de la teoría axiomática de conjuntos puede tener (dependiendo de la notación) la apariencia de la teoría ingenua de conjuntos, como se describe a continuación. Es considerablemente más fácil de leer y escribir (en la formulación de la mayoría de los enunciados, demostraciones y líneas de discusión) y es menos propenso a errores que un enfoque estrictamente formal.

Conjuntos, membresía e igualdad

En la teoría de conjuntos ingenua, un conjunto se describe como una colección bien definida de objetos. Estos objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. Los objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, otros conjuntos, etc. Por ejemplo, el 4 pertenece al conjunto de todos los números pares . Evidentemente, el conjunto de los números pares es infinitamente grande; no existe ningún requisito de que un conjunto sea finito.

La definición de conjuntos se remonta a Georg Cantor :

Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen. ^{[ 14 ]}
[Por “agregado” ( Menge ) debemos entender cualquier colección en un todo ( Zusammenfassung zu einem Ganzen ) M de objetos definidos y separados m de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Estos objetos se denominan “elementos” de M. ^{[ 15 ]} ]

— Georg Cantor, Mathematische Annalen (1895), Band 46, Heft 4, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen. ^{[ 16 ]}
[Un conjunto es una colección que conforma un todo de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o de nuestro pensamiento, que se denominan elementos del conjunto. ]

— Georg Cantor, en H. Baumann et al., Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (1975), capítulo 2 Grundbegriffe der Mengenlehre

Nota sobre la coherencia

De esta definición no se deduce cómo se pueden formar conjuntos ni qué operaciones sobre ellos producen un nuevo conjunto. El término «bien definido» en «colección bien definida de objetos» no puede, por sí solo, garantizar la consistencia y la claridad de lo que constituye o no un conjunto. Intentar lograr esto pertenece al ámbito de la teoría axiomática de conjuntos o de la teoría axiomática de clases .

El problema, en este contexto, con las teorías de conjuntos formuladas informalmente, que no derivan de (ni implican) ninguna teoría axiomática en particular, es que pueden existir varias versiones formalizadas muy diferentes, con conjuntos y reglas distintas para la formación de nuevos conjuntos, pero que se ajustan a la definición informal original. Por ejemplo, la definición literal de Cantor permite una considerable libertad en cuanto a lo que constituye un conjunto. Por otro lado, es improbable que Cantor estuviera particularmente interesado en conjuntos que contuvieran gatos y perros, sino más bien en conjuntos que contuvieran objetos puramente matemáticos. Un ejemplo de tal clase de conjuntos podría ser el universo de von Neumann . Pero incluso al fijar la clase de conjuntos en consideración, no siempre está claro qué reglas para la formación de conjuntos están permitidas sin introducir paradojas.

Para facilitar la discusión que sigue, el término «bien definido» debe interpretarse como una intención , ya sea mediante reglas implícitas o explícitas (axiomas o definiciones), de descartar inconsistencias. El objetivo es mantener las cuestiones de consistencia, a menudo complejas y difíciles, alejadas del contexto, generalmente más sencillo, que nos ocupa. De todos modos, no es posible descartar explícitamente todas las inconsistencias (paradojas) concebibles en una teoría axiomática de conjuntos, debido al segundo teorema de incompletitud de Gödel, por lo que esto no menoscaba en absoluto la utilidad de la teoría ingenua de conjuntos en comparación con la teoría axiomática de conjuntos en los contextos sencillos que se consideran a continuación. Simplemente simplifica la discusión. La consistencia se da por sentada a partir de ahora, salvo que se mencione explícitamente.

Afiliación

Si x pertenece a un conjunto A , se dice que x pertenece a A o que x está en A. Esto se denota por x ∈ A. El símbolo ∈ deriva de la letra griega minúscula épsilon , "ε", introducida por Giuseppe Peano en 1889, y es la primera letra de la palabra ἐστί (que significa "es"). El símbolo ∉ se usa a menudo para escribir x ∉ A , que significa "x no está en A".

Igualdad

Dos conjuntos A y B se definen como iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. (Véase el axioma de extensionalidad ). Por lo tanto, un conjunto está completamente determinado por sus elementos; la descripción es irrelevante. Por ejemplo, el conjunto con elementos 2, 3 y 5 es igual al conjunto de todos los números primos menores que 6. Si los conjuntos A y B son iguales, esto se denota simbólicamente como A = B (como es habitual).

Conjunto vacío

El conjunto vacío , denotado como $\varnothing$ y a veces $\{\}$ , es un conjunto sin ningún miembro. Dado que un conjunto está completamente determinado por sus elementos, solo puede haber un conjunto vacío. (Véase el axioma del conjunto vacío ). ^{[ 17 ]} Aunque el conjunto vacío no tiene miembros, puede ser miembro de otros conjuntos. Por lo tanto $\varnothing \neq \{\varnothing \}$ , porque el primero no tiene miembros y el segundo tiene un miembro. ^{[ 18 ]}

Especificar conjuntos

La forma más sencilla de describir un conjunto es enumerar sus elementos entre llaves (lo que se conoce como definir un conjunto extensionalmente ). Así $, {1, 2}$ denota el conjunto cuyos únicos elementos son1 y2. (Véase el axioma de emparejamiento ). Tenga en cuenta los siguientes puntos:

El orden de los elementos es irrelevante; por ejemplo, ${1, 2} = {2, 1}$ .
La repetición ( multiplicidad ) de elementos es irrelevante; por ejemplo, ${1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}$ .

(Estas son consecuencias de la definición de igualdad en la sección anterior).

Esta notación puede usarse informalmente de forma indebida diciendo algo como ${perros}$ para indicar el conjunto de todos los perros, pero este ejemplo normalmente sería leído por los matemáticos como "el conjunto que contiene el único elemento perros ".

Un ejemplo extremo (pero correcto) de esta notación es ${}$ , que denota el conjunto vacío.

La notación ${x : P (x)}$ , o a veces ${x | P (x)}$ , se utiliza para denotar el conjunto que contiene todos los objetos para los que se cumple la condición $P$ (lo que se conoce como definir un conjunto intensionalmente ). Por ejemplo, ${x | x \in R}$ denota el conjunto de los números reales , ${x | x tiene el pelo rubio}$ denota el conjunto de todo lo que tiene el pelo rubio.

Esta notación se llama notación de construcción de conjuntos (o " comprensión de conjuntos ", particularmente en el contexto de la programación funcional ). Algunas variantes de la notación de construcción de conjuntos son:

${x \in A | P (x)}$ denota el conjunto de todos $los x$ que ya pertenecen a $A$ y que cumplen la condición $P.$ Por ejemplo, si $Z$ es el conjunto de los enteros , entonces ${$ $x$ $\in$ $Z$ $|$ $x$ $es par}$ es el conjunto de todos los enteros pares . (Véase el $axioma$ de especificación ).
${F (x) | x \in A}$ denota el conjunto de todos los objetos obtenidos al sustituir elementos del conjunto $A$ en la fórmula $F$ . Por ejemplo, ${2 x | x \in Z}$ es nuevamente el conjunto de todos los enteros pares. (Véase el axioma de reemplazo ).
${F (x) | P (x)}$ es la forma más general de notación de construcción de conjuntos. Por ejemplo, ${ dueño de x | x es un perro}$ es el conjunto de todos los dueños de perros.

Subconjuntos

Dados dos conjuntos A y B , A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B. En particular, cada conjunto B es un subconjunto de sí mismo; un subconjunto de B que no es igual a B se denomina subconjunto propio .

Si A es un subconjunto de B , entonces también se puede decir que B es un superconjunto de A , que A está contenido en B , o que B contiene a A. En símbolos, $A \subseteq B$ significa que A es un subconjunto de B , y $B \supseteq A$ significa que B es un superconjunto de A. Algunos autores usan los símbolos ⊂ y ⊃ para subconjuntos, y otros los usan solo para subconjuntos propios . Para mayor claridad, se pueden usar explícitamente los símbolos ⊊ y ⊋ para indicar la desigualdad.

Como ejemplo, sea R el conjunto de los números reales, Z el conjunto de los enteros, O el conjunto de los enteros impares y P el conjunto de los presidentes actuales o anteriores de los Estados Unidos . Entonces O es un subconjunto de Z , Z es un subconjunto de R y (por lo tanto) O es un subconjunto de R , donde en todos los casos subconjunto puede incluso leerse como subconjunto propio . No todos los conjuntos son comparables de esta manera. Por ejemplo, no es cierto que R sea un subconjunto de P ni que P sea un subconjunto de R.

De la definición de igualdad de conjuntos anterior se deduce inmediatamente que, dados dos conjuntos A y B , $A = B$ si y solo si $A \subseteq B$ y $B \subseteq A.$ De hecho, esta suele ser la definición de igualdad. Normalmente, al intentar demostrar que dos conjuntos son iguales, se busca mostrar estas dos inclusiones. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto (la afirmación de que todos los elementos del conjunto vacío también pertenecen a cualquier conjunto A es trivialmente cierta ).

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado A se llama conjunto potencia de A y se denota por $2^{A}$ o $P(A)$ ; la " $P$ " a veces está en una fuente cursiva : $\wp (A)$ ⁠ . Si el conjunto A tiene n elementos, entonces $P(A)$ tendrá $2^{n}$ elementos.

Conjuntos universales y complementos absolutos

En ciertos contextos, se puede considerar que todos los conjuntos en estudio son subconjuntos de un conjunto universal dado . Por ejemplo, al investigar las propiedades de los números reales R (y sus subconjuntos ), R puede tomarse como el conjunto universal. Un conjunto universal verdadero no está incluido en la teoría de conjuntos estándar (véase Paradojas más adelante), pero sí en algunas teorías de conjuntos no estándar.

Dado un conjunto universal U y un subconjunto A de U , el complemento de A (en U ) se define como

A C := {x \in U | x \notin A}

.

En otras palabras, AC (" A-complemento "; a veces simplemente A' , " A-primo ") es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A. Así ^, con R , Z y O definidos como en la sección sobre subconjuntos, si Z es el conjunto universal, entonces OC es el conjunto de los enteros pares, mientras que si ^{R es el conjunto universal, entonces OC} es el conjunto de todos los números reales que son enteros pares o ^que no son enteros en absoluto.

Uniones, intersecciones y complementos relativos

Dados dos conjuntos A y B , su unión es el conjunto formado por todos los objetos que son elementos de A , de B o de ambos (véase el axioma de unión ). Se denota por $A \cup B.$

La intersección de A y B es el conjunto de todos los objetos que están tanto en A como en B. Se denota por $A \cap B.$

Finalmente, el complemento relativo de B con respecto a A , también conocido como la diferencia de conjuntos de A y B , es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A pero no a B. Se escribe como $A ∖ B$ o $A - B.$

Simbólicamente, estos son respectivamente

A \cup B := {x | (x \in A) \lor (x \in B)}

;

A \cap B := {x | (x \in A) \land (x \in B)} = {x \in A | x \in B} = {x \in B | x \in A}

;

A ∖ B := {x | (x \in A) \land \neg (x \in B) } = {x \in A | \neg (x \in B)}

.

El conjunto B no tiene por qué ser un subconjunto de $A$ para que $A ∖ B$ tenga sentido; esta es la diferencia entre el complemento relativo y el complemento absoluto ( $AC = U ∖ A$ ) de la sección anterior.

Para ilustrar estas ideas, sea A el conjunto de personas zurdas y B el conjunto de personas rubias. Entonces, $A \cap B$ es el conjunto de todas las personas zurdas rubias, mientras que $A \cup B$ es el conjunto de todas las personas que son zurdas, rubias o ambas. Por otro lado, $A ∖ B$ es el conjunto de todas las personas que son zurdas pero no rubias, mientras que $B ∖ A$ es el conjunto de todas las personas que tienen cabello rubio pero no son zurdas.

Sea E el conjunto de todos los seres humanos y F el conjunto de todos los seres vivos mayores de 1000 años. ¿Qué es $E \cap F$ en este caso? Ningún ser humano vivo tiene más de 1000 años , por lo que $E \cap F$ debe ser el conjunto vacío {}.

Para cualquier conjunto A , el conjunto potencia $P(A)$ es un álgebra booleana bajo las operaciones de unión e intersección.

Pares ordenados y productos cartesianos

Intuitivamente, un par ordenado es simplemente una colección de dos objetos tales que uno puede distinguirse como el primer elemento y el otro como el segundo elemento , y que tiene la propiedad fundamental de que dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeros elementos son iguales y sus segundos elementos son iguales.

Formalmente, un par ordenado con primera coordenada a y segunda coordenada b , usualmente denotado por ( a , b ), puede definirse como el conjunto $\{\{a\},\{a,b\}\}.$

De ello se deduce que dos pares ordenados ( a , b ) y ( c , d ) son iguales si y solo si $a = c$ y $b = d$ .

Alternativamente, un par ordenado puede pensarse formalmente como un conjunto {a,b} con un orden total .

(La notación ( a , b ) también se usa para denotar un intervalo abierto en la recta numérica real , pero el contexto debe dejar claro a qué significado se refiere. De lo contrario, la notación ] a , b [ puede usarse para denotar el intervalo abierto, mientras que ( a , b ) se usa para el par ordenado).

Si A y B son conjuntos, entonces el producto cartesiano (o simplemente producto ) se define como:

A \times B = {(a, b) | a \in A y b \in B}.

Es decir, $A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera coordenada es un elemento de A y cuya segunda coordenada es un elemento de B.

Esta definición puede extenderse a un conjunto $A \times B \times C$ de ternas ordenadas, y de forma más general a conjuntos de n-tuplas ordenadas para cualquier entero positivo n . Incluso es posible definir productos cartesianos infinitos , pero esto requiere una definición más compleja del producto.

Los productos cartesianos fueron desarrollados por primera vez por René Descartes en el contexto de la geometría analítica . Si R denota el conjunto de todos los números reales , entonces $R 2 := R \times R$ representa el plano euclidiano y $R 3 := R \times R \times R$ representa el espacio euclidiano tridimensional .

Algunos conjuntos importantes

Hay algunos conjuntos omnipresentes para los que la notación es casi universal. Algunos de ellos se enumeran a continuación. En la lista, a , b y c se refieren a números naturales , y r y s son números reales .

Los números naturales se utilizan para contar. Una pizarra en negrita N mayúscula ( $\mathbb {N}$ ) suele representar este conjunto.
Los números enteros aparecen como soluciones para x en ecuaciones como x + a = b . Una pizarra en negrita Z mayúscula ( $\mathbb {Z}$ ) a menudo representa este conjunto (del alemán Zahlen , que significa números ).
Los números racionales aparecen como soluciones de ecuaciones como a + bx = c . Una pizarra en negrita Q mayúscula ( $\mathbb {Q}$ ) a menudo representa este conjunto (para el cociente , porque R se usa para el conjunto de los números reales).
Los números algebraicos aparecen como soluciones de ecuaciones polinómicas (con coeficientes enteros) y pueden involucrar radicales (incluidos $i={\sqrt {-1\,}}$ ) y otros números irracionales . Una Q con una línea superior ( ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ) suele representar este conjunto. La línea superior denota la operación de cierre algebraico .
Los números reales representan la "línea real" e incluyen todos los números que pueden aproximarse mediante racionales. Estos números pueden ser racionales o algebraicos, pero también pueden ser números trascendentales , que no pueden aparecer como soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Una R mayúscula en negrita de pizarra ( $\mathbb {R}$ ) suele representar este conjunto.
Los números complejos son la suma de un número real y un número imaginario: $r+s\,i$ . Aquí o $r$ o $s$ (o ambos) pueden ser cero; por lo tanto, el conjunto de números reales y el conjunto de números estrictamente imaginarios son subconjuntos del conjunto de números complejos, que forman una clausura algebraica para el conjunto de números reales, lo que significa que todo polinomio con coeficientes en $\mathbb {R}$ tiene al menos una raíz en este conjunto. Una pizarra en negrita C mayúscula ( $\mathbb {C}$ ) a menudo representa este conjunto. Nótese que dado que un número $r+s\,i$ puede identificarse con un punto $(r,s)$ en el avión, $\mathbb {C}$ es básicamente "lo mismo" que el producto cartesiano $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ("el mismo" significa que cualquier punto en uno determina un punto único en el otro y para el resultado de los cálculos, no importa cuál se use para el cálculo, siempre que la regla de multiplicación sea apropiada para $\mathbb {C}$ ).

Paradojas en la teoría de conjuntos temprana

El principio de formación irrestricta de conjuntos, denominado esquema axiomático de comprensión irrestricta ,

Si

P

es una propiedad, entonces existe un conjunto

Y = {x : P (x)}

, ^{[ 19 ]}

es la fuente de varias paradojas que aparecieron tempranamente:

$Y = {x | x es un ordinal}$ condujo, en el año 1897, a la paradoja de Burali-Forti , la primera antinomia publicada .
$Y = {x | x es un cardinal}$ produjo la paradoja de Cantor en 1897.^{[ 9 ]}
$Y = {x | {} = {}}$ produjo la segunda antinomia de Cantor en el año 1899.^{[ 11 ]} Aquí la propiedad $P$ es verdadera para todo $x$ , sea cualsea $x , por lo que$ $Y$ sería un conjunto universal , que contiene todo.
$Y = {x | x \notin x}$ , es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, dio lugar a la paradoja de Russell en 1902.

Si el esquema axiomático de comprensión irrestricta se debilita al esquema axiomático de especificación o al esquema axiomático de separación ,

Si

P

es una propiedad, entonces para cualquier conjunto

X

existe un conjunto

Y = {x \in X : P (x)}

, ^{[ 19 ]}

Entonces todas las paradojas anteriores desaparecen. ^{[ 19 ]} Existe un corolario. Con el esquema axiomático de separación como axioma de la teoría, se deduce, como teorema de la teoría:

El conjunto de todos los conjuntos no existe.

O, de forma más espectacular (según la formulación de Halmos ^{[ 20 ]} ): No existe el universo . Prueba : Supongamos que existe y llamémoslo $U.$ Ahora apliquemos el esquema axiomático de separación con $X = U$ y para $P (x)$ usemos $x \notin x$ . Esto nos lleva de nuevo a la paradoja de Russell. Por lo tanto, $U$ no puede existir en esta teoría. ^{[ 19 ]}

Relacionada con las construcciones anteriores está la formación del conjunto.

$Y = {x | (x \in x) \to {} \neq {}}$ ,

donde la afirmación que sigue a la implicación ciertamente es falsa. Se sigue, de la definición de $Y$ , usando las reglas de inferencia habituales (y algunas reflexiones posteriores al leer la demostración en el artículo enlazado a continuación) que $Y \in Y \to {} \neq {}$ y que $Y \in Y$ se cumple, por lo tanto ${} \neq {}$ . Esta es la paradoja de Curry .

(Quizás sorprendentemente) no es la posibilidad de $x \in x$ lo que resulta problemático. Es, de nuevo, el esquema axiomático de comprensión irrestricta que permite $(x \in x) \to {} \neq {}$ para $P (x)$ . Con el esquema axiomático de especificación en lugar de comprensión irrestricta, la conclusión $Y \in Y$ no se cumple y, por lo tanto $, {} \neq {}$ no es una consecuencia lógica.

No obstante, la posibilidad de $x \in x$ a menudo se elimina explícitamente ^{[ 21 ]} o, por ejemplo en ZFC, implícitamente, ^{[ 22 ]} al exigir que se cumpla el axioma de regularidad . ^{[ 22 ]} Una consecuencia de ello es

No existe ningún conjunto

X

para el cual

X \in X

,

o, dicho de otro modo, ningún conjunto es un elemento de sí mismo. ^{[ 23 ]}

El esquema axiomático de separación es simplemente demasiado débil (mientras que la comprensión irrestricta es un axioma muy fuerte , demasiado fuerte para la teoría de conjuntos) para desarrollar la teoría de conjuntos con sus operaciones y construcciones habituales descritas anteriormente. ^{[ 19 ]} El axioma de regularidad también es de naturaleza restrictiva. Por lo tanto, se recurre a la formulación de otros axiomas para garantizar la existencia de suficientes conjuntos para formar una teoría de conjuntos. Algunos de estos se han descrito informalmente más arriba y muchos otros son posibles. No todos los axiomas concebibles pueden combinarse libremente en teorías consistentes. Por ejemplo, el axioma de elección de ZFC es incompatible con la concebible afirmación de que "todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue ". La primera implica que la segunda es falsa.

Véase también

Notas

↑ "Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (S)" . 14 de abril de 2020.
↑ Halmos 1960 , Teoría ingenua de conjuntos .
↑ Jeff Miller escribe que la teoría ingenua de conjuntos (a diferencia de la teoría axiomática de conjuntos) se usó ocasionalmente en la década de 1940 y se convirtió en un término establecido en la década de 1950. Aparece en la reseña de Hermann Weyl de PA Schilpp, ed. (1946). "The Philosophy of Bertrand Russell". American Mathematical Monthly . 53 (4): 210,y en una reseña de Laszlo Kalmar ( Laszlo Kalmar (1946). "La paradoja de Kleene y Rosser". Journal of Symbolic Logic . 11 (4): 136.). ^{[ 1 ]} El término fue popularizado posteriormente en un libro de Paul Halmos . ^{[ 2 ]}
↑ Mac Lane, Saunders (1971), "Álgebra categórica y fundamentos de la teoría de conjuntos", Teoría axiomática de conjuntos (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Vol. XIII, Parte I, Univ. California, Los Ángeles, Calif., 1967) , Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 231–240 , MR 0282791 . "Los matemáticos que trabajaban solían pensar en términos de una teoría de conjuntos ingenua (probablemente una más o menos equivalente a ZF)... un requisito práctico [de cualquier nuevo sistema fundamental] podría ser que este sistema pudiera ser utilizado "ingenuamente" por matemáticos no sofisticados en la investigación fundamental" ( p. 236 ).
↑ Cantor 1874 .
↑ "Gottlob Frege (Enciclopedia de Filosofía de Stanford)" . plato.stanford.edu . Consultado el 30 de agosto de 2025 .
↑ Frege 1893 En el volumen 2, Jena 1903. pp. 253-261 Frege analiza la antionomía en el epílogo.
↑ Peano 1889 Axioma 52. cap. IV produce antinomias.
1 2 Carta de Cantor a David Hilbert del 26 de septiembre de 1897, Meschkowski & Nilson 1991 pág. 388.
↑ Carta de Cantor a Richard Dedekind del 3 de agosto de 1899, Meschkowski & Nilson 1991 pág. 408.
1 2 Cartas de Cantor a Richard Dedekind del 3 de agosto de 1899 y del 30 de agosto de 1899, Zermelo 1932 p. 448 (System aller denkbaren Klassen) y Meschkowski & Nilson 1991 p. 407. (No existe un conjunto de todos los conjuntos).
↑ Más precisamente, no puede probar ciertas oraciones (dentro del sistema) cuya interpretación natural afirma la propia consistencia de la teoría.
↑ FR Drake, Teoría de conjuntos: Una introducción a los cardinales grandes (1974). ISBN 0 444 10535 2.
^ Cantor, Georg (marzo de 1895). Escrito en Halle. "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" [ Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos ] (PDF) . Mathematische Annalen (en alemán). 46 (4). Leipzig, Alemania: BG Teubner (publicado el 7 de noviembre de 1895). págs. 481–512 (2–33). doi : 10.1007/BF02124929 . ISSN 0025-5831 . OCLC 10955667990 . S2CID 125716327 . GDZPPN00225557X . Archivado desde el original (PDF) el 1 de abril de 2026 . Consultado el 7 de abril de 2026 a través de Göttinger Digitalisierungszentrum . pag. 481: Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.
^ Jourdain, Philip EB (1915) [Original compuesto en alemán, marzo de 1895. Mathematische Annalen, Band 46, Heft 4:1895]. «Aportes a la fundación de la teoría de los números transfinitos» . Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (PDF) . Por Cantor, Georg Escrito en Halle. Annalen Matemáticas . vol. 46 (4). Londres, Gran Bretaña: Open Court Publishing Company . págs. 85-136 (101-152). LCCN 15019614 . OCLC 817921 . OL6580010M . Consultado el 11 de abril de 2026 . pag. 85: Por “ agregado ” ( Menge ) debemos entender cualquier colección en un todo ( Zusammenfassung zu einem Ganzen ) M de objetos definidos y separados m de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Estos objetos se llaman los “ elementos ” de M.
↑ Baumann H, Burosch G, Dück W, Eilhauer R, Elster KH, Freier M, Gärtner KH, Körth H, Lang R, Otto C, Patzer H, Runge W, Sachs H, Schoch M, Strohe HG, Weiß M (1975). "Grundbegriffe der Mengenlehre" [ Conceptos básicos de la teoría de conjuntos ] . En Körth H, Otto C, Runge W, Schoch M, Adler W (eds.). Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften [ Libro de texto de matemáticas para economía ] (en alemán) (3ª ed.). Berlín: VS Verlag für Sozialwissenschaften Wiesbaden . segundo. Zusammenfassung; pag. 49 (2). doi : 10.1007/978-3-322-87545-7 . ISBN 978-3-531-11210-7. OL 28281352M . Archivado desde el original el 12 de abril de 2026 . Consultado el 12 de abril de 2026 . pag. 49: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen
↑ Halmos 1974 , pág. 9.
↑ Halmos 1974 , pág. 10.
1 2 3 4 5 Jech 2002 , pág. 4.
↑ Halmos 1974 , Capítulo 2.
↑ Halmos 1974 , Véase la discusión en torno a la paradoja de Russell.
1 2 Jech 2002 , Sección 1.6.
↑ Jech 2002 , pág. 61.

Referencias

Bourbaki, N. , Elementos de la historia de las matemáticas , John Meldrum (trad.), Springer-Verlag, Berlín, Alemania, 1994.
Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 1874 (77): 258– 262, doi : 10.1515/crll.1874.77.258 , S2CID 124035379 Véase también la versión en PDF. Archivado el 7 de febrero de 2012 en Wayback Machine.
Devlin, KJ , El placer de los conjuntos: Fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea , 2ª edición, Springer-Verlag, Nueva York, NY, 1993.
Frápolli, María J. , 1991, "¿Es la teoría de conjuntos cantoriana una concepción iterativa de conjunto?". Modern Logic , vol. 1, n.º 4, 1991, 302-318.
Frege, Gottlob (1893), Grundgesetze der Arithmetik , vol. 1, Jena{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
Halmos, Paul (1960). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company.
- Halmos, Paul (1974). Teoría ingenua de conjuntos (Reimpresión ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
- Halmos, Paul (2011). Teoría ingenua de conjuntos ( Edición de bolsillo). Mansfield Centre, CN: D. Van Nostrand Company. ISBN 978-1-61427-131-4.
Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, tercera edición del milenio (revisada y ampliada) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
van Heijenoort, J. , De Frege a Gödel, Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reimpreso con correcciones, 1977. ISBN 0-674-32449-8.
Meschkowski, Herbert [en alemán] ; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Editado por los autores. , Berlín: Springer, ISBN 3-540-50621-7
Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita , Turín{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Editado por el autor. , Berlín: Springer

Enlaces externos

Página sobre los inicios de la teoría de conjuntos en St. Andrews
Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (S)

[1] "Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (S)" . 14 de abril de 2020.

[FOOTNOTEHalmos1960''Naive_Set_Theory''-2] Halmos 1960 , Teoría ingenua de conjuntos .

[3] Jeff Miller escribe que la teoría ingenua de conjuntos (a diferencia de la teoría axiomática de conjuntos) se usó ocasionalmente en la década de 1940 y se convirtió en un término establecido en la década de 1950. Aparece en la reseña de Hermann Weyl de PA Schilpp, ed. (1946). "The Philosophy of Bertrand Russell". American Mathematical Monthly . 53 (4): 210,y en una reseña de Laszlo Kalmar ( Laszlo Kalmar (1946). "La paradoja de Kleene y Rosser". Journal of Symbolic Logic . 11 (4): 136.). ^{[ 1 ]} El término fue popularizado posteriormente en un libro de Paul Halmos . ^{[ 2 ]}

[4] Mac Lane, Saunders (1971), "Álgebra categórica y fundamentos de la teoría de conjuntos", Teoría axiomática de conjuntos (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Vol. XIII, Parte I, Univ. California, Los Ángeles, Calif., 1967) , Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 231–240 , MR 0282791 . "Los matemáticos que trabajaban solían pensar en términos de una teoría de conjuntos ingenua (probablemente una más o menos equivalente a ZF)... un requisito práctico [de cualquier nuevo sistema fundamental] podría ser que este sistema pudiera ser utilizado "ingenuamente" por matemáticos no sofisticados en la investigación fundamental" ( p. 236 ).

[FOOTNOTECantor1874-5] Cantor 1874 .

[6] "Gottlob Frege (Enciclopedia de Filosofía de Stanford)" . plato.stanford.edu . Consultado el 30 de agosto de 2025 .

[7] Frege 1893 En el volumen 2, Jena 1903. pp. 253-261 Frege analiza la antionomía en el epílogo.

[8] Peano 1889 Axioma 52. cap. IV produce antinomias.

[Letter_to_Hilbert-9] 1 2 Carta de Cantor a David Hilbert del 26 de septiembre de 1897, Meschkowski & Nilson 1991 pág. 388.

[10] Carta de Cantor a Richard Dedekind del 3 de agosto de 1899, Meschkowski & Nilson 1991 pág. 408.

[Letters_to_Dedekind-11] 1 2 Cartas de Cantor a Richard Dedekind del 3 de agosto de 1899 y del 30 de agosto de 1899, Zermelo 1932 p. 448 (System aller denkbaren Klassen) y Meschkowski & Nilson 1991 p. 407. (No existe un conjunto de todos los conjuntos).

[12] Más precisamente, no puede probar ciertas oraciones (dentro del sistema) cuya interpretación natural afirma la propia consistencia de la teoría.

[13] FR Drake, Teoría de conjuntos: Una introducción a los cardinales grandes (1974). ISBN 0 444 10535 2.

[14] Cantor, Georg (marzo de 1895). Escrito en Halle. "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" [ Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos ] (PDF) . Mathematische Annalen (en alemán). 46 (4). Leipzig, Alemania: BG Teubner (publicado el 7 de noviembre de 1895). págs. 481–512 (2–33). doi : 10.1007/BF02124929 . ISSN 0025-5831 . OCLC 10955667990 . S2CID 125716327 . GDZPPN00225557X . Archivado desde el original (PDF) el 1 de abril de 2026 . Consultado el 7 de abril de 2026 a través de Göttinger Digitalisierungszentrum . pag. 481: Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.

[15] Jourdain, Philip EB (1915) [Original compuesto en alemán, marzo de 1895. Mathematische Annalen, Band 46, Heft 4:1895]. «Aportes a la fundación de la teoría de los números transfinitos» . Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (PDF) . Por Cantor, Georg Escrito en Halle. Annalen Matemáticas . vol. 46 (4). Londres, Gran Bretaña: Open Court Publishing Company . págs. 85-136 (101-152). LCCN 15019614 . OCLC 817921 . OL6580010M . Consultado el 11 de abril de 2026 . pag. 85: Por “ agregado ” ( Menge ) debemos entender cualquier colección en un todo ( Zusammenfassung zu einem Ganzen ) M de objetos definidos y separados m de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Estos objetos se llaman los “ elementos ” de M.

[16] Baumann H, Burosch G, Dück W, Eilhauer R, Elster KH, Freier M, Gärtner KH, Körth H, Lang R, Otto C, Patzer H, Runge W, Sachs H, Schoch M, Strohe HG, Weiß M (1975). "Grundbegriffe der Mengenlehre" [ Conceptos básicos de la teoría de conjuntos ] . En Körth H, Otto C, Runge W, Schoch M, Adler W (eds.). Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften [ Libro de texto de matemáticas para economía ] (en alemán) (3ª ed.). Berlín: VS Verlag für Sozialwissenschaften Wiesbaden . segundo. Zusammenfassung; pag. 49 (2). doi : 10.1007/978-3-322-87545-7 . ISBN 978-3-531-11210-7. OL 28281352M . Archivado desde el original el 12 de abril de 2026 . Consultado el 12 de abril de 2026 . pag. 49: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen

[FOOTNOTEHalmos19749-17] Halmos 1974 , pág. 9.

[FOOTNOTEHalmos197410-18] Halmos 1974 , pág. 10.

[FOOTNOTEJech20024-19] 1 2 3 4 5 Jech 2002 , pág. 4.

[FOOTNOTEHalmos1974Chapter_2-20] Halmos 1974 , Capítulo 2.

[FOOTNOTEHalmos1974See_discussion_around_Russell's_paradox-21] Halmos 1974 , Véase la discusión en torno a la paradoja de Russell.

[FOOTNOTEJech2002Section_1.6-22] 1 2 Jech 2002 , Sección 1.6.

[FOOTNOTEJech200261-23] Jech 2002 , pág. 61.

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